重構(gòu)“基本不等式”化不可能為可能

福建省德化第一中學(362500) 吳志鵬

筆者在文[1]中,利用如下圖所示的“對勾函數(shù)”f(x)=(k ＞0)的圖象,獲得了型如f(x)=x+(k ＞0)函數(shù)在第一象限內(nèi)某個區(qū)間[a,b]的最小值的求解方法,其主要思路是:f(x)=x+只有在∈[a,b],才能使用基本不等式求最小值; 而當時則只能利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.

1 結(jié)論展示

設(shè)k為正實數(shù),f(x)=x ∈[a,b],[a,b]?(0,+∞),當∈[a,b],f(x)≥f(x)min=(直接用基本不等式求得最小值);當a,f(x)在區(qū)間[a,b]單調(diào)遞增,f(x)min=f(a)=當在區(qū)間[a,b]單調(diào)遞減,f(x)min=f(b)=b+

筆者觀察學生解此類問題的過程,發(fā)現(xiàn)大部分的學生不能很好地作出相應(yīng)的“對勾函數(shù)圖象”并以此解決相關(guān)問題,而是生搬硬套地利用“基本不等式”三步驟求最值,只是在最后判斷等號是否成立時才發(fā)現(xiàn),其實很多型如f(x)=x+(k ＞0)的函數(shù)是不能用基本不等式求最小值的,此時無功而返,重新判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求得最小值,降低了解題效率、浪費了時間.據(jù)此筆者用代數(shù)的方法,嘗試重新構(gòu)造滿足條件的“基本不等式”模型,并作了進一步的研究與探討,最終獲得結(jié)論.

2 重構(gòu)基本不等式,證明結(jié)論

設(shè)k為正實數(shù),f(x)=x+x ∈[a,b],[a,b]?(0,+∞)

則有:

2)當a ＞由于≥2a,當x=a時取等號;又因k-a2＜0,x≥a,所以當x=a時取等號;所以當時,f(x)=當且僅當x=a時取等號.

注:a ＞時,因為/∈[a,b],函數(shù)f(x)的最小值不能在x=達到,此時只需構(gòu)造一個在x=a可取最小值的“基本不等式模型”即x+進而將原函數(shù)拆分為一個基本不等式模型和一個遞增的反比例函數(shù)模型,即把分割成的和,且兩式在x=a處均取得最小值,即可獲得結(jié)論.

注:b ＜時,因為/∈[a,b],函數(shù)f(x)的最小值也不能在x=達到,此時只要構(gòu)造一個構(gòu)造一個在x=b可取最小值的“基本不等式模型”即x+這樣原函數(shù)就可以拆分為一個基本不等式模型和一個遞減的反比例函數(shù)模型,即把分割成的和,且兩式在x=b處均取得最小值,獲得結(jié)論.

綜上所得:k為正常數(shù),f(x)=x+,x ∈[a,b],[a,b]?(0,+∞)時,f(x)min=

3 方案的應(yīng)用

例1求f(x)=(x≥0)的最小值.

解析令則問題轉(zhuǎn)化為求f(t)=t+的最小值,由于f(t)=t+當且僅當t=時取等號(此時x=1).所以當x=1 時,f(x)取得最小值為

變式1求(x≥2)的最小值.

解析令則問題轉(zhuǎn)化為求f(t)=t+的最小值,由于t≥此時t=不成立,不能用基本不等式直接求函數(shù)的最小值,又由于可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個在t=處取得最小值的基本不等式模型與一個遞增的反比例函數(shù)模型的疊加,即f(t)=t+此時兩個函數(shù)模型在t=均取得最小值,其和也最小,即x=2,取得最小值.

變式2求f(x)=的最小值.

解析令則問題變?yōu)榍骹(t)=t+的最小值問題,由于此時t=不成立,不能用基本不等式直接求函數(shù)的最小值,又由于可將函數(shù)變?yōu)橐粋€在t=處取得最小值的基本不等式模型與一個遞減的反比例函數(shù)模型的疊加,即函數(shù)變?yōu)閒(t)=t+兩式均取得最小值,其和也最小,為f(t)min=t+即f(x)在x=處取得最小值.

例2已知:f(θ)=tan(60°-θ)(60°≤θ ＜90°),求f(θ)的最小值.

上述兩例及變式,換元后,如果不能用基本不等式直接求其最小值,則我們可以在定義域內(nèi)構(gòu)造相對應(yīng)的“基本不等式模型”求最值,也可利用所獲得的結(jié)論簡單地寫出此類函數(shù)的最小值.

本文通過對“基本不等式”的深入研究,將k ＞0,f(x)=,x ∈[a,b],[a,b]?(0,+∞)模型中不能直接用基本不等式求得最小值的問題,通過將函數(shù)模型拆分成一個在區(qū)間端點處取得最值的基本不等式模型和一個具有單調(diào)性的反比例函數(shù)模型疊加,且使得兩個模型均在區(qū)間的同一個端點處取得最小值,進而求得整個函數(shù)的最小值,完成了用基本不等式解決k ＞0,f(x)=x+在區(qū)間[a,b]的最值問題.這是解決此類問題的“代數(shù)方案”,也是解決問題的另一種方法,是對“基本不等式”靈活應(yīng)用的一種突破.