有向部分半群作用下的敏感性

曾眺英

(嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院， 梅州 514015)

稱(chēng)偶對(duì)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng))，如果X是緊致度量空間，f:X→X是連續(xù)映射． 自L(fǎng)I和YORKE[1]首次提出混沌的定義以來(lái)，系統(tǒng)的復(fù)雜性一直是拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究的重要課題．

初值敏感是Devaney混沌定義中的核心，精略地說(shuō)就是在任意非空開(kāi)集中存在2個(gè)不同點(diǎn)，它們的軌道至少在某個(gè)時(shí)刻分開(kāi)的距離是給定的正數(shù)長(zhǎng)． 2005年，熊金城[2]給出了n-敏感的定義，精略地說(shuō)就是在任意非空開(kāi)集中存在n個(gè)不同點(diǎn)，兩兩之間的軌道至少在某個(gè)時(shí)刻分開(kāi)的距離是給定的正數(shù)長(zhǎng)． 多年以來(lái)，學(xué)者們致力于敏感性和n-敏感性的研究． 如：張瑞豐[3]證明了對(duì)于一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)，設(shè)X是局部連通空間，如果(X,f)是敏感的，那么它是n-敏感的；YE和ZHANG[4]給出了相對(duì)于集合初值敏感、初值敏感集和局部proximal集的定義，證明了一個(gè)傳遞系統(tǒng)是敏感的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)敏感集S且Card(S)≥2，并且傳遞系統(tǒng)的任意敏感集都是局部proximal集．

近年來(lái)，半群作用下的敏感性及其相關(guān)概念的研究得到了許多學(xué)者的關(guān)注[5-9]． 例如：EDUARD和MICHAEL[5]研究了一般半群作用下的敏感性，證明了如果S是C-半群且(X,d)是一個(gè)傳遞的PolishS-系統(tǒng)，那么系統(tǒng)(S，X)是幾乎等度連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)它不是敏感的；IGLESIAS和PORTELA[6]證明了半群作用下的動(dòng)力系統(tǒng)如果是幾乎開(kāi)的，那么該系統(tǒng)是敏感的或者該系統(tǒng)的等度連續(xù)集是一個(gè)剩余集；LI等[7]研究了半群作用下的敏感函數(shù)和等度連續(xù)函數(shù)，證明了一個(gè)傳遞系統(tǒng)是敏感的當(dāng)且僅當(dāng)該系統(tǒng)具有敏感偶對(duì)，或者說(shuō)該系統(tǒng)具有一個(gè)敏感函數(shù)．

事實(shí)上，在不同類(lèi)型的半群作用下的動(dòng)力系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的復(fù)雜性也不同. 2016年，F(xiàn)ARMAKI等[10]研究了有向部分半群作用下的拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，在一些限定條件下得到了關(guān)于有向部分半群作用的多重回復(fù)性定理，指出了IP-系統(tǒng)[11]和以詞為索引的拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)[12]都是關(guān)于有向部分半群作用下的拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的具體例子；同時(shí)，F(xiàn)ARMAKI等[13]得到了有向集上余理想的Nash-Williams型定理，拓展了經(jīng)典的拓?fù)銻amsey定理． 受文獻(xiàn)[10]、[13]的啟發(fā)，本文研究了有向部分半群作用下的敏感性和n-敏感性，試圖找到Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中敏感性和n-敏感性的等價(jià)刻畫(huà)，進(jìn)一步給出有向部分半群作用下的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中敏感性和n-敏感性之間的關(guān)系．

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于非空集合A，用Card(A)表示集合A的基數(shù)． 對(duì)于拓?fù)淇臻gX，用Xn表示n次乘積空間X×X×…×X． 記Δn={(x,x,…,x)Xn:xX}且Δ(n)={(x1,x2,…,xn)Xn:?i≠j,使得xi=xj}．

定義1[14]設(shè)X是一個(gè)度量空間，f:X→X是連續(xù)映射，如果f滿(mǎn)足下面的條件：

(1)f是傳遞的；

(2)f的周期點(diǎn)在X中稠密；

(3)f是初值敏感的，

則稱(chēng)f是X上的Devaney混沌.

下面介紹有向部分半群、有向部分半群作用下的適配余理想基以及以部分半群為索引的拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的定義．

定義2[10]設(shè)Λ是一個(gè)非空無(wú)限集且是Λ上的關(guān)系，如果滿(mǎn)足下面的條件:

(1)當(dāng)λ1,λ2Λ且λ1λ2時(shí)，有λ1≠λ2；

(2)當(dāng)λ1,λ2,λ3Λ，且滿(mǎn)足λ1λ2且λ2λ3時(shí)，有λ1λ3；

(3)對(duì)任意λ1,λ2Λ，存在λ3Λ，使得λ1λ3且λ2λ3，

則稱(chēng)(Λ,)是一個(gè)有向集．

本文總假設(shè)Λ是可數(shù)集．

定義3[10]設(shè)(Λ,)是一個(gè)無(wú)限的有向集． 如果[Λ]∞的子集R滿(mǎn)足下面的3條性質(zhì)：

(1)對(duì)任意AR和λ1Λ，存在λ2A，使得λ1λ2；

(2)當(dāng)A∪BR時(shí)，有AR或者BR；

(3)當(dāng)AR且A?B?X時(shí)，有BR，

則稱(chēng)R是(Λ,)上的一個(gè)余理想.

設(shè)(Λ,)是一個(gè)無(wú)限的有向集，A?Λ且λΛ,則A-λ={zA:λz}．

注1設(shè)(Λ,)是一個(gè)無(wú)限的有向集，I是Λ上的一個(gè)超濾子.如果對(duì)任意AI以及λΛ，滿(mǎn)足A-λ≠?，那么超濾子I是(Λ,)上的余理想，且在Λ上的這種超濾子的并集也是(Λ,)上的余理想．

定義4[10]設(shè)(Λ,)是一個(gè)無(wú)限的有向集． 如果[Λ]∞上的子集滿(mǎn)足下面的2條性質(zhì)：

(1)對(duì)任意A和λ1Λ，存在λ2A，使得λ1λ2；

(2)當(dāng)A∪B時(shí)，存在C，使得C?A或C?B，

容易看出(Λ,)上的余理想是(Λ,)上的余理想基．

定義5[10]設(shè)(Λ,)是一個(gè)無(wú)限的有向集． 如果Λ上的算子*滿(mǎn)足下面的條件：對(duì)任意滿(mǎn)足λ1λ2λ3的λ1,λ2,λ3Λ，有λ1λ2*λ3、λ1*λ2λ3且(λ1*λ2)*λ3=λ1*(λ2*λ3)，則稱(chēng)(Λ,,*)是一個(gè)有向部分半群．

定義6[10]設(shè)(Λ,,*)是一個(gè)有向部分半群，是(Λ,)上的一個(gè)余理想基. 對(duì)于任意B，對(duì)任意λ1,λ2B，若當(dāng)λ1λ2時(shí)，有λ1*λ2B，則稱(chēng)是相對(duì)于(Λ,,*)適配的.

定義7[10]設(shè)(Λ,,*)是一個(gè)有向部分半群. 稱(chēng)由緊致度量空間(X,d)到自身的連續(xù)映射構(gòu)成的集族是一個(gè)X上的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，如果對(duì)任意λ1,λ2Λ，λ1λ2,有

本文記X上的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)為(X,{Tλ}λΛ)．

注2(1)若是(Λ,,*)的一個(gè)適配余理想基且B，則集族(X,{Tλ}λB)也是X上的一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)．

(2)設(shè)T是從緊致度量空間X到自身的連續(xù)映射，則(X,{Tλ}λ+)也是X上的一個(gè)+-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)． 如果對(duì)任意λ1,λ2Λ，有則稱(chēng)這個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)是可交換的．

定義8[10]設(shè)(Λ,,*)是一個(gè)有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是X上的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，是(Λ,,*)上的一個(gè)適配余理想基且B. 對(duì)X中的點(diǎn)x0，如果存在A且A?B，使得λ(x0)=x0，則稱(chēng)x0是B-回復(fù)點(diǎn)．

2 有向部分半群作用的初值敏感性

本節(jié)研究在有向部分半群作用下的緊致度量空間到自身的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中的敏感性，得到了關(guān)于初值敏感的一些性質(zhì)．

下面給出拓?fù)鋫鬟f性以及等度連續(xù)的相關(guān)定義.

定義9設(shè)(Λ,,*)是一個(gè)有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是緊致度量空間(X,d)上的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，是(Λ,,*)上的一個(gè)適配余理想基且B. 那么

(1)如果對(duì)任意非空開(kāi)集U、V，存在λΛ，使得U∩Tλ(V)≠?，則稱(chēng)(X,{Tλ}λΛ)是拓?fù)鋫鬟f的．

(3) 設(shè)x0X. 如果對(duì)任意xX，存在A且A?B，使得λ(x)=x0，則稱(chēng)點(diǎn)x0為B傳遞點(diǎn)． 顯然每個(gè)B-傳遞點(diǎn)都是B-回復(fù)點(diǎn),記全體B-傳遞點(diǎn)的集合為T(mén)ransB(X).

定義10設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),那么

(1)設(shè)A?{Tλ}λΛ. 如果對(duì)任意ε>0，存在δ>0，使得d(x0,x)<δ時(shí)，有d(Tλ(x0),Tλ(x))<ε對(duì)任意TλA(λΛ)成立，則稱(chēng)子集A作用在x0X上是等度連續(xù)的；如果A作用在任意x0X上是等度連續(xù)的，則稱(chēng)A作用在X上是等度連續(xù)的.

(2)如果A∶={Tλ}λΛ作用在點(diǎn)x0X上是等度連續(xù)的，則稱(chēng)點(diǎn)x0是等度連續(xù)點(diǎn)，記Eq(X)為等度連續(xù)點(diǎn)的全體. 如果Eq(X)=X，則稱(chēng)(X,{Tλ}λΛ)是等度連續(xù)的.

性質(zhì)1設(shè)X是緊致度量空間，(Λ,,*)是有向部分半群，且(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，則(X,{Tλ}λΛ)具有稠密的傳遞點(diǎn)集當(dāng)且僅當(dāng)它是拓?fù)鋫鬟f的.

證明假設(shè)系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)具有稠密的傳遞點(diǎn)集．U和V是X的非空開(kāi)集，選取傳遞點(diǎn)yV，則存在λΛ，使得Tλ(y)U，可得U∩Tλ(V)≠?.

現(xiàn)在假設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是傳遞系統(tǒng). 對(duì)任意非空開(kāi)集U?X，集合在X中稠密. 由于X是緊致度量空間，對(duì)于給定拓?fù)?，存在一個(gè)可數(shù)基，使得}是X的稠密集且這個(gè)集合的任意點(diǎn)都是X的傳遞點(diǎn). 證畢.

性質(zhì)2設(shè)X是緊致度量空間，(Λ,,*)是有向部分半群且(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng). 如果(X,{Tλ}λΛ)是拓?fù)鋫鬟f的，那么Eq(X)?Trans(X)．

證明設(shè)x0Eq(X)且任取yX. 對(duì)任意給定的ε>0，記Bε(y)∶={xX:d(x,y)<ε}是y的ε-鄰域． 因?yàn)閤0Eq(X)，則存在x0的鄰域U，使得對(duì)任意λΛ和xU，有d(Tλ(x0),Tλ(x))<ε/2. 由于(X,{Tλ}λΛ)是拓?fù)鋫鬟f的，則存在λ0Λ，使得Tλ0(U)∩Bε/2(y)≠?． 因此，存在xU，有d(Tλ0(x),y)<ε/2，這就意味著d(Tλ0(x0),y)<ε. 證畢.

定義11[10]設(shè)X是一個(gè)緊致度量空間，(Λ,,*)是有向部分半群，且(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng). 對(duì)X中的非空閉子集B，如果對(duì)任意λΛ，B都是Tλ-不變的，則B=X，那么稱(chēng)系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)是極小的．

由定義11，易得以下結(jié)論：

性質(zhì)3設(shè)X是緊致度量空間，(Λ,,*)是有向部分半群且(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)． 則下面命題等價(jià)：

(1)(X,{Tλ}λΛ)是極小系統(tǒng)；

(2)對(duì)任意xX，集合{Tλ(x):λΛ}是X的稠密集；

(3)對(duì)X的任意非空開(kāi)集U，存在有限多個(gè)元素λ1,…,λnΛ，使得

下面給出C-系統(tǒng)的定義．

定義12設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)． 如果{Tλ}λΛ是一個(gè)拓?fù)浒肴呵覍?duì)任意λ0λ0)在(X,{Tλ}λΛ)中是相對(duì)緊致(即它的閉包緊致)的，則稱(chēng)(X,{Tλ}λΛ)是C-系統(tǒng)．

引理1[5]設(shè)(X,S)是拓?fù)浒肴鹤饔玫膭?dòng)力系統(tǒng)，其中(X,d)是緊致度量空間. 設(shè)A?S是相對(duì)緊致的集合，那么A作用在(X,d)上是等度連續(xù)的.

性質(zhì)4設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)可交換的C-系統(tǒng). 假設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是點(diǎn)傳遞系統(tǒng)且Eq(X)≠?，則任意傳遞點(diǎn)都是等度連續(xù)點(diǎn)，即Trans(X)?Eq(X).

證明設(shè)y是傳遞點(diǎn)且xEq(X)是等度連續(xù)點(diǎn). 對(duì)給定的ε>0，存在x的鄰域U(x)，使得對(duì)任意λΛ和任意x′,x″U(x)，有d(Tλ(x′),Tλ(x″))<ε. 因?yàn)閥是傳遞點(diǎn)，則存在λ0Λ，有Tλ0(y)U(x). 由于(Tλ0)-1U(x)是y的一個(gè)鄰域，則對(duì)任意λΛ和任意y′,y″(Tλ0)-1U(x)，有d(Tλ(Tλ0(y′)),Tλ(Tλ0(y″)))<ε．

因?yàn)?X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)C-系統(tǒng)，則集合M∶=是緊致集． 因此，由引理1可知M?{Tλ}λΛ是X的等度連續(xù)集． 選取y的鄰域V(y)，使得對(duì)任意TλM和任意y′,y″U(x)，有d(Tλ(y′),Tλ(y″))<ε，則W∶=(Tλ0)-1U(x)∩V(y)是y的鄰域．

性質(zhì)5設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)可交換的Λ-系統(tǒng)． 假設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是極小的C-系統(tǒng)且Eq(X)≠?，則X是等度連續(xù)的．

證明如果(X,{Tλ}λΛ)是極小系統(tǒng)，那么Trans(X)=X． 如果Eq(X)≠?，由性質(zhì)4可知X中的點(diǎn)都是等度連續(xù)點(diǎn)，則有Eq(X)=X. 證畢.

對(duì)于Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)，如果集合Eq(X)在X中稠密，則稱(chēng)該系統(tǒng)是幾乎等度連續(xù)的．下面給出一個(gè)幾乎等度連續(xù)的等價(jià)命題．

性質(zhì)6設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)可交換的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)． 假設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是拓?fù)鋫鬟f的C-系統(tǒng)，則X是幾乎等度連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)Eq(X)≠?．

證明如果X是幾乎等度連續(xù)的，顯然Eq(X)≠?. 現(xiàn)在假設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是拓?fù)鋫鬟f的，則由性質(zhì)1可知Trans(X)是X的稠密集． 如果Eq(X)≠?，則由性質(zhì)4可得Trans(X)?Eq(X)． 因此，Eq(X)是X的稠密集，即X是幾乎等度連續(xù)的. 證畢.

下面給出敏感的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的定義.

定義13設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng). 如果存在ε>0，對(duì)任意xX和x的任意鄰域U，存在yU和λΛ，使得d(Tλx,Tλy)>ε，則稱(chēng)(X,{Tλ}λΛ)是敏感的. 此時(shí)稱(chēng)ε是一個(gè)敏感常數(shù).

下面給出有向部分半群作用下的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)是幾乎等度連續(xù)的等價(jià)刻畫(huà).

定理1設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)可交換的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng). 假設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是拓?fù)鋫鬟f的C-系統(tǒng)，則X是幾乎等度連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)它不是敏感的．

證明由定義13易知，如果X是幾乎等度連續(xù)的,則X一定不是敏感的. 現(xiàn)在假設(shè)X不是敏感的，則對(duì)任意k+，存在非空開(kāi)集Uk?X，使得對(duì)任意(λ,k)Λ×+，有diam(Tλ(Uk))<1/k成立. 令且W∶=∩k+Vk. 由傳遞性可知，對(duì)X的任意非空開(kāi)集U，存在λΛ，使得U∩(Tλ)-1Vk≠?． 由于{Tλ}λΛ是可交換的，則任意Vn都是X的稠密集． 由Baire定理[15]可知W也在X中稠密．

下面證明W?Eq(X)成立. 設(shè)xW且ε>0，選取足夠大的k+，使得1/k<ε，則存在k+，使得xVk，這就意味著存在λ0Λ，滿(mǎn)足Tλ0(x)Uk. 設(shè)U0=(Tλ0)-1Uk，則對(duì)于任意yU0和任意Tλ有

稱(chēng)一個(gè)映射是半開(kāi)的，如果任意非空開(kāi)集的像集包含非空開(kāi)子集. 稱(chēng)2個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)之間的映射π:(X,{Tλ}λΛ)→(Y,{Tλ}λΛ)是因子映射，如果π是連續(xù)的滿(mǎn)射,且對(duì)任意λΛ,滿(mǎn)足Tλ下面說(shuō)明敏感性可以被因子映射所提升．

性質(zhì)7設(shè)(X,d)和(Y,d)是緊致度量空間，(X,{Tλ}λΛ)和(Y,{Tλ}λΛ)是Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，且π:(X,{Tλ}λΛ)→(Y,{Tλ}λΛ)是一個(gè)半開(kāi)的因子映射． 如果(Y,{Tλ}λΛ)是敏感的，那么(X,{Tλ}λΛ)也是敏感的．

證明設(shè)ε是系統(tǒng)(Y,{Tλ}λΛ)的一個(gè)敏感常數(shù)． 因?yàn)棣羞B續(xù)，則存在δ>0，使得d(π(x),π(y))>ε時(shí)，有d(x,y)>δ．

設(shè)U是X的非空開(kāi)集. 由于π是半開(kāi)映射，則π(U)包含了Y的一個(gè)非空開(kāi)集V. 因?yàn)?Y,{Tλ}λΛ)是敏感的，則存在λΛ及y1,y2V，使得d(Tλ(y1),Tλ(y2))>ε. 選取x1,x2U，使得π(x1)=y1,π(x2)=y2，則d(Tλ(x1),Tλ(x2))>δ. 因此，系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)是敏感的. 證畢.

3 有向部分半群作用的n-敏感

本節(jié)研究有向部分半群作用下緊致度量空間上的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的n-敏感性，得到了n-敏感的一些性質(zhì)并且給出了敏感性和n-敏感性之間的關(guān)系．

Δn(ε)={(x1,…,xn)Xn:d(xi,xj)<ε,?1≤i≤j≤n}.

顯然點(diǎn)(x1,…,xn)Qn(X,T)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意ε>0和xi的任意鄰域Ui，存在Ui和λΛ,有d(TλTλ下面給出Q-集的定義．

定義14設(shè)集合S?X. 如果對(duì)任意n≥2，(x1,…,xn)Qn(X,T)，有(x1,…,xn)Sn，則稱(chēng)S是Q-集.

對(duì)于點(diǎn)(x1,…,xn)Xn，定義集合L(x1,…,xn)如下：xL(x1,…,xn)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)xi的任意鄰域Ui及x的任意鄰域U，存在U,使得TλUi(1≤i≤n)．

性質(zhì)8設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)可交換的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，是(Λ,,*)上的適配余理想基，且對(duì)任意λΛ，集合{iΛ:i*λ}?Λ． 設(shè)B,如果X具有稠密的B-傳遞點(diǎn)集且yTransB(X)，則以下結(jié)論成立：

(1)L(x1,…,xn)是閉集.

(2)L(x1,…,xn)非空當(dāng)且僅當(dāng)(x1,…,xn)Qn(X,T)． 如果yL(x1,…,xn)，且對(duì)于任意λΛ，L(x1,…,xn)是Tλ-不變的，那么L(x1,…,xn)=X．

證明結(jié)論(1)是顯然成立的，下面證明結(jié)論(2). 假設(shè)L(x1,…,xn)非空且令xL(x1,…,xn)． 由于集合

Wn={(Tλ1y,…,Tλny):yTransB(X),λ1,…,λnΛ}

在Xn中稠密，且Wn中的每個(gè)元素都是B-回復(fù)的，則B-回復(fù)集也在Xn中稠密. 設(shè)U是x的鄰域，Ui是xi的鄰域，則存在λΛ和U,使得對(duì)任意1≤i≤n，有TλUi． 不失一般性，假設(shè)是B-傳遞點(diǎn)，則存在λ′?λ，使得Tλ′(TλU(1≤i≤n)． 因此，(x1,…,xn)Qn(X,T)．

另一方面，假設(shè)(x1,…,xn)Qn(X,T)．設(shè)是xi的鄰域且滿(mǎn)足其中kΛ且1≤i≤n． 對(duì)任意k，存在λkΛ和有由緊致性，對(duì)任意i，可假設(shè)由于Wn是Xn的稠密集，不難得到xL(x1,…,xn). 證畢.

下面給出相對(duì)于集合K敏感的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的定義.

定義15設(shè)X是緊致度量空間，(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)． 設(shè)K是X的子集且Card(K)≥2，如果對(duì)任意(x1,…,xn)KnΔn，均有L(x1,…,xn)=X成立，即對(duì)點(diǎn)xi的任意鄰域Ui、任意xX和x的鄰域U，存在λΛ和U，使得對(duì)任意的i(1≤i≤n)，有TλUi，則稱(chēng)系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)是相對(duì)于集合K敏感的. 這樣的集合K叫做初值敏感集或者S-集．

對(duì)任意n≥2，記Sn(X,T)={(x1,…,xn):(x1,…,xn)Δn且{x1,…,xn}S}.

以下定理給出了在有向部分半群作用下,Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中的S-集和Q-集之間的關(guān)系.

定理2設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)可交換的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，是(Λ,,*)上的適配余理想基且對(duì)任意λΛ，集合{iΛ:i*λ}?Λ. 設(shè)B，且對(duì)于任意(x1,…,xn)Xn，對(duì)任意λΛ，集合L(x1,…,xn)都是Tλ-不變的. 如果X中包含稠密的B-傳遞點(diǎn)集，那么任意S-集都是Q-集；當(dāng)(X,{Tλ}λΛ)是極小系統(tǒng)時(shí)，逆命題成立．

證明假設(shè)X包含稠密的B-傳遞點(diǎn)集，集合A是S-集且(x1,…,xn)Sn(X,T)∩An． 設(shè)xX且對(duì)任意自然數(shù)k≥1，Uk是x的非空開(kāi)鄰域且滿(mǎn)足diam(Uk)<1/k． 設(shè)Vi是xi的鄰域，則對(duì)任意k≥1，存在λkΛ及Uk，使得Vi. 由假設(shè)易知B-回復(fù)點(diǎn)集在Xn中稠密，不妨設(shè)是Xn的B-回復(fù)點(diǎn)，則存在λ?λk，使得TλUk． 這就意味著(x1,…,xn)Qn(X,T)．

下面假設(shè)(X,{Tλ}λΛ)是極小系統(tǒng)． 設(shè)A是一個(gè)Q集且(x1,…,xn)AnΔ(n)，對(duì)任意k≥1和xi的任意鄰域Ui，存在Ui和λkΛ，使得

下面給出n-敏感的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的定義.

定義16對(duì)給定的自然數(shù)n≥2，稱(chēng)系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)是n-敏感的，如果存在ε>0，使得對(duì)任意非空開(kāi)集U，存在兩兩互異點(diǎn)x1,x2,…,xnU及λΛ，使得min{d(Tλxi,Tλxj):1≤i≠j≤n}≥ε．

由定義16，易得以下結(jié)論.

定理3設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)可交換的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，是(Λ,,*)上的適配余理想基且對(duì)任意λΛ，集合{iΛ:i*λ}?Λ. 設(shè)B，且對(duì)任意λΛ，L(x1,…,xn)是Tλ-不變的. 如果X包含稠密的B-傳遞點(diǎn)集且(X,{Tλ}λΛ)是n-敏感的，那么對(duì)任意n≥2，有Sn(X,T)Δn≠?．

證明假設(shè)系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)是n-敏感的． 設(shè)x是B-傳遞點(diǎn),對(duì)任意的m+，設(shè)Um是x的開(kāi)鄰域且diam(Um)<1/m，則存在常數(shù)ε>0，使得對(duì)任意自然數(shù)m，存在B-回復(fù)點(diǎn)Um×…×Um及λmΛ，當(dāng)i≠j時(shí)，有不失一般性，假設(shè)顯然x1,…,xn是兩兩不同的,且xL(x1,…,xn)． 因此,L(x1,…,xn)=X，即(x1,…,xn)Sn(X,T)． 證畢.

接下來(lái)證明對(duì)于緊致度量空間上的Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，在X是局部連通空間的條件下，敏感性與n-敏感相互等價(jià)．

定理4設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)且X是局部連通空間． 如果(X,{Tλ}λΛ)是敏感的，那么它也是n-敏感的(n≥2，n+)．

證明設(shè)ε是一個(gè)敏感常數(shù)，U是X的非空開(kāi)集且n≥3． 由于X是局部連通空間，則存在非空連通開(kāi)子集W?U． 由于X是敏感的，則可選取x,yW及λΛ，使得d′=d(Tλ(x),Tλ(y))>ε．

對(duì)于選出的這個(gè)λ，定義f:Tλ(U)→，使得f(z)=d(Tλ(x),z). 易知f是連續(xù)的． 由于Tλ(U)是連通的且f(Tλ(x))=0,f(Tλ(y))=d′，可得f(Tλ(U))?[0,d′]. 選取n個(gè)互異點(diǎn)λTλ(y)Tλ(U)，使得對(duì)任意i=1,2,…,n,有選取x1=x,x2,…,xn-1,xn=yU，使得

這就證明了系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)是n-敏感的． 證畢.

由定理4，易得以下推論：

推論1設(shè)(Λ,,*)是有向部分半群，(X,{Tλ}λΛ)是一個(gè)Λ-拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)且X是局部連通空間． 那么對(duì)于任意自然數(shù)n≥2，系統(tǒng)(X,{Tλ}λΛ)是敏感的當(dāng)且僅當(dāng)它是n-敏感的．