設(shè)滑動支座的墩柱計算長度系數(shù)近似解法

吳軍鵬， 張運(yùn)清， 張珠皓

(山東省交通規(guī)劃設(shè)計院有限公司， 山東 濟(jì)南 250031)

對于簡單約束的柔性桿件，經(jīng)典力學(xué)給出了相應(yīng)的計算方法和計算長度系數(shù)。一端固定，一端自由時，為2.0；一端固定一端鉸接時，為0.7；而實際工程中，墩柱的受力狀態(tài)介于二者之間，0.7～2.0的范圍過于寬泛，往往給設(shè)計人員造成困擾。有些文獻(xiàn)對設(shè)置固定支座或普通板式橡膠支座的橋墩進(jìn)行了研究，得出了比較詳細(xì)且適用于工程應(yīng)用的結(jié)論，但對大量應(yīng)用的設(shè)滑板支座的橋墩計算長度系數(shù)的研究，報道較少。該文將進(jìn)行這方面的研究。

1 推演分析

根據(jù)橋墩受力平衡條件和變形情況：

M(x)=Fcr(δ-ω)+F(L-x)=-EIω″

(1)

式中：Fcr為豎向壓力，即最終求解的失穩(wěn)臨界力；F為阻止繼續(xù)產(chǎn)生失穩(wěn)變形的摩阻力；其他參數(shù)見圖1。

圖1 計算圖示

為得到該微分方程簡單形式的解析解，需將其表示為Fcr的函數(shù)。考慮到各種不確定因素(溫度高低、有無硅脂、接觸面是否潔凈等)，將摩阻力對墩柱穩(wěn)定的有利作用進(jìn)行折減，偏安全地，令：

F=0.5μFcr

式中：μ為支座的摩阻系數(shù)。

再令：

于是式(1)可轉(zhuǎn)化為：

ω″+k2ω=k2[δ-0.5μ(L-x)]

(2)

該微分方程的通解為：

ω=Asin(kx)+Bcos(kx)+[δ-0.5μ(L-x)]

邊界條件如下：

(1)x=0，ω=0；

(2)x=0，ω′=0；

(3)x=L，ω=δ。

由邊界條件(1)、(2)，有：

B+δ-0.5μL=0

Ak+0.5μ=0

解得：

B=-δ+0.5μL

由邊界條件(3)，有：

Asin(kL)+Bcos(kx)+[δ-0.5μ(L-x)]=δ

將A、B代入上式，整理后得：

(3)

式(3)即為設(shè)滑動支座的墩柱壓彎穩(wěn)定微分方程解。但該式為超越方程，且含有不確定的參數(shù)，直接將該式應(yīng)用于工程實踐有一定困難，需要對該方程進(jìn)行簡化分析。

注意到，δ為當(dāng)前墩頂水平位移(Fcr作用下繼續(xù)滑動即認(rèn)為失穩(wěn))，它包括兩部分：δ=δ1+δ2。δ1為施工時墩頂?shù)某跏计?；?為溫度力、制動力使墩頂產(chǎn)生的位移。

根據(jù)有關(guān)規(guī)范，δ1取min(0.02 m，L/1 500)，為方便分析超越方程、簡化計算，取L/1 500(該項對結(jié)果影響很小，詳見后文)。

由于設(shè)滑動支座，δ2由摩阻力控制，于是：

(4)

式中：W為作用于滑動支座的豎向力。在彈性范圍內(nèi)，混凝土的最大壓應(yīng)變?yōu)?.002，于是在極限狀態(tài)下，可以偏安全地認(rèn)為：

(5)

將式(5)代入式(4)：

式中：

為區(qū)別于計算長細(xì)比，這里暫且將λz稱之為自然長細(xì)比，i為墩柱的回轉(zhuǎn)半徑。

于是：

將上式代入式(3)，整理后得到：

(6)

下面對式(6)進(jìn)行分析：

將kL看成單獨(dú)變量，令kL=t，等號兩邊，分別看做兩個函數(shù)：

y1=tant

當(dāng)y1=y2時，t值即是方程(6)的解。

注意到，y1為周期函數(shù)，y2為一條直線(括號中式子為其斜率)。理論上講，其解有無數(shù)個，但作為穩(wěn)定分析，這里僅關(guān)注其第1階失穩(wěn)模態(tài)，即第一個非零解。利用圖解法(圖2)，可得到：

圖2 圖解示意

交點橫坐標(biāo)即是t值(即kL值)。該圖可采用Matlab繪出，或采用Excel等工具間接獲得t值，在此不贅述。

回到前文中的假設(shè)：

根據(jù)歐拉公式：

為區(qū)別于前文中的摩擦系數(shù)，這里，計算長度系數(shù)用ζ表示?？傻茫?/p>

(7)

將kL值(t值)代入式(7)即可求出設(shè)滑動支座的墩柱計算長度系數(shù)。

下面考察kL值的影響因素：

JTG D60—2015《公路橋涵設(shè)計通用規(guī)范》中，對各種滑動支座與不同接觸面的μ值有明確規(guī)定，為0.03～0.12。則上式第一項取值范圍為[0.044, 0.011]，得到λz取值范圍為[26.77,27.23]。直觀起見，以圓形墩柱為例，將其換算為柱高L與柱徑D的比值：

這與矮墩取大值、高墩取小值的習(xí)慣相反，應(yīng)引起設(shè)計人員的注意。

需要特別說明的是：上文中的L值，對于群樁承臺基礎(chǔ)或擴(kuò)大基礎(chǔ)，柱的高度自承臺或擴(kuò)大基礎(chǔ)頂算起；對于排架墩，應(yīng)包含沖刷深度和嵌固深度[根據(jù)工程經(jīng)驗，反彎點約在沖刷線以下(1.0～1.5)D范圍內(nèi)，這與地基土的m值有關(guān)]。

2 方程的近似解法

通過圖解法或借助Excel可得到墩柱的計算長度系數(shù)，但過程比較繁瑣，不易于進(jìn)行批量分析。

將上文中y1=tant在(π/2，π)上進(jìn)行泰勒展開：

為避免解5次方程，這里舍去高階項，僅保留前兩項，同時，令：

于是可得：

整理后：

(t-π)3+(3+3a)(t-π)+3aπ=0

a<-1時(此時才有實根)，該三次方程的實根為：

t-π=

由于舍去了5階及以上的項，方程的解存在一定誤差。經(jīng)試算，在λz<32的范圍內(nèi)，其解是足夠精確的。λz=32時，t值的誤差為4%～5%(μ值的影響)。

根據(jù)工程一般情況，由上文分析，僅取(1.7，π)之間的根。得到t值(即kL值)后，由式(7)即可得出計算長度系數(shù)ζ。

以上方程的解雖然形式復(fù)雜，但易于采用軟件批量計算。但應(yīng)注意適用范圍，以免產(chǎn)生較大誤差。

3 常用范圍數(shù)據(jù)表

解析法雖然可實現(xiàn)批量計算，但應(yīng)用范圍有限，實際應(yīng)用中可能會出現(xiàn)λz大于32的情況，會導(dǎo)致誤差超過5%。因此有必要根據(jù)滑動支座不同的μ值和墩柱的λz值，編制成數(shù)據(jù)表格。

表1 常用尺寸范圍摩阻墩計算長度系數(shù)表(μ為摩阻系數(shù))

英國規(guī)范BS 5400中規(guī)定，對于墩頂產(chǎn)生水平移動的墩柱，其計算長度系數(shù)取1.41，符合墩高在8.5D左右的計算長度系數(shù)。

4 結(jié)語

該文僅討論了設(shè)滑動支座的墩柱，對普通板式橡膠支座和固定支座的研究詳見文獻(xiàn)[4]。當(dāng)墩柱較高時，應(yīng)判斷支座在水平力作用下是否滑動，若未產(chǎn)生滑動，尚應(yīng)按固定支座計算。

推演過程中采用了較多保守性假設(shè)條件，且未考慮滑動支座對橋墩的轉(zhuǎn)動約束，因此，得出的計算長度系數(shù)比實際略大。