先用整體法還是先用隔離法
——連接體問(wèn)題中研究對(duì)象的選擇順序

張克文

（灤南縣第一中學(xué)，河北 唐山 063500）

1 提出問(wèn)題

物理學(xué)的發(fā)展中，貫穿著歸一性和簡(jiǎn)潔性，一類問(wèn)題的解決方法，若能進(jìn)行歸一，必然能夠提高學(xué)習(xí)效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，同時(shí)這也遵循著物理學(xué)科素養(yǎng)中的科學(xué)思維的精神.

連接體問(wèn)題，指的是存在相互作用的幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，是高中物理的運(yùn)動(dòng)和力部分的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).無(wú)論是共點(diǎn)力平衡問(wèn)題，還是牛頓運(yùn)動(dòng)定律問(wèn)題中，出現(xiàn)的頻次都是很高的.由于它對(duì)學(xué)生科學(xué)思維為主的各項(xiàng)素養(yǎng)的培養(yǎng)和考查中，具有較好的有效性和較高的區(qū)分度，所以，考查頻度很高.可是學(xué)生面對(duì)連接體問(wèn)題時(shí)，總是感覺(jué)無(wú)從下手，困難重重.那么學(xué)生解決連接體問(wèn)題遇到的主要障礙是什么呢？

在教學(xué)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)：對(duì)于這些運(yùn)動(dòng)和力問(wèn)題的解決，學(xué)生都掌握了分析和解決問(wèn)題的步驟和基本方法，如果是單個(gè)物體的問(wèn)題，由于不涉及研究對(duì)象的選擇，學(xué)生解決問(wèn)題是比較順利的.而面對(duì)連接體問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的困難主要在于不知道先研究哪個(gè)對(duì)象才能使問(wèn)題的解決更順利，即不清楚研究對(duì)象的選擇順序.

2 問(wèn)題的分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往有這樣的經(jīng)驗(yàn)：連接體問(wèn)題應(yīng)該運(yùn)用整體法和隔離法來(lái)解決，有時(shí)先整體后隔離，有時(shí)先隔離后整體，需要具體問(wèn)題具體分析.核心問(wèn)題是先選擇哪個(gè)物體作為研究對(duì)象，才能使問(wèn)題得到解決，或解決得更順利，即研究對(duì)象的選擇順序是成功高效解決連接體問(wèn)題的關(guān)鍵.這里本文通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例的分析，來(lái)探討一下：連接體問(wèn)題中，研究對(duì)象的選擇順序有規(guī)律性嗎？按照怎樣的順序選擇研究對(duì)象，會(huì)使連接體問(wèn)題的解決更高效呢？

2.1 問(wèn)題的初探

例1.如圖1所示，水平路面上有一輛載貨汽車，質(zhì)量為M=1.6×103k g，車上又裝載一物塊，質(zhì)量為m=0.4×103k g.已知汽車原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，開(kāi)始加速的瞬間，牽引力的大小為F=1.0×104N，并且物塊在車廂內(nèi)恰好沒(méi)有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)地面及空氣對(duì)系統(tǒng)的阻力.求物塊與車廂之間的最大靜摩擦力？

圖1

學(xué)生一般會(huì)先運(yùn)用整體法，再隔離物塊，可以使問(wèn)題得到解決.

解析：先研究整體，F(xiàn)=（M+m）a.之后研究物塊，fm=ma.所以fm=2×103N.這里我們需要進(jìn)一步思考，為什么要先整體后隔離？

如果分析兩個(gè)研究對(duì)象的受力及加速度這些物理量的已知和未知情況，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于整體，重力、支持力、牽引力為已知，加速度未知；對(duì)于物塊，重力、支持力已知，摩擦力、加速度未知.即對(duì)整體是三個(gè)量已知，一個(gè)量未知，對(duì)物塊是兩個(gè)已知，兩個(gè)未知，整體的未知量較少，所以研究對(duì)象的選擇上遵循了由簡(jiǎn)入繁的順序.

那么，在其他連接體問(wèn)題中是否也是由簡(jiǎn)入繁呢？

2.2 經(jīng)驗(yàn)的驗(yàn)證

例2.如圖2（a）所示，在一些趣味體育活動(dòng)中有托球跑這個(gè)項(xiàng)目.某次活動(dòng)中，比賽隊(duì)員手握一支傾斜的板球拍（拍面光滑）托著一只塑料球向前水平運(yùn)動(dòng)，球在拍上不動(dòng).已知拍的質(zhì)量M=0.5k g，球的質(zhì)量m=0.1k g，拍與豎直方向的夾角為θ=37°，g=10m/s2，不計(jì)空氣阻力及球與拍間的摩擦，求該隊(duì)員的手對(duì)球拍的水平作用力.

圖2

解析：這個(gè)題目的解答中，學(xué)生一般先隔離后整體，也會(huì)比較順利.先研究球，如圖2（b）所示，mg/tanθ=ma.

之后研究拍和球的整體，F(xiàn)x=（M+m）a.所以Fx=8N.

再來(lái)分析兩個(gè)研究對(duì)象的受力及加速度的已知情況，對(duì)塑料球，重力和各力之間的夾角為已知，加速度未知；對(duì)整體，僅重力已知，F(xiàn)x、加速度、角度均為未知.即先研究了已知多、未知少的塑料球，后研究未知多、已知少的整體，研究對(duì)象的選擇上仍是遵循了由簡(jiǎn)入繁的順序.

上面是兩個(gè)各物體具有相同加速度的連接體問(wèn)題，對(duì)于加速度不同的問(wèn)題，加速度已經(jīng)不能作為物體間聯(lián)系的紐帶，研究對(duì)象的選擇是否還遵循由簡(jiǎn)入繁的順序呢？

2.3 舉一反三

例3.山區(qū)雨季常發(fā)生泥石流，處在山坡上的人會(huì)本能的采取一些措施來(lái)避險(xiǎn).下面為一簡(jiǎn)化后的模型：如圖3所示，固定光滑斜面傾角為θ，上面放一長(zhǎng)木板，木板上的人沿板向上奔跑，可使他自己相對(duì)地面靜止.已知人的質(zhì)量m，木板的質(zhì)量M，重力加速度g，求木板的加速度？

圖3

學(xué)生的正確解答：先選擇人作為研究對(duì)象，后選擇木板作為研究對(duì)象.先研究人，f=mgsinθ.之后研究木板，f′+Mgsinθ=ma.f′=f.所以a=（M+m）gsinθ/M.

兩個(gè)研究對(duì)象的受力及加速度的已知情況，對(duì)于人，加速度為0、重力、斜面的傾角已知，靜摩擦力未知，未知量較少；對(duì)于木板，重力、傾角θ已知，摩擦力、加速度未知，未知量較多.所以要先選擇人作為研究對(duì)象，后選擇木板作為研究對(duì)象.同樣也遵循了由簡(jiǎn)入繁的順序，只是前后聯(lián)系的紐帶是相互作用的摩擦力.

2.4 經(jīng)驗(yàn)的升華

再?gòu)牧硪粋€(gè)角度分析，既然研究對(duì)象的選擇順序是由簡(jiǎn)入繁，那么，這樣選擇還會(huì)有其他效果嗎？

例1中，通過(guò)對(duì)整體的分析，可以求得加速度，而它也是物塊的加速度.本來(lái)物塊的相關(guān)條件中，有加速度a、摩擦力fm兩個(gè)未知量，由整體求得了加速度，使得物塊的未知量減少了一個(gè)，也就是物塊的已知量增多，只剩下摩擦力一個(gè)未知量，使復(fù)雜問(wèn)題降低了難度，成為簡(jiǎn)單問(wèn)題.

例2中，由簡(jiǎn)入繁也起到了這樣的作用：通過(guò)對(duì)塑料球的分析，得到了加速度這個(gè)物理量.在研究整體和球的整體時(shí)，增加了加速度這個(gè)已知量，使得球拍的未知量只剩下水平作用力，起到了降低難度的效果.

例3中，通過(guò)對(duì)人的研究求得摩擦力后，由于摩擦力是人和木板間的相互作用力，通過(guò)運(yùn)用牛頓第三定律，使木板的已知條件增加，只剩下加速度這個(gè)未知量，從而變成了簡(jiǎn)單問(wèn)題.

也就是說(shuō)，由簡(jiǎn)入繁，這個(gè)選擇研究對(duì)象的選擇順序，同時(shí)起到了這樣作用：簡(jiǎn)單問(wèn)題的分析中，求得一個(gè)新的物理量，為復(fù)雜問(wèn)題的分析，增加了一個(gè)已知條件，使得復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.因此由簡(jiǎn)入繁更大的意義是由簡(jiǎn)助繁.

3 方法總結(jié)歸一

總結(jié)：通過(guò)分析以上3個(gè)實(shí)際問(wèn)題不難發(fā)現(xiàn)，

（1）研究對(duì)象的選擇順序：由簡(jiǎn)入繁.簡(jiǎn)，指力及加速度等物理量中，已知量的個(gè)數(shù)多、未知量的個(gè)數(shù)少的那一個(gè)研究對(duì)象.

（2）“簡(jiǎn)”會(huì)為“繁”增加已知條件，使繁變簡(jiǎn).即由簡(jiǎn)助繁.

（3）助的途徑是通過(guò)相互作用力或加速度之間的聯(lián)系來(lái)實(shí)現(xiàn).

4 實(shí)戰(zhàn)演練

懂得了由簡(jiǎn)助繁的道理，解決連接體問(wèn)題時(shí)，就能迅速而恰當(dāng)?shù)剡x擇研究對(duì)象，解決問(wèn)題的效率就會(huì)大大提高.例如：

練習(xí)題1.2022年我國(guó)將承辦冬奧會(huì)，滑雪項(xiàng)目中，運(yùn)動(dòng)員乘滑板沿傾斜坡面自由下滑，如圖4，已知運(yùn)動(dòng)員和滑板的質(zhì)量分別為M和m，坡面傾角為θ，不計(jì)空氣阻力及坡和滑板間的摩擦力，求運(yùn)動(dòng)員和滑板間的摩擦力是多大.

圖4

將總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)用于實(shí)戰(zhàn)演練，在運(yùn)用中提高能力.

對(duì)運(yùn)動(dòng)員、滑板或整體的受力分析發(fā)現(xiàn)：由于物體間的摩擦力及整體的加速度未知，若采用隔離法，若選擇運(yùn)動(dòng)員或滑板作為研究對(duì)象，均有加速度、摩擦力兩個(gè)未知量；而選擇整體為研究對(duì)象，則只有加速度為未知量.所以選擇研究對(duì)象的順序應(yīng)為：先選擇整體，后隔離運(yùn)動(dòng)員，問(wèn)題可順利解決.

練習(xí)題2.用兩根輕質(zhì)絕緣細(xì)線將兩個(gè)質(zhì)量相同的小球P、Q懸掛起來(lái)，放在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，使P、Q分別帶上等量的正負(fù)電荷后，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).則兩球的狀態(tài)可能是圖5中的哪一個(gè)？

圖5

4個(gè)選項(xiàng)中，確定兩條細(xì)線的方向，即拉力的方向，就可以選出正確的答案.所以選擇整體，可以避開(kāi)P Q間的細(xì)線拉力這個(gè)未知量，很容易地確定出上段細(xì)線拉力的方向，而研究Q則可以迅速得出P Q間拉力的方向.

練習(xí)題3.如圖6所示，水平力F拉A、B、C3個(gè)物體在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，在中間的B物體上加一塊橡皮泥后，它和B的物體一起運(yùn)動(dòng)，且原拉力F不變，那么加上物體以后，兩段繩的拉力Ta和Tb的變化情況是

圖6

（A）Ta增大. （B）Tb增大.

（C）Ta減小. （D）Tb減小.

這個(gè)問(wèn)題中，Ta、Tb均為未知，因此先選擇整體為研究對(duì)象，可求得加速度a的變化.為隔離各物體增加了一個(gè)新的物理量.Tb的分析，可選擇C作為研究對(duì)象；Ta的分析中，若選擇B及橡皮泥為研究對(duì)象，存在兩個(gè)變量m、a；可以選擇A為研究對(duì)象，此時(shí)未知變量只有Ta，可順利求出結(jié)果.

不只在連接體問(wèn)題的分析中有由簡(jiǎn)助繁的思想，其他問(wèn)題中，也廣泛貫穿由簡(jiǎn)助繁的思想，例如：

練習(xí)題4.如圖7所示，輕桿長(zhǎng)L，一端裝光滑軸O，中點(diǎn)及另一端固定A、B球，從水平位置由靜止釋放，擺至豎直位置時(shí)，A、B速度各多大？桿對(duì)B做多少功？

圖7

這是一個(gè)功和能的問(wèn)題，由于AB間桿的作用力、兩球的末態(tài)速度均為未知，所以，應(yīng)先研究整個(gè)系統(tǒng)，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律得出兩球的速度，再研究其中一個(gè)球，可以順利地解決問(wèn)題.

總之，連接體問(wèn)題中，在研究對(duì)象的選擇順序上，應(yīng)遵循“由簡(jiǎn)入繁”的順序，同時(shí)可以起到“由簡(jiǎn)助繁”的效果，使得連接體問(wèn)題的解決不再盲目，不走彎路，變得簡(jiǎn)捷而高效.