內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)類(lèi)型柔性及均載與動(dòng)載特性對(duì)比分析

胡升陽(yáng)，方宗德，徐穎強(qiáng)，沈 瑞

(1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710072；2.中國(guó)航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南 株洲 412002)

行星傳動(dòng)系統(tǒng)具備結(jié)構(gòu)緊湊、傳遞功率大、承載能力高、抗沖擊和振動(dòng)的能力強(qiáng)以及傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，故而有十分廣泛的用途。內(nèi)齒圈作為行星傳動(dòng)系統(tǒng)的重要構(gòu)件之一，其動(dòng)態(tài)嚙合特性直接影響傳動(dòng)系統(tǒng)的均載和動(dòng)載性能，分析內(nèi)齒圈的振動(dòng)機(jī)理，提出相應(yīng)的減振、降噪措施，對(duì)于設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)良的行星齒輪傳動(dòng)裝置有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

理論分析和實(shí)驗(yàn)研究都表明，內(nèi)齒圈的柔度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響是不容忽視的[1-4]。增加行星輪系中內(nèi)齒圈的柔性將使行星齒輪之間的載荷分配更加均勻。Hidaka等[3]對(duì)傳統(tǒng)的內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入的研究，得出了輪緣厚度對(duì)變形、應(yīng)力和載荷分擔(dān)系數(shù)的影響。結(jié)果表明，當(dāng)輪緣厚度較小時(shí)，內(nèi)齒圈的彎曲變形起主導(dǎo)作用。隨著齒厚的增加，內(nèi)齒圈上的最大應(yīng)力逐漸從齒槽向齒根轉(zhuǎn)移，但對(duì)其載荷分擔(dān)性能的影響不顯著。Kahraman等[5]還利用有限元法建立了行星輪系的準(zhǔn)靜態(tài)模型，以分析傳統(tǒng)內(nèi)齒圈的柔度對(duì)齒輪應(yīng)力和載荷分布的影響。此外，Kahraman等[6]利用類(lèi)似的方法，進(jìn)一步研究了傳統(tǒng)內(nèi)齒圈的柔度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，研究表明減小內(nèi)齒圈的厚度有助于補(bǔ)償齒輪制造安裝誤差造成的不均勻載荷效應(yīng)。然而由于傳統(tǒng)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)輪緣較厚并呈現(xiàn)剛度高的特點(diǎn)，從而影響傳動(dòng)系統(tǒng)的均載和動(dòng)載性能。為獲取更加優(yōu)良的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，學(xué)者們對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)齒圈的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化后獲得了可以降低傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)和不均載的柔性?xún)?nèi)齒圈結(jié)構(gòu)。例如：薄壁柔性?xún)?nèi)齒圈結(jié)構(gòu)[7]、新材料和彈性支撐的內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)等。

然而，目前對(duì)于傳統(tǒng)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)與柔性?xún)?nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與柔性差異及對(duì)系統(tǒng)均載和動(dòng)載的影響甚少有文獻(xiàn)報(bào)道。筆者對(duì)此進(jìn)行詳細(xì)分析，以期為系統(tǒng)傳動(dòng)構(gòu)件的設(shè)計(jì)選用提供幫助。

1 內(nèi)齒圈類(lèi)型及柔性分析

對(duì)常見(jiàn)的3種內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)[8](傳統(tǒng)內(nèi)齒圈、薄壁柔性?xún)?nèi)齒圈及彈性銷(xiāo)內(nèi)齒圈)展開(kāi)對(duì)比分析，以了解各內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的特性以及其對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，為設(shè)計(jì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

為準(zhǔn)確對(duì)比分析3種結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，筆者將采用完全相同模數(shù)、齒數(shù)、外徑、變位系數(shù)、輪緣厚度、壓力角及相同齒寬參數(shù)的內(nèi)齒圈，參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 內(nèi)齒圈部分參數(shù)

1.1 傳統(tǒng)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)具備輪緣厚度大并且采用輪緣外側(cè)固定支承的方式(見(jiàn)圖1)，致使諸多學(xué)者在分析輪齒嚙合過(guò)程時(shí)忽略不計(jì)輪緣變形，僅考慮輪齒的承載變形。通過(guò)構(gòu)建傳統(tǒng)內(nèi)齒圈與外嚙合齒輪的有限元模型，按照中心距裝配，設(shè)置材料屬性，采用“static,general”靜態(tài)分析步，并設(shè)置齒輪中心參考點(diǎn)與輪齒網(wǎng)格耦合。采用“surface-to-surface contact”面面接觸分析類(lèi)型及“small sliding”微小滑移算法，并設(shè)置接觸屬性為切向無(wú)摩擦且法向硬接觸。從而獲取了含輪緣柔性的單個(gè)嚙合周期下的輪齒承載傳動(dòng)誤差曲線(xiàn)，如圖2所示。

圖1 傳統(tǒng)內(nèi)齒圈有限元模型Fig. 1 Finite element model of traditional ring

圖2 傳統(tǒng)內(nèi)齒圈承載傳動(dòng)誤差曲線(xiàn)Fig. 2 Loaded transmission errors of traditional ring

1.2 薄壁柔性?xún)?nèi)齒圈

薄壁柔性?xún)?nèi)齒圈通過(guò)依靠齒輪本身彈性變形使各行星輪載荷均勻減少振動(dòng)，該結(jié)構(gòu)采用下端面固定且延伸輪緣長(zhǎng)度形成懸臂的特點(diǎn)。通過(guò)構(gòu)建新型柔性?xún)?nèi)齒圈的單齒有限元模型并環(huán)形陣列合并形成全齒模型，見(jiàn)圖3。設(shè)定材料屬性(彈性模量206 000 MPa，泊松比0.3，密度7.85 g/cm3)、采用靜力通用分析步并設(shè)置相關(guān)接觸面及接觸特性后施加扭矩于太陽(yáng)輪中心點(diǎn)位置，準(zhǔn)確獲得單個(gè)嚙合周期內(nèi)的承載傳動(dòng)誤差曲線(xiàn)，如圖4所示。

圖3 薄壁柔性?xún)?nèi)齒圈有限元模型Fig. 3 Finite element model of thin-walled ring

圖4 承載傳動(dòng)誤差曲線(xiàn)Fig. 4 Loaded transmission errors of thin-walled ring

1.3 彈性銷(xiāo)內(nèi)齒圈

彈性銷(xiāo)內(nèi)齒圈則通過(guò)將內(nèi)齒圈輪緣與外接基體部分間添加銷(xiāo)連接，通過(guò)控制銷(xiāo)的柔性以降低整體剛度提升系統(tǒng)的均載性能。由于該結(jié)構(gòu)的有限元模型計(jì)算時(shí)存在收斂困難且計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題，因此在結(jié)合其結(jié)構(gòu)和支撐特點(diǎn)的情況下給出了一種數(shù)值解法，提高效率的同時(shí)保證了準(zhǔn)確度，具體方程可見(jiàn)作者已發(fā)表文獻(xiàn)[9]，此處僅做簡(jiǎn)要闡述。假設(shè)內(nèi)齒圈有n個(gè)支座(以5支座為例，見(jiàn)圖5)，內(nèi)齒圈可分為至少n段均勻彎曲的彎曲梁[10]。通過(guò)分析可得內(nèi)齒圈的周向位移ω、徑向位移μ和彎曲角θ所造成的嚙合線(xiàn)上總體變形。

圖5 內(nèi)齒圈銷(xiāo)支承原理圖Fig. 5 Schematic diagram of pin

1)固定支撐的內(nèi)齒圈通常采用螺栓連接。在支承位置的平移位移完全受約束，僅保留轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，即u=0；ω=0；θ1=θ2。

2)采用銷(xiāo)釘支承內(nèi)齒圈時(shí)存在兩種邊界條件。當(dāng)梁沿徑向遠(yuǎn)離圓心時(shí)，它將與銷(xiāo)釘接觸。梁在支承位置的周向位移和徑向位移受到完全約束。此時(shí)邊界條件與固定相同，即u=0；ω=0；θ1=θ2。當(dāng)梁沿著接近圓心的徑向移動(dòng)時(shí)，它將通過(guò)與銷(xiāo)釘分離。梁在支承位置的周向位移和徑向位移可以同時(shí)進(jìn)行。此時(shí)，邊界條件為u1=u2；ω1=ω2；θ1=θ2。

基于上述分析，通過(guò)對(duì)任意截面曲線(xiàn)梁的任意邊界約束位置設(shè)置不同的邊界條件，可以得到相應(yīng)的變形、內(nèi)力和轉(zhuǎn)矩。

將內(nèi)齒輪輪齒部分作為剛體，嚙合力以周向力、徑向力和轉(zhuǎn)矩的形式作用于內(nèi)齒輪的關(guān)系見(jiàn)圖6。

圖6 內(nèi)齒圈變形沿嚙合線(xiàn)線(xiàn)的位移(含力分解)Fig. 6 Displacement of ring gear deformation along the meshing line (including force decomposition)

(1)

周向位移ω、徑向位移μ和彎曲角θ所造成的嚙合線(xiàn)上總體變形，

σ=ωcosα+μsinα+θ|OA|sinβ。

(2)

根據(jù)支撐邊界條件，通過(guò)對(duì)均勻曲線(xiàn)梁的分析，得到了梁的周向位移ω、徑向位移μ和彎曲角θ等表達(dá)式。根據(jù)一般彈性體材料力學(xué)原理，將截面內(nèi)力與變形聯(lián)系起來(lái)，可以建立以下基本微分方程：

(3)

式中：A是梁的橫截面積；E是彈性模量；G是剪切模量；Ix和Iy對(duì)應(yīng)x和y軸的彎曲慣性矩；Id是關(guān)于z軸的扭轉(zhuǎn)慣性矩；Iω是梁的變形常數(shù)；Q是剪切力。

通過(guò)對(duì)上述公式的推導(dǎo)和變換，得到了彎曲的微分方程及相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角和彎曲角的表達(dá)式。

(4)

當(dāng)集中荷載和扭矩作用于梁的任意位置時(shí)，梁的各截面內(nèi)力被分成兩部分，如圖7所示。

圖7 集中荷載和集中扭矩下的變形計(jì)算Fig. 7 Deformation calculation under concentrated load and concentrated torque

(5)

(6)

由上式得到撓度微分方程為：

并得通解為：

(7)

基于邊界條件和連續(xù)條件，

得到相關(guān)系數(shù)：

(8)

將得到的常數(shù)代入公式，得到集中荷載和集中扭矩作用下彎曲梁的彎曲度及彎扭角的計(jì)算公式為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

至此，獲取了彈性銷(xiāo)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的輪緣的變形以及綜合時(shí)變嚙合剛度(輪齒時(shí)變嚙合剛度采用有限元方法)，并給出了固定支承下該方法計(jì)算結(jié)果與有限元進(jìn)行了對(duì)比，見(jiàn)圖8。

圖8 輪緣變形對(duì)比與綜合嚙合剛度Fig. 8 Deformation comparison and comprehensive meshing stiffness

1.4 對(duì)比總結(jié)

通過(guò)分析3種內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的柔性，可獲知傳統(tǒng)剛性?xún)?nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的柔性最小，剛度最大。薄壁內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的柔性最好，且波動(dòng)幅值較小。彈性銷(xiāo)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的柔性介于以上兩者之間，但存在柔性波動(dòng)過(guò)大的問(wèn)題，該缺點(diǎn)將導(dǎo)致時(shí)變嚙合剛度的波動(dòng)劇烈，從而影響系統(tǒng)的均載和動(dòng)載特性。為更加準(zhǔn)確定量地獲知3種內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性影響的區(qū)別，下文將通過(guò)構(gòu)建行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)一步對(duì)比3種內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的差異。

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

為進(jìn)一步了各內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的影響對(duì)比，采用集中質(zhì)量法[9]構(gòu)建了行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。圖9為行星齒輪傳動(dòng)簡(jiǎn)圖。整個(gè)系統(tǒng)由太陽(yáng)輪、5個(gè)行星輪和內(nèi)齒圈組成。輸入的功率由太陽(yáng)輪分流經(jīng)過(guò)行星輪后再匯流到行星架上輸出。

圖9 行星齒輪傳動(dòng)簡(jiǎn)圖Fig. 9 Schematic diagram of planetary gear transmission

建模時(shí)采用集中質(zhì)量模型，將齒輪視為集中質(zhì)量傳統(tǒng)圓盤(pán)，嚙合副的彈性變形簡(jiǎn)化為沿嚙合線(xiàn)的時(shí)變彈簧剛度，支承處的彈性變形則用等效彈簧剛度表示，齒輪均為直齒輪，且各行星輪的物理和幾何參數(shù)相同，不計(jì)齒輪嚙合時(shí)摩擦力的影響，考慮齒輪的安裝誤差、制造誤差，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖10所示[11]。

圖10 行星傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig. 10 Dynamic model of the system

所構(gòu)建行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型的廣義坐標(biāo)為X={xs,ys,us,xpi,ypi,xr,yr,ur,xc,yc,uc},其中i=1,2,…,5。

圖10中，kspi表示太陽(yáng)輪與行星輪嚙合副間的輪齒時(shí)變嚙合剛度；kspi表示太陽(yáng)輪與行星輪嚙合副間的嚙合阻尼；krpi表示行星輪與內(nèi)齒圈嚙合副間的輪齒時(shí)變嚙合剛度；crpi表示行星輪與內(nèi)齒圈嚙合副間的嚙合阻尼；ksx表示太陽(yáng)輪的支承處在x方向上的等效彈簧剛度；ksy表示太陽(yáng)輪的支承處在y方向上的等效彈簧剛度；csx表示太陽(yáng)輪的支承處在x方向上的等效阻尼；csy表示太陽(yáng)輪的支承處在y方向上的等效阻尼；kpix表示行星輪的支承處在x方向上的等效彈簧剛度；kpiy表示行星輪的支承處在y方向上的等效彈簧剛度；cpix表示行星輪的支承處在x方向上的等效阻尼；cpiy表示行星輪的支承處在y方向上的等效阻尼；krx表示內(nèi)齒圈的支承處在x方向上的等效彈簧剛度；kry表示內(nèi)齒圈的支承處在y方向上的等效彈簧剛度；crx表示內(nèi)齒圈的支承處在x方向上的等效阻尼；cry表示內(nèi)齒圈的支承處在y方向上的等效阻尼；kcx表示行星架的支承處在x方向上的等效彈簧剛度；kcy表示行星架的支承處在y方向上的等效彈簧剛度；ccx表示行星架的支承處在x方向上的等效阻尼；ccy表示行星架的支承處在y方向上的等效阻尼。

按照行星輪系工況(見(jiàn)表2)，傳遞功率2 958.8 kW、輸出轉(zhuǎn)速1 128 r/min，采用Runge-Kutta算法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解。

表2 行星輪系構(gòu)件參數(shù)

2.1 各構(gòu)件相對(duì)位置關(guān)系分析

目前對(duì)于行星傳動(dòng)系統(tǒng)各構(gòu)件間相對(duì)位置關(guān)系的分析已經(jīng)較為完善，故本節(jié)對(duì)各構(gòu)件間相對(duì)位置關(guān)系的分析過(guò)程不再贅述。結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)獲知各構(gòu)件相對(duì)位置關(guān)系在端面嚙合線(xiàn)上的相對(duì)位移關(guān)系轉(zhuǎn)化公式見(jiàn)下文1)至4)，圖11與圖12為各構(gòu)件間相對(duì)位置關(guān)系圖(圖中忽略綜合誤差)。

圖11 太陽(yáng)輪與行星輪間相對(duì)位移關(guān)系Fig. 11 Relative displacement relationship between sun and planetary wheel

圖12 行星架與行星輪間相對(duì)位移關(guān)系Fig. 12 Relative displacement relationship between carrier and planetary wheel

1)太陽(yáng)輪中心和行星輪中心在端面嚙合線(xiàn)上的相對(duì)位移：

(15)

2)行星輪中心和內(nèi)齒圈中心在端面嚙合線(xiàn)上的相對(duì)位移：

(16)

3)行星輪中心和行星架中心在xc、yc、uc方向上的相對(duì)位移：

(17)

(18)

(19)

4)行星輪中心和行星架中心在xn、yn方向上的相對(duì)位移：

(20)

(21)

2.2 誤差分析

本文中考慮的系統(tǒng)誤差包括太陽(yáng)輪、行星輪、內(nèi)齒圈的偏心誤差Es、Epi、Er及安裝誤差A(yù)s、Api、Ar，各構(gòu)件的偏心誤差的相位角為θEs、θEpi、θEr，各構(gòu)件的安裝誤差的相位角為θAs、θApi、θAr，i=1,2,…,5。各誤差的相位角的起始位置為各構(gòu)件坐標(biāo)系中x軸，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?/p>

為便于讀者的閱讀，于圖13給出了行星輪的偏心誤差、安裝誤差以及相應(yīng)相位角的示意圖，其他構(gòu)件的誤差定義與其相同。具體含義如下：在O上裝配該構(gòu)件時(shí)將不存在安裝誤差，為理論裝配位置。O1為構(gòu)件理想制造中心，O2為構(gòu)件實(shí)際安裝位置。

圖13 行星輪偏心誤差與安裝誤差示意圖Fig. 13 Schematic diagram of eccentric error and installation error of planetwheel

依據(jù)對(duì)于構(gòu)件偏心誤差與安裝誤差的位置關(guān)系定義，可將各構(gòu)件的偏心誤差和安裝誤差分別向相對(duì)應(yīng)的端面嚙合線(xiàn)方向上投影得到各構(gòu)件的當(dāng)量嚙合誤差，并將內(nèi)、外嚙合線(xiàn)上的當(dāng)量嚙合誤差進(jìn)行累加即可得到相應(yīng)的嚙合線(xiàn)上的累積嚙合誤差。這里規(guī)定嚙合線(xiàn)方向?yàn)楸粍?dòng)輪指向主動(dòng)輪，太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?，行星輪、?nèi)齒圈的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)樨?fù)。至此獲得了行星輪、太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈以及行星架在嚙合線(xiàn)上的嚙合誤差關(guān)系式，具體見(jiàn)下文。

1)行星輪偏心誤差Epi向第i個(gè)外嚙合副端面嚙合線(xiàn)方向投影得到當(dāng)量嚙合誤差：

(22)

偏心誤差Epi向第i個(gè)內(nèi)嚙合副端面嚙合線(xiàn)方向投影得到當(dāng)量嚙合誤差：

(23)

安裝誤差A(yù)pi向第i個(gè)外嚙合副端面嚙合線(xiàn)方向投影得到當(dāng)量嚙合誤差：

(24)

安裝誤差A(yù)pi向第i個(gè)內(nèi)嚙合副端面嚙合線(xiàn)方向投影得到當(dāng)量嚙合誤差：

(25)

2)太陽(yáng)輪偏心誤差Es向第i個(gè)外嚙合副端面嚙合線(xiàn)方向投影得到當(dāng)量嚙合誤差：

(26)

安裝誤差A(yù)s向第i個(gè)外嚙合副端面嚙合線(xiàn)方向投影得到當(dāng)量嚙合誤差：

(27)

3)內(nèi)齒圈偏心誤差Er向第i個(gè)內(nèi)嚙合副端面嚙合線(xiàn)方向投影得到當(dāng)量嚙合誤差：

(28)

安裝誤差A(yù)pi向第i個(gè)內(nèi)嚙合副端面嚙合線(xiàn)方向投影得到當(dāng)量嚙合誤差：

(29)

假設(shè)齒輪副的齒側(cè)間隙為b，在計(jì)入時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙及系統(tǒng)阻尼的條件下，獲得了行星輪與太陽(yáng)輪、行星輪與內(nèi)齒圈間的嚙合力表達(dá)式。

行星輪與太陽(yáng)輪間嚙合力：

(30)

(31)

(32)

行星輪與內(nèi)齒圈間嚙合力：

(33)

(34)

(35)

式中：f(δsn,b)為行星輪與太陽(yáng)輪間齒側(cè)間隙非線(xiàn)性函數(shù)；f(δrn,b)為行星輪與內(nèi)齒圈間齒側(cè)間隙非線(xiàn)性函數(shù)。

至此，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，結(jié)合前文分析建立了考慮時(shí)變嚙合剛度、偏心誤差、安裝誤差等特性的行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程。

1)太陽(yáng)輪運(yùn)動(dòng)微分方程。

(36)

式中：ms、Is分別表示太陽(yáng)輪的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ksx、csx分別表示太陽(yáng)輪的橫向支承剛度及橫向支承阻尼；ksy、csy分別表示太陽(yáng)輪的縱向支承剛度及縱向支承阻尼；ksu、csu分別表示太陽(yáng)輪的扭轉(zhuǎn)方向的支承剛度及扭轉(zhuǎn)阻尼；Ts為輸入扭矩；rs為太陽(yáng)輪基圓半徑，Is為太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，αsp為太陽(yáng)輪與行星輪的嚙合角。

2)行星輪運(yùn)動(dòng)微分方程。

(37)

式中：mp、Ip分別表示行星輪的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；kpx、cpx分別表示行星輪的橫向支承剛度及橫向支承阻尼；kpy、cpy分別表示行星輪的縱向支承剛度及縱向支承阻尼；rn為行星輪基圓半徑，In為行星輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

3)內(nèi)齒圈運(yùn)動(dòng)微分方程。

(38)

式中：mr、Ir分別表示內(nèi)齒圈的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；krx、crx分別表示內(nèi)齒圈的橫向支承剛度及橫向支承阻尼；kry、cry分別表示內(nèi)齒圈的縱向支承剛度及縱向支承阻尼；kru、cru分別表示內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)方向的支承剛度及扭轉(zhuǎn)阻尼；rr為內(nèi)齒圈基圓半徑，Ir為內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，αrp為內(nèi)齒圈與行星輪的嚙合角。

4)行星架運(yùn)動(dòng)微分方程。

(39)

式中：mc分別表示行星架的質(zhì)量；kcx、ccx分別表示行星架的橫向支承剛度及橫向支承阻尼；kcy、ccy分別表示行星架的縱向支承剛度及縱向支承阻尼；kcu、ccu分別表示行星架的扭轉(zhuǎn)方向的支承剛度及扭轉(zhuǎn)阻尼，Ic為行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Tc為行星架的輸出扭矩。

通過(guò)構(gòu)建的行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將所獲各內(nèi)齒圈的承載傳動(dòng)誤差轉(zhuǎn)化為時(shí)變嚙合剛度引入模型，設(shè)置誤差類(lèi)型如表3所示(考慮實(shí)際工況下，系統(tǒng)的誤差是無(wú)法避免的，并且當(dāng)系統(tǒng)不存在誤差時(shí)，系統(tǒng)將完全均載，亦將無(wú)法對(duì)比齒圈結(jié)構(gòu)類(lèi)型的差異。)，進(jìn)而準(zhǔn)確獲取并對(duì)比了傳統(tǒng)內(nèi)齒圈、薄壁柔性?xún)?nèi)齒圈以及彈性銷(xiāo)內(nèi)齒圈3種結(jié)構(gòu)下的系統(tǒng)的均載系數(shù)和動(dòng)載系數(shù)狀況。具體如圖14、15所示。

表3 誤差設(shè)置

圖14 均載系數(shù)對(duì)比Fig. 14 Comparison of load sharing coefficient

由圖14和圖15可知以下結(jié)論：1)傳統(tǒng)內(nèi)齒圈的柔性最差，系統(tǒng)的均載系數(shù)為1.12，系統(tǒng)的均載系數(shù)和動(dòng)載系數(shù)均較另外兩種內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)明顯偏大。2)彈性銷(xiāo)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)由于結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，導(dǎo)致輪齒接觸的時(shí)變嚙合剛度不斷變換，且當(dāng)處于銷(xiāo)釘位置時(shí)剛度會(huì)明顯增大。其系統(tǒng)的均載系數(shù)為1.098，雖然較傳統(tǒng)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)有所降低，但明顯振動(dòng)較多，且在動(dòng)載系數(shù)上振動(dòng)更是表現(xiàn)明顯。3)薄壁柔性?xún)?nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的均載效果最好且無(wú)多余振動(dòng)，系統(tǒng)的均載系數(shù)僅為1.048，但由于其支撐方式的原因?qū)е孪到y(tǒng)的各支路的動(dòng)載系數(shù)波動(dòng)增大，但整體趨向于均勻，波動(dòng)變緩。

圖15 動(dòng)載系數(shù)對(duì)比Fig. 15 Comparison of dynamic load factorcoefficients

3 結(jié) 論

柔性?xún)?nèi)齒圈的提出是對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)齒圈機(jī)構(gòu)的全新改革，然而目前對(duì)于該類(lèi)結(jié)構(gòu)的分析甚少。在本文中，通過(guò)構(gòu)建各內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)類(lèi)型的柔性分析模型以及系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，從靜力學(xué)特性和動(dòng)態(tài)特性?xún)煞矫鎸?duì)比分析各結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn)。結(jié)論如下：

1)傳統(tǒng)內(nèi)齒圈由于輪緣厚度大且支承方式的特點(diǎn)導(dǎo)致其剛性最強(qiáng)柔性最差，往往僅分析受載時(shí)輪齒部分的承載變形。由于柔度差導(dǎo)致采用該結(jié)構(gòu)會(huì)較其他的柔性?xún)?nèi)齒圈結(jié)構(gòu)在系統(tǒng)的均載系數(shù)和動(dòng)載系數(shù)上明顯偏大。

2)彈性銷(xiāo)內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)在輪齒嚙合過(guò)程中存在內(nèi)齒圈偏離圓心和靠近圓心的兩種姿態(tài)，且由于銷(xiāo)釘?shù)拇嬖跁?huì)導(dǎo)致在相鄰兩個(gè)銷(xiāo)釘之間內(nèi)齒圈的變形不均勻呈拱形的特點(diǎn)，這將導(dǎo)致輪齒接觸的時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)劇烈，且當(dāng)處于銷(xiāo)釘位置時(shí)剛度會(huì)明顯增大。該結(jié)構(gòu)在降低系統(tǒng)的均載系數(shù)的同時(shí)存在振動(dòng)明顯增多的缺陷，并且導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)載系數(shù)波動(dòng)劇烈且雜亂無(wú)章。

3)薄壁柔性?xún)?nèi)齒圈結(jié)構(gòu)由于支撐位置位于下端面，靠?jī)?nèi)齒圈自身的柔性實(shí)現(xiàn)均載，因此其均載效果最好且無(wú)多余振動(dòng)，并且在嚙合過(guò)程中亦不會(huì)出現(xiàn)時(shí)變嚙合剛度的劇烈波動(dòng)。但亦因?yàn)槠渲畏绞降脑驎?huì)造成齒面載荷的偏載出現(xiàn)，因此在設(shè)計(jì)時(shí)可考慮在輪緣的上端面設(shè)計(jì)加強(qiáng)環(huán)以降低齒面偏載的弊端。此外薄壁內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的各支路的動(dòng)載系數(shù)波動(dòng)增大，但各支路的波動(dòng)趨向于均勻變緩。