直觀想象在2021年高考適應(yīng)性考試中的應(yīng)用分析

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 楊宇佳

1 背景

縱觀2021年高考適應(yīng)性數(shù)學(xué)考試試題,依舊本著“考察數(shù)學(xué)理性思維和探究能力,注重運用數(shù)學(xué)思想和通性通法解決問題”的原則來進(jìn)行命題.試題整體的綜合性和創(chuàng)新性較高,對學(xué)生獲取新知識,探究新問題的能力要求也顯著提升.同時,試題也反映了新課程改革的精神,數(shù)學(xué)知識考察的范圍越來越廣,要求培養(yǎng)的創(chuàng)新意識也越來越強,為后期新高考的準(zhǔn)備與復(fù)習(xí)提供了一些新的方向與啟發(fā).試題中多次考查學(xué)生的直觀想象的素養(yǎng): 建立數(shù)與形之間的關(guān)系、利用幾何圖形描述問題、借助幾何直觀理解問題、運用空間想象認(rèn)識事物,都是在考查學(xué)生能否靈活運用直觀想象來思考和解決問題.

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象的含義

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括: 借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).要培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的能力,也就是要提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).

3 2021年高考適應(yīng)性數(shù)學(xué)考試試題分析

3.1 建立形與數(shù)之間的聯(lián)系

“數(shù)形結(jié)合”是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法,能把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系聯(lián)系起來,既可以通過“用形助數(shù)”,也可以通過“以數(shù)解形”來解決問題.這是一種抽象思維與形象思維的結(jié)合.數(shù)形結(jié)合往往能夠使復(fù)雜的問題變得簡單,使抽象的問題變得具體,從而使問題容易被解決.

例1(2021年高考適應(yīng)性考試第4 題)橢圓+= 1(m ＞0)的焦點為F1,F2,上頂點為A,若∠F1AF2=則m=( )

解析a2=m2+1,b2=m2,則c2=a2-b2=1,由題意根據(jù)圖像(圖1)可迅速得知:b=則b2= 3c2= 3 =m2,又因為m2＞0,所以m=故答案為C.

圖1

評注這道題考察的是圓錐曲線的知識,解決問題的重點在于“橢圓方程的待定系數(shù)之間的關(guān)系”和“等邊三角形的性質(zhì)”,考生可以通過畫圖來進(jìn)行直接觀察,利用圖像即可較快得到數(shù)值之間的關(guān)系,相對比較簡單.

例2(2021年高考適應(yīng)性考試第7 題)已知拋物線y2= 2px上三點A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1 的兩條切線,則直線BC的方程為( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

解析如圖2,將A(2,2)代入y2= 2px可得p= 1,由于圓的切線與圓心的距離即為半徑,可計算得直線AB的方程為+ 2 = 0,直線AC的方程為-2 = 0,聯(lián)立直線方程和拋物線方程即可得B點和C點的坐標(biāo),則直線BC的方程即可求得為3x+6y+4=0.故答案為B.

圖2

評注此題利用“數(shù)形結(jié)合”可以較快得到所需直線方程的解法,若學(xué)生能夠充分發(fā)揮直觀想象,在腦海中大致勾勒此圖中直線與圓的位置關(guān)系,也可以省去畫圖的步驟,直接進(jìn)行求解,相對比較簡單.

例3(2021年高考適應(yīng)性考試第14 題)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為____,____.

解析如圖3,可將正方形放入直角坐標(biāo)系中,設(shè)O(0,0),A(1,2),則可知B(-2,1),D(2,-1),所以kAB=

圖3

評注此題題目中直接給出了“幾何圖形”——正方形,學(xué)生可以畫出相應(yīng)的正方形,根據(jù)圖形間的關(guān)系利用三角函數(shù)直接進(jìn)行求解.但題目中涉及求斜率問題,若將幾何圖形放入直角坐標(biāo)系中,利用數(shù)形結(jié)合的方法,則能夠大大減少計算量,在考場上節(jié)約時間.

例4(2021年高考適應(yīng)性考試第21 題)雙曲線C:= 1(a ＞0,b ＞0)的左頂點為A,右焦點為F,動點B在C上,當(dāng)BF⊥AF時,|AF|=|BF|.

(1)求C的離心率;

(2)若B在第一象限,證明: ∠BFA=2∠BAF.

圖4(1)

圖4(2)

解(1)當(dāng)BF⊥AF時,BF=所以a+c=a2+ac=c2-a2,(e-2)(e+1)=0,e=2.

(2)= 2,c= 2a,可知雙曲線C的方程為C:=1(a ＞0).不妨設(shè)B(x0,y0),則:

①當(dāng)x0=c時,|AF|=|BF|,此時ΔBAF為等腰直角三角形,∠BFA==2∠BAF顯然成立.

②當(dāng)a ＜ x0＜ c時,要證∠BFA= 2∠BAF,只需證tan ∠BFA= tan(2∠BAF),其中tan 2∠BAF=即只需證上式通過化簡可得2(ax0-x20+2a2)=-2x20+2ax0+4a2,此式顯然成立,因此tan ∠BFA= tan(2∠BAF)成立,又因為∠BFA和2∠BAF均為銳角,因此∠BFA=2∠BAF成立.

③當(dāng)x0＞c時同②可證∠BFA= 2∠BAF成立.綜上所述,∠BFA=2∠BAF得證.

評注此題仍然考察圓錐曲線的知識,但考察的卻是歷年較少關(guān)注的雙曲線的內(nèi)容.第一問可以根據(jù)題目的數(shù)據(jù)直接計算得知,但第二問則需要動動腦筋,現(xiàn)已知點所在的象限,要求證角與角之間的數(shù)量關(guān)系,由于涉及到角的大小和雙曲線的性質(zhì),直接計算往往比較困難,而這時若采用圖像來觀察,則可以有效快捷的提供解題的思路與方法,也能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題要利用分類討論的方法來解決.

3.2 借助幾何直觀理解問題

“幾何圖形”是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中常遇到的事物,其往往能夠直觀的展示量與量之間的關(guān)系.學(xué)生所接觸到的大多抽象的數(shù)學(xué)問題,其數(shù)學(xué)本質(zhì)均可以用直觀的幾何圖形來表達(dá).“幾何直觀”是指利用圖形描述和分析問題,即通過幾何圖形對事物進(jìn)行的直接感知和整體把握,它能將不容易掌握的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的更為具體化、簡單化和形象化,有利于尋找化解問題的思路與方式.

例5(2021年高考適應(yīng)性考試第18 題)在四邊形ABCD中,AB//CD,AD=BD=CD=1.

(1)若AB=求BC;

(2)若AB=2BC,求cos ∠BDC.

解(1)如圖5,過點D做DE⊥AB于點E,可得BE=由AB//CD可知cos ∠BDC= cos ∠EBD=根據(jù)余弦定理可知BC2=DB2+DC2-2DB·DC·cos ∠BDC,因此BC=

圖5

(2)不妨設(shè)BC=x,則AE=BE=BC=x,根據(jù)余弦定理,有= cos ∠BDC=cos ∠EBD=BE=x,化簡 可得x=則cos ∠BDC=

分析該題僅給出了四邊形的邊之間的數(shù)量以及位置關(guān)系,通過憑空想象很難構(gòu)造出題目描述的幾何圖形,但是學(xué)生可以根據(jù)題目要求嘗試畫出圖形,找好四邊形的邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,就可以通過直觀的幾何圖形進(jìn)行分析,同時,在幾何圖形中構(gòu)造輔助線求解問題也更加方便.

圖6

例6(2021年高考適應(yīng)性考試第20 題)北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定: 多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如: 正四面體在每個頂點有3 個面角,每個面角是所以正四面體在各頂點的曲率為2π-3×=π,故其總曲率為4π.

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)若多面體滿足: 頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)= 2,證明: 這類多面體的總曲率是常數(shù).

解(1)由題中定義可知多面體的總曲率= 2π×頂點數(shù)-各面的內(nèi)角和,對于四棱錐來說,其有5 個頂點,4 個三角形面和1 個四邊形面,因此四棱錐的總曲率=5×2π-(4×π+2π)=4π.

(2)不妨假設(shè)此類多面體的頂點數(shù)為x,棱數(shù)為y,面數(shù)為z,則有x-y+z= 2,同時,注意到多面體的每一條棱都相鄰兩個面.這時我們假設(shè)多面體的第1 個面有i1條棱,第2 個面有i2條棱,…,第z個面有iz條棱,則可以得到i1+i2+...+iz= 2y.此時利用“多邊形的內(nèi)角和= (邊數(shù)-2)π”和“多面體的總曲率= 2π×頂點數(shù)-各面的內(nèi)角和”,可以得到:

因此此類多面體的總曲率為一常數(shù)4π.

分析此題是考查立體幾何的新定義題目,完全顛覆了固有的形態(tài),直接給學(xué)生關(guān)于曲率的定義,然后根據(jù)定義做題,題目比較新穎,需要學(xué)生認(rèn)真審題及理解題意.其中多面體的曲率的定義相對來說較難理解,學(xué)生可以通過畫出正四面體進(jìn)行直觀的觀察,再對比四棱錐的幾何圖形,根據(jù)其各面的形狀、棱數(shù)、面數(shù)等數(shù)據(jù)進(jìn)行概括總結(jié),通過幾何直觀找到該題的突破口.第二問的證明則需要學(xué)生具有更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng),其中重難點在于觀察到多面體的每一條棱都相鄰著兩個面,也就是說,在計算每個面的棱數(shù)并求和時,每條棱都被計算了兩次,這是此題突破的難點,學(xué)生可以通過對正四面體和四棱錐的觀察得到這個結(jié)論.

3.3 運用空間想象認(rèn)識事物

“空間想象”是一種對空間幾何形體進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力.學(xué)生在立體幾何的學(xué)習(xí)中,若空間想象能力強,則對學(xué)習(xí)有較大的幫助.由于學(xué)生在空間想象時,其思維要經(jīng)歷一個從二維到三維再到二維的轉(zhuǎn)變,因此,通過空間想象可以培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的空間感知能力,同時也能提高他們對空間幾何體位置的判斷能力.

例7(2021年高考適應(yīng)性考試第11 題)下圖(圖7(1))是一個正方體的平面展開圖,則在該正方體中

圖7(1)

A.AE//CDB.CH//BEC.DG⊥BHD.BG⊥DE

解析將正方體的平面展開圖進(jìn)行還原,可得圖7(2).在圖中顯然可知AE⊥CD,CH//BE,故A 錯誤,B 正確.在圖中連接CH,易知CH⊥DG,CH ∩BC=C,所以DG⊥平面BCH,因此DG⊥BH,故C 正確.在圖中連接AH,根據(jù)正方體的性質(zhì)知AH//BG且AH⊥DE,因此BG⊥DE,故D 正確.

圖7(2)

評注該題是典型的利用空間想象求解的問題.學(xué)生要根據(jù)已知的正方體的平面展開圖以及各點的位置,借助空間想象,判斷展開前的正方體的各頂點分別對應(yīng)展開圖中的哪些點,然后再根據(jù)還原的正方體對每個選項進(jìn)行逐一判斷.

例8(2021年高考適應(yīng)性考試第13 題)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10 的球面上,其上、下底面半徑分別為4 和5,則該圓臺的體積為____.

解析該球的直徑為10,半徑為5,圓臺的下底面半徑恰好為5,所以圓臺的下底面恰為球的直徑所在平面.如圖8 所示,OA=OD= 5,在三角形OO′A中,∠OO′A=因此根據(jù)勾股定理得OO′2=OA2-O′A2.因此OO′=3.根據(jù)圓臺得體積公式V=計算可得該圓臺的體積為61π.

圖8

分析此題考察“圓臺的體積與外接球”的知識,學(xué)生需要根據(jù)題意,利用空間想象能力,判斷三維空間中圓臺與球之間的位置關(guān)系,同時,學(xué)生要將三維物體轉(zhuǎn)化到二維平面,利用解三角形的知識,得到圓臺的高度,從而利用圓臺的體積公式進(jìn)行求解.

4 直觀想象在適應(yīng)性數(shù)學(xué)考試中的應(yīng)用分析總結(jié)

通過以上試題分析可知,直觀想象素養(yǎng)在高考中考察的比重較大,且未來可能會出現(xiàn)更廣的應(yīng)用以及出現(xiàn)更多新題型.而這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中,要提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).為此,教師在日常教學(xué)和命題中,應(yīng)當(dāng)把握學(xué)生的培養(yǎng)規(guī)律,積極創(chuàng)造能夠運用幾何直觀素養(yǎng)解決問題的情境,發(fā)揮學(xué)生的主體性,讓學(xué)生在接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中交叉感悟直觀想象,使其在遇到數(shù)學(xué)問題時,能及時想到用幾何化的圖形去理解和探索問題,逐漸形成良好的直觀想象素養(yǎng).