時(shí)間模上p-Laplacian方程兩點(diǎn)邊值問題的正解的存在性

喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009)

p-laplace 算子形式是φp(u,),=|s|p-2s,其中φp(s)=|s|p-2s,p＞1。

研究時(shí)間模上的一維p-Laplacian 兩-點(diǎn)邊值問題[1]

設(shè)p＞1，q＞1，且滿足。另外，設(shè)

B1不增，B1(-V)=-B(V)，且有m＞0,B1(V) ≤mv2

記E=Crd()[0,1]T為一個(gè)Banach空間，其范數(shù)定義為，定義一個(gè)錐P?E，且

P={u∈E∶u(t)≥0，是凹函數(shù)不增，}

定義非負(fù)連續(xù)增函數(shù)λ,θ,α滿足

對?u∈P,有γ(u)=θ(u)≤a(u)。另外,

對?u∈P,有‖u‖≤2γ(u),‖u‖=u(0)。

其中泛函λ，θ，α:P→R+,r,則

對?u∈P,

有?λ∈[0,1],θ(λu)=λθ(u)，

記

解方程得到

定義積分算子

AP?P,則A全連續(xù)積分算子，邊值問題(1)有解u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)u是下列算子方程的解。

定理1(Avery-Henderson)設(shè)P是實(shí)巴拿赫空間E的一個(gè)錐,集合

如果ν,Φ是定義在P上的增加的,非負(fù)的連續(xù)函數(shù),讓θ是一個(gè)定義在P上非負(fù)的連續(xù)函數(shù)且有θ(0)=0 滿足對一些正的常數(shù)r,M及所有的,Φ(u)≤θ(u)≤ν(u),‖u‖≤MΦ(u)。又假設(shè)存在常數(shù)0 ＜p＜q＜r滿足下列條件θ(λu)≤λθ(u),0≤λ≤1,u∈?P(θ,q)。假設(shè)A∶P是P上的一個(gè)全連續(xù)算子滿足下列條件:

（1）Φ(Au) ＞r對所有的u∈?P(Φ,r)；

（2）θ(Au) ＜q對所有的u∈?P(θ,q)；

（3）P(ν,p) ≠φ,和ν(Au) ＞p對所有的u∈?P(ν,q),

則A至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1,u2滿足

定理2設(shè)條件(H)成立,且又設(shè)存在常數(shù)a,b,c＞0,且滿足，使

則邊值問題1) 至少有兩個(gè)正解u1,u2，滿足α(u1)＞a,θ(u1)＜b,和b＜θ(u2),γ(u2)＜c[3]。

證明設(shè)

由假設(shè)條件(c3)得到

由定理1,則邊值問題(1)至少有兩個(gè)正解u1,u2滿足.