基于B樣條的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法在薄殼結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用研究

崔國(guó)勇 崔昌禹 汪江紅

（1.中國(guó)中元國(guó)際工程有限公司，北京 100089；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150090）

0 引言

自由曲面由于形式自由輕盈且充滿韻律受到越來越多建筑師的喜愛。近幾年國(guó)內(nèi)外涌現(xiàn)出一大批自由曲面建筑，如2010 年上海世博會(huì)中國(guó)航空館、博物館“歡慶之云”、陽光谷、日本國(guó)家館“紫蠶島”、阿聯(lián)酋國(guó)家館“沙丘”、以色列館“海貝”。

這些建筑多是根據(jù)建筑的創(chuàng)意首先確定“形”再由結(jié)構(gòu)工程師通過網(wǎng)殼的形式來逼近所需的“形”，缺少合理的結(jié)構(gòu)形式，更有甚者影響結(jié)構(gòu)的安全性。

對(duì)合理曲面形狀的研究可以追溯到20 世紀(jì)初期，西班牙建筑師高迪利用“逆吊實(shí)驗(yàn)法”設(shè)計(jì)了圣家族大教堂［1-2］。此階段的研究多集中在觀察模仿自然界的現(xiàn)象。20世紀(jì)80年代以來，數(shù)值計(jì)算的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法得到了重視，以日本的半谷教授為代表提出了“廣義逆矩陣”并解決了不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)初始形態(tài)的問題［3］。姜寶石對(duì)桿系結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法在平面框架結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，指出桿系結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法可以提高結(jié)構(gòu)承載效率，使框架結(jié)構(gòu)以受軸力為主［4］。沈世釗對(duì)結(jié)構(gòu)形態(tài)學(xué)的發(fā)展進(jìn)行了梳理總結(jié)，并提出了下一步發(fā)展的意見［5］。將形態(tài)創(chuàng)構(gòu)理論應(yīng)用到實(shí)際工程領(lǐng)域，主要以崔昌禹為代表，他提出了“改進(jìn)進(jìn)化論法”和“高度調(diào)整法”，并將該方法運(yùn)用到數(shù)十個(gè)具體工程中，比較知名的項(xiàng)目有日本福岡市中央公園、上海喜馬拉雅藝術(shù)中心、卡塔爾教育城會(huì)展中心、日本kakamigahara殯儀館等［6-7］。

1 形態(tài)創(chuàng)構(gòu)問題的提出

自由曲面結(jié)構(gòu)的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)問題可表述為［8］

式中：C表示目標(biāo)函數(shù)，由于應(yīng)變能是一個(gè)可以反映結(jié)構(gòu)綜合性能的指標(biāo)，且為標(biāo)量，因此常被用來作為目標(biāo)函數(shù)；S表示設(shè)計(jì)變量，此處為B 樣條曲面的關(guān)鍵點(diǎn)；δmax、δ0分別代表最大位移和結(jié)構(gòu)允許最大位移，結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中最大位移應(yīng)不大于所允許的最大位移；σmax、σ0分別表示最大應(yīng)力和允許最大應(yīng)力，優(yōu)化過程中最大應(yīng)力應(yīng)不大于所允許的最大應(yīng)力。

2 復(fù)雜邊界自由曲面建立

2.1 自由邊界生成

采用拓展的參數(shù)化B 樣條曲線，可以表達(dá)任意復(fù)雜的邊界形式。

拓展的參數(shù)化B樣條曲線表達(dá)式如下：

式中：N表示封閉曲線的個(gè)數(shù)；Mi表示每條封閉曲線中的曲線類型數(shù)，曲線類型包含B 樣條0 階、1階、2 階等；表示第i曲線第j區(qū)間的起始號(hào)，nij表示第i曲線第j區(qū)間的參數(shù)分割總數(shù)，(2mij-1)表示第i曲線第j區(qū)間的曲線次數(shù)，α、β、B(t)分別表示為x、y方向的線性組合系數(shù)和B樣條基函數(shù)。

圖1 示意了采用拓展的B 樣條曲線所表達(dá)的曲線形式，其中圖1（a）示意了外邊界采用4 段0階B 樣條曲線和一段2 階B 樣條曲線組成的外邊界，采用3階B樣條表達(dá)的圓形和3階的自由邊界組成的內(nèi)邊界。圖1（b）示意了采用1 段2 階B 樣條曲線組成的外邊界，4 段3 階B 樣條表達(dá)的圓形組成的內(nèi)邊界。

圖1 自由邊界的生成Fig.1 The generation of free form boundary

2.2 復(fù)雜邊界自由曲面建立

自由曲面采用B 樣條曲面來表述，B 樣條曲面由x、y兩個(gè)方向的B 樣條曲線表達(dá)，表達(dá)式如下：

式中：M表示x方向的關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)；N表示y方向的節(jié)點(diǎn)數(shù)；ri,j是常數(shù)；Bi,k(x)表示x方向k階B樣條基函數(shù)，Bj,l(y)表示y方向l階B樣條基函數(shù)。

復(fù)雜邊界自由曲面建立采用以下步驟：

（1）根據(jù)B 樣條曲線外邊界大小定義參考平面，參考平面略大于B樣條曲線外邊界。

（2）在參考平面上根據(jù)建筑意圖設(shè)置關(guān)鍵點(diǎn)，在參考平面上進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。

（3）根據(jù)建筑意圖生成B 樣條曲面，并將參考平面的網(wǎng)格投影到B樣條曲面上。同時(shí)記錄邊界條件信息，即獲得了復(fù)雜邊界條件的自由曲面。

3 節(jié)點(diǎn)移動(dòng)的實(shí)現(xiàn)

通過移動(dòng)B樣條曲面的關(guān)鍵點(diǎn)使目標(biāo)函數(shù)最小，目標(biāo)函數(shù)移動(dòng)的方法采用梯度法，梯度法的迭代格式如下：

式中：zk+1表示k+1步關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)；zk表示k步關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)；αk表示步長(zhǎng)；dk表示應(yīng)變能梯度。

應(yīng)變能關(guān)于關(guān)鍵點(diǎn)的梯度如下式求解：

式中：{U}表示結(jié)構(gòu)的位移向量；表示結(jié)構(gòu)剛度矩陣對(duì)受關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)影響的插值點(diǎn)坐標(biāo)的敏感度；表示B 樣條函數(shù)對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)zi,j的敏感度。

圖2 B樣條曲面生成Fig.2 The generation of B-spline surface

4 方法的工程應(yīng)用

4.1 外邊界自由，無內(nèi)部邊界

圖3（a）為一多功能活動(dòng)中心，主要分布一大一小兩個(gè)劇院，活動(dòng)中心平面長(zhǎng)45 m、寬30 m，外邊界自由、無內(nèi)部邊界，采用稀疏的圓形柱子為支撐條件。圖4 為關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格，關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格水平方向在大劇院稍密，間距為6 m，小劇院間距9 m；關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格豎向從中間向兩側(cè)逐漸稀疏。均布荷載q=3 kN/m2，材料參數(shù)采用彈性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。

圖3 結(jié)構(gòu)進(jìn)化示意圖Fig.3 The process of structure evolution

圖4 關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格圖4 Key points grid

圖5 為應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化情況，應(yīng)變能前期下降很快，進(jìn)化到第100 步時(shí)，應(yīng)變能降低到原來的40%左右，后逐漸降到原來的25%。應(yīng)變能降低明顯，應(yīng)變能是衡量結(jié)構(gòu)性能的一個(gè)綜合指標(biāo)。根據(jù)以前的研究表明：應(yīng)變能降低，結(jié)構(gòu)的平均位移和最大位移都有不同程度的降低，而且彎曲應(yīng)力和薄膜應(yīng)力都有不同程度的下降，彎曲應(yīng)力比薄膜應(yīng)力下降更為明顯［9］。

圖5 應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化Fig.5 Changes of the strain energy with evolution steps

4.2 外邊界規(guī)則，內(nèi)邊界自由

圖6（a）為瑞士勞力士學(xué)習(xí)中心初始形狀，勞力士學(xué)習(xí)中心平面圖和關(guān)鍵點(diǎn)情況見圖7 所示。勞力士學(xué)習(xí)中心外邊界為矩形，內(nèi)邊界為多個(gè)自由邊界，內(nèi)邊界采用二次B 樣條曲線表達(dá)。內(nèi)部采用點(diǎn)約束，約束條件為鉸接，關(guān)鍵點(diǎn)采用等間距布置，間距為20 m。均布荷載q=3 kN/m2，材料參數(shù)采用彈性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。

圖6 結(jié)構(gòu)進(jìn)化示意圖Fig.6 The process of structure evolution

圖7 關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格Fig.7 Key points grid

圖8 為應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化情況，規(guī)律與前述一致，最終結(jié)構(gòu)應(yīng)變能約為初始結(jié)構(gòu)的26%。進(jìn)化步從200步到最終511步收斂，應(yīng)變能從32%減少到26%，應(yīng)變能變化不大，建筑師可以選擇其中的任意一個(gè)建筑外形，而對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能影響不大。

圖8 應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化Fig.8 Changes of the strain energy with evolution steps

4.3 外邊界自由，內(nèi)邊界規(guī)則

圖9（a）為某體育場(chǎng)館初始形狀，體育場(chǎng)館平面布置在邊長(zhǎng)80 m 的正方形內(nèi)。圖10 為關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格布置情況，關(guān)鍵點(diǎn)采用等間距布置，間距為10 米，在建筑邊界采用點(diǎn)約束，約束條件為鉸接，內(nèi)部邊界采用兩個(gè)圓形和一個(gè)自由曲線邊界。均布荷載q=3 kN/m2，材料參數(shù)采用彈性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。最終應(yīng)變能約為初始結(jié)構(gòu)的29%。

圖9 結(jié)構(gòu)進(jìn)化示意圖Fig.9 The process of structure evolution

圖10 關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格Fig.10 Key points grid

4.4 內(nèi)、外邊界自由

圖11 應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化Fig.11 Changes of the strain energy with evolution steps

圖12（a）為一內(nèi)外邊界均為自由的體育場(chǎng)館，體育場(chǎng)館布置在60 m×90 m 的長(zhǎng)方形內(nèi)。圖13 為關(guān)鍵點(diǎn)布置情況，長(zhǎng)向間距為15 m，短向間距為10 m，一共49 個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，在建筑外邊界采用點(diǎn)約束，約束條件為鉸接。圖14 為應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化情況，進(jìn)化到第20 步的時(shí)候，應(yīng)變能為初始結(jié)構(gòu)的20%，最終應(yīng)變能僅為初始結(jié)構(gòu)的6%，說明初始結(jié)構(gòu)極為不合理，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)承載力可以大幅度的提高。

圖12 結(jié)構(gòu)進(jìn)化示意圖Fig.12 The process of structure evolution

圖13 關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格Fig.13 Key points grid

圖14 應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化Fig.14 Changes of the strain energy with evolution steps

4.5 復(fù)雜荷載條件

實(shí)際項(xiàng)目主要承受以均布荷載形式存在的恒荷載和活荷載，同時(shí)也存在豎向或者水平集中荷載。由于結(jié)構(gòu)物理模型最終需要轉(zhuǎn)化為有限元模型進(jìn)行計(jì)算，在有限元模型層面，任意的荷載形式都是可行的。結(jié)構(gòu)的外荷載轉(zhuǎn)化為有限元節(jié)點(diǎn)荷載采用文獻(xiàn)［10-11］的方法。

圖15（a）為結(jié)構(gòu)的初始形狀，結(jié)構(gòu)布置在100 m×60 m 的長(zhǎng)方形內(nèi)。圖16 為關(guān)鍵點(diǎn)布置情況，采用等間距布置，間距為10 m，一共77個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，在建筑外邊界采用點(diǎn)約束，約束條件為鉸接。結(jié)構(gòu)除承受均布荷載q=3 kN/m2，還承受兩點(diǎn)受集中荷載F=3 kN。材料參數(shù)采用彈性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。圖17 為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化情況，結(jié)構(gòu)最終的應(yīng)變能為初始結(jié)構(gòu)的18%。

圖15 結(jié)構(gòu)進(jìn)化示意圖Fig.15 The process of structure evolution

圖16 關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格Fig.16 Key points grid

圖17 應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化Fig.17 Changes of the strain energy with evolution steps

4.6 復(fù)雜約束條件

實(shí)際工程中會(huì)出現(xiàn)許多復(fù)雜的約束條件，比如各種類型的約束、已知節(jié)點(diǎn)位移和彈性支座等。有限單元法本質(zhì)是歸結(jié)為求一系列方程解的問題，在實(shí)際編程計(jì)算時(shí)各種類型的約束、已知節(jié)點(diǎn)位移可以采用修改方程式法或者修改荷載列陣法，彈性支座則采用修改剛度矩陣的方法，具體編程實(shí)現(xiàn)參考文獻(xiàn)［12］。

圖18（a）為一體育場(chǎng)館初始形狀，結(jié)構(gòu)布置在邊長(zhǎng)50 m 的正方形內(nèi)。圖19 為關(guān)鍵點(diǎn)布置情況，采用等間距布置，間距為5 m，一共121個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，在建筑外邊界采用點(diǎn)約束，約束條件為鉸接和固結(jié)約束。結(jié)構(gòu)除承受均布荷載q=3 kN/m2，材料參數(shù)采用彈性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。圖20 為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化情況，結(jié)構(gòu)最終的應(yīng)變能為初始結(jié)構(gòu)的50%，初始結(jié)構(gòu)較為合理。

圖18 結(jié)構(gòu)進(jìn)化示意圖Fig.18 The process of structure evolution

圖19 關(guān)鍵點(diǎn)網(wǎng)格Fig.19 Key points grid

圖20 應(yīng)變能隨進(jìn)化步的變化Fig.20 Changes of the strain energy with evolution steps

5 結(jié)論

本文研究了基于B樣條的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法的工程應(yīng)用，為自由曲面結(jié)構(gòu)應(yīng)用到實(shí)際工程中提供借鑒和理論依據(jù)，所得結(jié)論如下：

（1）基于B 樣條的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法可以應(yīng)用于外邊界自由，無內(nèi)部邊界、外邊界規(guī)則，內(nèi)邊界自由、外邊界自由，內(nèi)邊界規(guī)則、內(nèi)外邊界均自由，解決了自由曲面應(yīng)用過程中邊界的問題。

（2）可以考慮約束在結(jié)構(gòu)任意位置的問題，且可以考慮約束任意自由度的問題。解決了工程應(yīng)用過程中復(fù)雜的約束問題。

（3）不僅可以考慮均布荷載，而且還可以考慮集中荷載，集中荷載可以是豎向或者水平向荷載。基于B樣條的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法可以考慮任意荷載形式，滿足各種荷載條件。

（4）通過各種類型的算例，可以看到在進(jìn)化過程中，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能逐步下降，結(jié)構(gòu)朝著充分利用材料強(qiáng)度方向進(jìn)化。