一類實矩陣對廣義奇異值的表達公式

沈衛(wèi)杰, 湯天宇, 徐瑋瑋

(南京信息工程大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 南京 210044)

特征值和奇異值在數(shù)值計算領域中有著重要的應用[1]. 矩陣對的廣義奇異值分解(Genera-lized Singular Value Decomposition,GSVD)已成為許多實際應用中重要的計算方法[2-8]. 近年來,學者們對大規(guī)模數(shù)據(jù)矩陣中的GSVD進行了大量研究,如:ZHANG等[5]應用神經(jīng)動力學網(wǎng)絡開發(fā)了一種用于求解GSVD的近似值的神經(jīng)網(wǎng)絡模型;WEI 等[6]使用隨機投影捕獲矩陣行為,提出一種用于計算 GSVD 的低秩逼近的隨機算法;劉圓圓[7]引入隨機方法,提出了一種改進的GSVD方法,將其用于求解具有一般形式的大規(guī)模線性離散病態(tài)問題；XU等[9-10]研究了一類酉約束矩陣優(yōu)化問題的解析解.

受文獻[9-10]啟發(fā),本文將利用跡函數(shù)的矩陣優(yōu)化問題來計算實矩陣對的廣義奇異值,提出計算一類實矩陣對的任意廣義奇異值的新公式,并用數(shù)值算例來驗證本文結(jié)論的有效性.

1 預備知識

下面給出一些基本定義和定理.

定義1[11]若Am×n,Bp×n,有rank(AT,BT)=n,則稱矩陣對{A,B}是(m,p,n)實矩陣對.

定義2[11]若(α,β)≠(0,0),det(β2ATA-α2BTB)=0,α,β≥0,則稱(α,β)是實矩陣對{A,B}的廣義奇異值. {A,B}的廣義奇異值(α,β)的集合記作σ{A,B}.

定理1[12]若{A,B}是一個(m,p,n)實矩陣對,則存在正交矩陣Um×m和Vp×p以及非奇異矩陣Wn×n,使得

UTAW-1=ΣA,VTBW-1=ΣB,

(1)

(2)

其中,

Λ=diag(α1,…,αr+s),Ω=diag(βr+1,…,βn),

1=α1=…=αr>αr+1≥…≥αr+s>αr+s+1=…=αn=0,

0=β1=…=βr<βr+1≤…≤βr+s<βr+s+1=…=βn=1,

定義3[13]設A=(aij)n×n,如果對所有的i,j都有aij≥0,則稱A是非負矩陣.

定義4[13]設A=(aij)n×n是非負矩陣,如果A滿足

則稱A為雙隨機矩陣.

2 主要結(jié)論

本節(jié)將通過跡函數(shù)的優(yōu)化問題給出一類實矩陣對廣義奇異值的表達公式. 首先,給出一些必要的引理.

引理1[14]如果D=(dij)是一個n階雙隨機矩陣,并且

x1≥…≥xn≥0,y1≥…≥yn≥0,

則

引理2令Γ=diag(γ1,…,γn)和Δ=diag(δ1,…,δn)是n×n上的2個對角矩陣,γ1≥…≥γn≥0,δ1≥…≥δn≥0,則

證明令Φ*=In,則

另一方面,因為tr(AB)=tr(BA),有

證畢.

由引理2可得以下推論.

推論1令Γ=diag(γ1,…,γn)和Δ=diag(δ1,…,δn)是n×n上的2個對角矩陣,0≤γ1≤…≤γn,0≤δ1≤…≤δn,則

(3)

其中,

Qi=diag(Ii,O(n-i)×(n-i)).

(4)

證明令{A,B}是由式(1)和式(2)定義的(n,n,n)實矩陣對,則有

進一步地,有

(UTAW-1)T(UTAW-1)+(VTBW-1)T(VTBW-1)=In,

化簡得

ATA+BTB=WTW.

對任意的1≤i≤n,令Qi由式(4)定義.因為tr(AB)=tr(BA),則由引理2,可得

類似地,

因此,式(3)得證. 證畢.

3 數(shù)值算例

本節(jié)給出一些數(shù)值算例來驗證定理2的有效性.

例1設

利用MATLAB R2020a的命令 gsvd,可以得到實矩陣對{A,B}的廣義奇異值為

σ{A,B}={(αi,βi)}={(0.993,0.115),(0.877,0.480),

(0.606,0.795),(0.149,0.989)}.

應用引理2,記H=A(ATA+BTB)-1AT, 有

表1 已知實矩陣對{A,B}計算的和 f(Qi)-f(Qi-1)

例2設n=100. 使用MATLAB R2020a中的命令 rand,隨機生成滿足

1=α1=…=αr>αr+1≥…≥αr+s>αr+s+1=…=αn=0,

0=β1=…=βr<βr+1≤…≤βr+s<βr+s+1=…=βn=1

和

表2 廣義奇異值Table 2 The generalized singular values

于是,實矩陣對{A,B}有廣義奇異值分解

A=Udiag(α1,…,αn)W,B=Vdiag(β1,…,βn)W,

表3 已知廣義奇異值計算的和 f(Qi)- f(Qi-1)