中國(guó)老年人口死亡模型

梅 麗，王麗娜，姜全保

（西安交通大學(xué) 公共政策與管理學(xué)院，陜西 西安 710049）

一、引言

隨著生育水平的下降和人口預(yù)期壽命的延長(zhǎng)，中國(guó)人口老齡化趨勢(shì)加劇?！兜谄叽稳珖?guó)人口普查公報(bào)》顯示2020年中國(guó)65歲及以上人口的數(shù)量達(dá)到1.91億，比例為13.50%，比2010年的1.19億增加了7 180萬(wàn)人，提高了4.63個(gè)百分點(diǎn)。根據(jù)2000年和2010年人口普查數(shù)據(jù)計(jì)算，65歲時(shí)老年人口的預(yù)期壽命分別為15.25歲和17.53歲。老年人口數(shù)量增加、比例上升和預(yù)期壽命的延長(zhǎng)加深了中國(guó)人口老齡化程度。對(duì)老年人口死亡水平、死亡模式和預(yù)期壽命的研究有助于對(duì)人口老齡化水平的理解。

已經(jīng)有很多學(xué)者用數(shù)學(xué)模型描述和擬合老年階段的死亡模式。比較經(jīng)典的包括岡泊茨（Gompertz）模型、［1］岡泊茨-麥克漢姆（Gompertz-Makeham）模型、［2］比爾德（Beard）模型、［3］莰尼斯托（Kannisto）模型，［4］這些模型是邏輯斯蒂（Logistic）模型［5］的特殊情況。還有冪函數(shù)形式的威布爾（Weibull）模型［6］和二次方程式（Quadratic）模型［7］等。比爾德嘗試使用一種含伽瑪（Gamma）分布的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)的人口異質(zhì)性模型解釋高齡人口死亡率趨勢(shì)。［8］近年來(lái)，基于極值理論的統(tǒng)計(jì)建模方法也開(kāi)始應(yīng)用于高齡人口死亡率的研究。［9-12］Watts 等人使用廣義帕累托（Generalized pareto）分布和廣義極值（Generalized extreme value）分布研究加拿大和日本人口壽命的上尾分布。［9］Li 等人利用極值理論提出了使用門(mén)限生命表（Threshold life table）對(duì)高齡人口死亡率進(jìn)行建模分析。［10］段白鴿和孫佳美基于門(mén)限生命表方法，使用岡泊茨分布和廣義帕累托分布研究了我國(guó)高齡人口死亡率變化特征。［11］段白鴿和石磊將高齡人口死亡率的極值建模方法和分層建模技術(shù)納入動(dòng)態(tài)死亡率建模中，度量壽命分布的尾部風(fēng)險(xiǎn)特征。［12］

這些參數(shù)模型具有形式簡(jiǎn)潔、概括性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，但因模型中參數(shù)較少，會(huì)降低模型的適應(yīng)范圍。例如，岡泊茨模型［1］低估了40 歲以下年輕成年人口死亡率，高估了80 歲及以上老年人口死亡率。［13］麥克漢姆提出在岡泊茨模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，該方法改善了年輕成年人口死亡率的擬合，但未解決高齡老年人口死亡率高估的問(wèn)題。［2］解決岡泊茨模型高估高齡老年人口死亡率問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單有效的模型是邏輯斯蒂模型。［14-17］Horiuchi 和Wilmoth 建議使用邏輯斯蒂模型來(lái)擬合85 歲及以上年齡別人口死亡率。［14］Thatcher 等人使用岡泊茨、威布爾、二次方程式、邏輯斯蒂和莰尼斯托五種模型擬合了13 個(gè)國(guó)家80-120 歲年齡別人口死亡率，發(fā)現(xiàn)莰尼斯托模型擬合效果最好。［15］Zeng 和Vaupel 使用岡泊茨、威布爾、二次方程式、海力戈曼-樸拉德（Heligman-Pollard）、邏輯斯蒂和莰尼斯托六種模型對(duì)我國(guó)1990年80-96歲年齡別人口死亡率進(jìn)行了估計(jì)，發(fā)現(xiàn)莰尼斯托模型對(duì)我國(guó)高齡人口死亡率的擬合效果比較好。［17］

鑒于已有研究對(duì)中國(guó)老年人口死亡水平和模式的關(guān)注較少，本文嘗試使用相關(guān)死亡模型，使用MATLAB R2019b 軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)65 歲及以上老年人口死亡累計(jì)概率的擬合，檢驗(yàn)死亡模型的適用性。因此，本文使用不同年份、分城鎮(zhèn)鄉(xiāng)以及分性別數(shù)據(jù)，分析并選擇出適合老年人口死亡模式的模型，并對(duì)死亡最高年齡組進(jìn)行拓展，以進(jìn)一步驗(yàn)證模型適用性。希望通過(guò)本文分析，能較為準(zhǔn)確地選擇適合中國(guó)老年人口的死亡模型，為相關(guān)研究提供方法借鑒。

二、參數(shù)模型

目前使用特定模型擬合觀測(cè)的累計(jì)比例在人口學(xué)研究中應(yīng)用廣泛。［15］［17-18］本文使用10 種累計(jì)概率分布來(lái)擬合65歲及以上人口累計(jì)死亡概率。把累計(jì)死亡概率作為一個(gè)累計(jì)分布函數(shù)（CDF），為了得到累計(jì)分布函數(shù)，通過(guò)人口普查死亡數(shù)據(jù)中得到年齡別死亡率（mx），然后計(jì)算得到年齡別死亡概率，可表示為qx=；以65歲年齡為基點(diǎn)，通過(guò)年齡別死亡概率計(jì)算得到年齡別存活概率，可表示為；通過(guò)年齡別存活概率，進(jìn)一步計(jì)算得到累計(jì)死亡概率L65x=1-S65x，以此作為累計(jì)分布函數(shù)。在模型中，統(tǒng)一使用θ表示尺度參數(shù)，κ表示形狀參數(shù)，μ表示位置參數(shù)。模型中設(shè)定死亡的起始年齡為sa，文中的年齡數(shù)字統(tǒng)一減去起始年齡，從而擬合的曲線(xiàn)是從0 歲開(kāi)始，但實(shí)際描述的是從年齡65 歲開(kāi)始的情況。具體使用的累計(jì)分布函數(shù)和公式如下：

指數(shù)分布（Exponential distribution）：

伽瑪分布（Gamma distribution）：

其中，γ(κ,x)是下不完全伽瑪函數(shù)（The lower incomplete gamma f unction），定義為：

岡泊茨分布（Gompertz distribution）：

岡泊茨-麥克漢姆分布（Gompertz-Makeham distribution）：

廣義極值分布（Generalized extreme value distribution）：

逆高斯分布（Inverse Gaussian distribution）：

邏輯斯蒂分布（Logistic distribution）：

對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂分布（Log-logistic distribution）：

對(duì)數(shù)-正態(tài)分布（Log-normal distribution）：

威布爾分布（Weibull distribution）：

三、數(shù)據(jù)來(lái)源

中國(guó)有多個(gè)部門(mén)登記死亡人口信息。國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)的人口死亡登記系統(tǒng)（負(fù)責(zé)開(kāi)具和收集死亡醫(yī)學(xué)證明信息）、全員人口系統(tǒng)和全國(guó)婦幼保健機(jī)構(gòu)監(jiān)測(cè)信息系統(tǒng)；公安部負(fù)責(zé)戶(hù)籍登記系統(tǒng)（公民死亡要在戶(hù)籍系統(tǒng)中注銷(xiāo)戶(hù)口）；民政部的殯葬服務(wù)等登記死亡信息數(shù)據(jù)庫(kù)；國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的人口普查資料和人口變動(dòng)情況抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)也調(diào)查死亡人口信息。不同來(lái)源的數(shù)據(jù)由于登記部門(mén)不同，目的不同，搜集方法不同，數(shù)據(jù)之間會(huì)存在差異。［19］

國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的1982 年、1990 年、2000 年、2010 年四次人口普查資料中老年人口死亡數(shù)據(jù)漏報(bào)程度較輕，但存在老年人口死亡之后不愿申報(bào)或者延遲申報(bào)等問(wèn)題。［20-22］許多學(xué)者對(duì)普查數(shù)據(jù)進(jìn)行了修正和調(diào)整，李成等使用DCMD 模型生命表系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)2010 年男性老年人口漏報(bào)率男性為2.3%、女性為7.0%。［20］王金營(yíng)和戈艷霞通過(guò)年齡移算方法得出2010 年老年人口的死亡漏報(bào)平均在5%以上。［21］崔紅艷等使用人口分析技術(shù)和與歷史數(shù)據(jù)、行政記錄資料比較等方法發(fā)現(xiàn)老年人口登記的完整性較高。［22］學(xué)者對(duì)單獨(dú)或者分別對(duì)某一次或兩次普查數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，或者是使用不同的修正方法，很難有較統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)判斷人口死亡情況。［21］［23］因此，本文直接使用1982 年、1990 年、2000 年和2010 年全國(guó)人口普查資料中65 歲及以上老年人口死亡數(shù)據(jù)以及2010 年分城鎮(zhèn)鄉(xiāng)、分性別的死亡數(shù)據(jù)，計(jì)算老年人口死亡率、死亡概率和累計(jì)死亡概率等指標(biāo)，選擇累計(jì)死亡概率作為累計(jì)分布函數(shù)，通過(guò)lsqcurvefit函數(shù)對(duì)累計(jì)分布函數(shù)進(jìn)行擬合，得到死亡模型擬合結(jié)果。

四、擬合結(jié)果

1.歷次人口普查擬合結(jié)果

我們通過(guò)MATLAB R2019b 軟件擬合1982 年、1990 年、2000 年和2010年65歲及以上老年人口累計(jì)死亡概率，得到模型參數(shù)和擬合結(jié)果的殘差平方（SSE）和擬合優(yōu)度（AdjustedR2）。表1至表4為10 種參數(shù)模型對(duì)65 歲及以上老年人口累計(jì)死亡概率擬合的參數(shù)結(jié)果。從擬合效果來(lái)看，岡泊茨、岡泊茨-麥克漢姆、廣義極值、邏輯斯蒂和威布爾五種模型擬合結(jié)果中SSE 較小，AdjustedR2更接近于1，擬合效果比較好。而指數(shù)模型、伽瑪模型的SSE較大，AdjustedR2較小，擬合效果較差。

表1 1982年模型參數(shù)估計(jì)值

表2 1990年模型參數(shù)估計(jì)值

表3 2000年模型參數(shù)估計(jì)值

表4 2010年模型參數(shù)估計(jì)值

通過(guò)多種參數(shù)模型擬合1982 年、1990 年、2000 年和2010 年四次普查數(shù)據(jù)老年人口累計(jì)死亡概率（見(jiàn)圖1）。淺藍(lán)色曲線(xiàn)表示由歷次人口普查死亡數(shù)據(jù)計(jì)算得到的累計(jì)死亡率概率，稱(chēng)之為觀測(cè)值；其他顏色表示10 種參數(shù)模型的擬合結(jié)果，稱(chēng)為擬合值?？紤]SSE、AdjustedR2和擬合曲線(xiàn)，1982 年、2000年和2010年三次普查的擬合結(jié)果有相同趨勢(shì)，結(jié)果如下：

擬合結(jié)果較好的是邏輯斯蒂、岡泊茨-麥克漢姆、威布爾和廣義極值四種模型，模型擬合值與觀測(cè)值之間的差異絕對(duì)值較小。邏輯斯蒂模型的擬合值更接近觀測(cè)值，擬合值和觀測(cè)值之間差異的絕對(duì)值最小，在65-70歲和80-90歲之間擬合值高于觀測(cè)值，其他年齡的擬合值低于觀測(cè)值；岡泊茨-麥克漢姆、威布爾和廣義極值3 種模型的擬合值與觀測(cè)值之間的差異值變化一致，大致在65-75 歲和88-100歲之間擬合值低于觀測(cè)值，76-87歲之間擬合值高于觀測(cè)值。

擬合結(jié)果一般的是岡泊茨、逆高斯、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂、對(duì)數(shù)-正態(tài)四種模型，模型擬合值和觀測(cè)值之間差異大于上面模型。逆高斯、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂、對(duì)數(shù)-正態(tài)三種模型的擬合結(jié)果在65-75 歲和87-100 歲之間低于觀測(cè)值，76-86 歲之間高于觀測(cè)值；而岡泊茨模型擬合值和觀測(cè)值之間差異的變化與其他三種模型相反，岡泊茨模型在85 歲之后擬合值高于觀測(cè)值，例如，1982 年模型擬合結(jié)果在95歲時(shí)為0.997 9，99歲則達(dá)到1。

擬合結(jié)果較差的是指數(shù)模型和伽瑪模型，模型擬合值和觀測(cè)值之間的差異較大。指數(shù)模型的擬合值在65-83 歲之間高于觀測(cè)值，84-100 歲之間低于觀測(cè)值；而伽瑪分布在65-78 歲和90-100 歲之間的擬合值低于觀測(cè)值，79-89歲之間的擬合值高于觀測(cè)值。

相比其他三次人口普查資料中統(tǒng)計(jì)的最高死亡年齡是100歲，1990年人口普查資料中最高死亡年齡為90歲，其參數(shù)模型擬合結(jié)果也發(fā)生變化。按照模型擬合值與觀測(cè)值之間差異大小，1990年參數(shù)模型擬合結(jié)果的順序依次是岡泊茨-麥克漢姆模型、威布爾模型、廣義極值模型、邏輯斯蒂模型、逆高斯模型、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂模型、對(duì)數(shù)-正態(tài)模型、岡泊茨模型、指數(shù)模型和伽瑪模型。

2.分城鎮(zhèn)鄉(xiāng)擬合結(jié)果

使用參數(shù)模型對(duì)2010年分城鎮(zhèn)鄉(xiāng)的65歲及以上老年人口累計(jì)死亡概率進(jìn)行擬合（見(jiàn)圖2）。

圖2 2010年分城鄉(xiāng)模型擬合結(jié)果

模型擬合結(jié)果較好的是岡泊茨-麥克漢姆、廣義極值、邏輯斯蒂和威布爾四種模型，模型擬合值與觀測(cè)值之間差異絕對(duì)值較小。岡泊茨-麥克漢姆模型在城市和城鎮(zhèn)老年人口的擬合值更接近觀測(cè)值，在65-75歲和86-95歲之間的擬合值低于觀測(cè)值，其他年齡的擬合值高于觀測(cè)值。在農(nóng)村老年人口中，岡泊茨-麥克漢姆模型與威布爾模型、廣義極值模型的擬合值與觀測(cè)值之間差異變化一致。而在城市和城鎮(zhèn)老年人口中，岡泊茨-麥克漢姆、廣義極值、邏輯斯蒂和威布爾四種模型擬合值與觀測(cè)值之間差異的變化趨勢(shì)均不相同，廣義極值模型在65-69 歲、79-88 歲和97-100 歲之間的擬合值均高于觀測(cè)值；威布爾模型在65-78 歲和91-100 歲之間的擬合值低于觀測(cè)值，79-90 歲之間的擬合值高于觀測(cè)值；邏輯斯蒂模型在65-70歲和83-91歲之間的擬合值高于觀測(cè)值，71-82歲和92-100歲之間的擬合值低于觀測(cè)值。

模型擬合結(jié)果一般的是岡泊茨、逆高斯、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂和對(duì)數(shù)-正態(tài)四種模型，模型擬合值與觀測(cè)值之間差異絕對(duì)值大于上面模型。逆高斯、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂和對(duì)數(shù)-正態(tài)三種模型的擬合值與觀測(cè)值之間差異的變化是一致的，在65-79 歲和91-100 歲之間的擬合值均低于觀測(cè)值，80-90 歲之間的擬合值均高于觀測(cè)值；而岡泊茨模型擬合值和觀測(cè)值之間差異的變化與其他三種模型相反。

模型擬合結(jié)果較差的是指數(shù)模型和伽瑪模型，模型擬合值和觀測(cè)值之間差異絕對(duì)值較大。指數(shù)模型的擬合值在65-86 歲之間高于觀測(cè)值，87-100 歲之間低于觀測(cè)值。而伽瑪模型的擬合結(jié)果在65-82歲和94-100歲之間低于觀測(cè)值，83-93歲之間高于觀測(cè)值。

3.分性別擬合結(jié)果

本文使用模型對(duì)2010年分性別的65歲及以上老年人口累計(jì)死亡概率進(jìn)行擬合（見(jiàn)圖3）。

圖3 2010年分性別模型擬合結(jié)果

擬合結(jié)果較好的是岡泊茨-麥克漢姆模型、威布爾模型、邏輯斯蒂模型和廣義極值模型，模型擬合值與觀測(cè)值之間差異絕對(duì)值較小。岡泊茨-麥克漢姆模型在女性老年人口的擬合值更接近觀測(cè)值。同時(shí)，在男性老年人口和女姓老年人口中，岡泊茨-麥克漢姆、威布爾和廣義極值三種模型的擬合值與觀測(cè)值之間差異變化一致，在65-75 歲和87-100 歲之間的擬合值低于觀測(cè)值，其他年齡的擬合值低于觀測(cè)值；邏輯斯蒂模型在65-70歲和82-91歲之間的擬合值高于觀測(cè)值，71-81歲和92-100歲之間的擬合值低于觀測(cè)值。

擬合結(jié)果一般的是岡泊茨模型、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂模型、對(duì)數(shù)-正態(tài)模型和逆高斯模型，模型擬合值與觀測(cè)值之間差異絕對(duì)值大于上面模型。逆高斯、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂、對(duì)數(shù)-正態(tài)三種模型的擬合結(jié)果在65-76歲和89-100歲之間低于觀測(cè)值，77-88歲之間高于觀測(cè)值；而岡泊茨模型的擬合結(jié)果在65-73歲和87-100歲之間高于觀測(cè)值，74-86歲之間低于觀測(cè)值。

模型結(jié)果較差的是指數(shù)模型和伽瑪模型，模型擬合值與觀測(cè)值之間差異絕對(duì)值較大。指數(shù)模型的擬合值在65-84歲之間高于觀測(cè)值，85-100歲之間低于觀測(cè)值。而伽瑪模型的擬合值在65-79歲和91-100歲之間低于觀測(cè)值，80-90歲之間高于觀測(cè)值。

4.預(yù)測(cè)結(jié)果

由于中國(guó)人口普查的最高年齡組是100 歲，無(wú)法知道100 歲之后存活情況。由于聯(lián)合國(guó)模型生命表和寇爾緒曼模型生命表的年齡組拓展到130歲，因此本文將最高年齡組由100歲拓展至130歲。

本文使用2010 年人口普查數(shù)據(jù)中65 歲及以上累計(jì)死亡概率，采用不同模型預(yù)測(cè)101-130 歲的累計(jì)死亡概率，檢驗(yàn)10 種模型的擬合效果（見(jiàn)圖4）?？梢钥闯鲋笖?shù)模型預(yù)測(cè)的累計(jì)死亡概率到130歲達(dá)到0.96，即130歲之后超過(guò)4%的人口存活，這說(shuō)明指數(shù)模型低估了中國(guó)高齡老年人口累計(jì)死亡概率。伽瑪模型和岡泊茨模型預(yù)測(cè)值在100 歲之后保持不變，分別為0.86 和1，不符合人口死亡規(guī)律。岡泊茨-麥克漢姆、威布爾、邏輯斯蒂、廣義極值、逆高斯、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂和對(duì)數(shù)-正態(tài)七種模型中，邏輯斯蒂模型和威布爾模型，在101 歲的時(shí)候達(dá)到0.97，之后預(yù)測(cè)值隨著老年人口年齡緩慢上升，接近中國(guó)老年人口死亡規(guī)律。其他幾種模型在100 歲時(shí)的累計(jì)死亡概率較低，可能低估了死亡水平。

圖4 2010年10種模型預(yù)測(cè)結(jié)果

五、結(jié)論與討論

本文使用10種統(tǒng)計(jì)模型擬合1982年、1990年、2000年和2010年人口普查中65歲及以上老年人口累計(jì)死亡概率，分析了不同模型擬合結(jié)果以及模型擬合值與觀測(cè)值之間的差異，得到結(jié)論如下：

從模型擬合結(jié)果來(lái)看，邏輯斯蒂、岡泊茨-麥克漢姆、威布爾和廣義極值四種模型擬合結(jié)果較好。已有的研究也表明邏輯斯蒂模型可以較好地?cái)M合老年人口死亡率，［14-15］［17］［24-25］廣義極值模型也能很好地反映中國(guó)高齡老年人口死亡率曲線(xiàn)，［11-12］岡泊茨-麥克漢姆模型相比岡泊茨模型能更好擬合老年人口死亡模式，但未解決高估高齡老年人口死亡率問(wèn)題。［2］［13］指數(shù)模型和伽瑪模型擬合累計(jì)分布函數(shù)效果較差，不適合擬合老年人口累計(jì)死亡概率。

從模型擬合值與觀測(cè)值之間的差異分析，發(fā)現(xiàn)不同模型的擬合值在不同年齡段存在高于或者低于觀測(cè)值的問(wèn)題。岡泊茨-麥克漢姆、廣義極值、逆高斯、對(duì)數(shù)-邏輯斯蒂、對(duì)數(shù)-正態(tài)和威布爾六種模型的擬合結(jié)果大致在低齡老年階段和高齡老年階段低于觀測(cè)值，在中齡老年階段高于觀測(cè)值。岡泊茨模型在低齡老年階段和高齡老年階段的擬合值高于觀測(cè)值，并且擬合值與觀測(cè)值之間的差異較大。邏輯斯蒂模型的擬合結(jié)果與觀測(cè)值之間的差異值高于岡泊茨-麥克漢姆模型，其差異值在低中高老年階段呈波動(dòng)式的變化，能較好地體現(xiàn)中國(guó)老年人口死亡模式。［15］［17］2010 年城市、城鎮(zhèn)和女性老年人口中，岡泊茨-麥克漢姆模型的擬合值與觀測(cè)值之間差異的絕對(duì)值最小，說(shuō)明岡泊茨-麥克漢姆模型對(duì)城市、城鎮(zhèn)和女性死亡數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果最好。

使用各種模型將2010年人口普查最高年齡組由100歲拓展到130歲，預(yù)測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)指數(shù)模型和伽瑪模型低估了高齡老年人口累計(jì)死亡概率，岡泊茨模型高估了高齡老年人口累計(jì)死亡概率，邏輯斯蒂和威布爾模型預(yù)測(cè)結(jié)果較好。

本文也存在一定的局限。首先，本文使用不同的模型擬合了老年人口累計(jì)死亡概率，雖然可以平滑累計(jì)死亡概率曲線(xiàn)，但是不能對(duì)死亡數(shù)據(jù)的漏報(bào)做出修正。其次，本文依據(jù)時(shí)期死亡指標(biāo)計(jì)算得到的累計(jì)死亡概率，一定程度上會(huì)受到死亡漏報(bào)等事件的影響。例如，100歲時(shí)老年人口累計(jì)死亡概率為0.97，而現(xiàn)實(shí)情況中百歲老人的存活率不超過(guò)3%。因此，模型擬合結(jié)果可能會(huì)因?yàn)樗劳雎﹫?bào)的存在而出現(xiàn)一定偏差。再次，就各種模型來(lái)說(shuō)，針對(duì)不同的數(shù)據(jù)可能有不同的擬合效果，因此，不同的數(shù)據(jù)需要選擇不同的模型。最后，本文使用的是概率分布模型，更多的是認(rèn)識(shí)和應(yīng)用模型，了解模型的適用性，還需要從更多視角例如分年齡段模型等探討老年人口死亡模式。