二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解

魯 琦

(蚌埠學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,安徽 蚌埠 233030)

0 引言及預(yù)備知識

通常會用y″+py′+qy=0的通解與py′+qy=f(x)的特解合并表示y″+py′+qy=f(x)的通解,即全體解.特解往往隨著f(x)形式的復(fù)雜而變得難以求出.

在文獻(xiàn)[1]中,作者基于待定系數(shù)法,給出f(x)為2種特殊形式的方程的特解求法.按文獻(xiàn)[1]中對形如f(x)=eλxPm(x)方程的分析,其中Pm(x)是m次多項式,可假設(shè)特解是y*=R(x)eλx, 則由文獻(xiàn)[1]可知,形如方程y″+py′+qy=eλxPm(x)的特解歸結(jié)為研究2個多項式的相等,即

R″(x)+(2λ+p)R′(x)+

(λ2+pλ+q)R(x)=Pm(x).

(1)

再依據(jù)λ和特征方程的關(guān)系,即是不是特征方程的根、或者是單根、復(fù)根等情形,推出相應(yīng)的特解形式.文獻(xiàn)[2]對f(x)的幾種類型,介紹了升降法、公式法和拼湊法解法.文獻(xiàn)[3]基于多項式之間相等的定義,對f(x)=aeλx,f(x)=(ax+b)eλx等形式的方程給出了比教材更加簡潔的方法. 文獻(xiàn)[4-7]的結(jié)果豐富了二階線性微分方程的相關(guān)研究成果.

本文將y″+py′+qy=eλxPm(x)作為主要研究對象,分析文獻(xiàn)[1]中對形如f(x)=eλxPm(x)的方程特解所作假設(shè)的合理性,并證明了按文獻(xiàn)[1]中假設(shè),最終求出的特解有且只有一個.

1 引例

下面將通過微分方程y″-5y′+6y=xe2x來討論其特解形式.

假設(shè)特解形式為y*=R(x)e2x,由于y*=R(x)e2x滿足y″-5y′+6y=xe2x,將其代入方程,注意到λ=2是特征方程r2-5r+6=0的根(且為單根),結(jié)合式(1),整理可得R″(x)-R′(x)=x,所以R′(x)是一次多項式,從而R(x)是二次多項式.

按文獻(xiàn)[1]中所作分析及假設(shè),可令特解為y*=R(x)e2x=xR1(x)e2x,此時

R(x)=xR1(x).

(2)

故對上例,可令R(x)=xR1(x)=x(b0x+b1),其中R1(x)=b0x+b1按文獻(xiàn)[1]中例2,即可求出特解.

然而,R(x)作為二次多項式,一般包含常數(shù)項.假設(shè)R(x)=ax2+bx+c,利用代數(shù)基本定理可得R(x)有2個復(fù)根,分別記為x1和x2,故可得

R(x)=a(x-x1)(x-x2)=

(x-x1)a(x-x2)=(x-x1)R1(x)，

(3)

其中:R1(x)=a(x-x2).

對比式(2)和(3),不難發(fā)現(xiàn),式(2)需求出2個未知量,式(3)則需求出3個.

另一方面,對于本例,考慮到R′(x)是一次多項式,可設(shè)R′(x)=ax+b,則R″(x)=a,得-ax+(a-b)=x,解得a=b=-1,故可得R′(x)=-x-1.利用微積分相關(guān)知識,求得R(x)為

(4)

R(x)=xR1(x).

從上述例子的分析可以看出,一般特解的選取不唯一,而按文獻(xiàn)[1]的方法,所得特解卻只有一個.文獻(xiàn)[1]中從R(x)=xR1(x)的假設(shè)出發(fā),求出的R(x)無常數(shù)項,求得對應(yīng)的特解也滿足原方程,且相當(dāng)于在式(4)中c=0時的情形.對于文獻(xiàn)[1]中不出現(xiàn)常數(shù)項的假設(shè)方法,是不是廣泛適用,下文將對其進(jìn)行證明.

2 y″+py′+qy=eλxPm(x)特解

僅討論λ是特征方程單根的情形,復(fù)根的情形可作類似分析.當(dāng)λ是特征方程的單根時,R′(x)是m次多項式,此時R(x)是m+1次多項式.一般考慮到R(x)比R′(x)次數(shù)多1,需令R(x)=(ax+b)Rm(x),而文獻(xiàn)[1]中為減少未知量的個數(shù),令R(x)=xRm(x),相比令R(x)=(ax+b)Rm(x),減少了未知量個數(shù),計算相對簡便.從前例的分析也可看出文獻(xiàn)[1]的假設(shè)具有可行性.下面對所作假設(shè)R(x)=xRm(x)的合理性進(jìn)行證明.

設(shè)Pm(x)=a0xm+a1xm-1+…+am,若滿足λ2+pλ+q=0.現(xiàn)令R(x)=xRm(x),可以得出

y*=eλxR(x)=eλxxRm(x)=eλxx(b0xm+

b1xm-1+…+bm)=eλx(b0xm+1+b1xm+…+bmx),

其中Rm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm.

(y*)′=eλx{λ(b0xm+1+b1xm+…+bmx)+[(m+1)b0xm+mb1xm-1+…+bm]}

(y*)″=eλx{λ2(b0xm+1+b1xm+…+bmx)+

2λ[(m+1)b0xm+mb1xm-1+…+bm]+

通常情況下深基坑支護(hù)工程的施工環(huán)節(jié)較多，其中包括：地質(zhì)土方挖掘-邊坡穩(wěn)定調(diào)整-混凝土放點(diǎn)成孔-灌漿注漿-混凝土養(yǎng)護(hù)技術(shù)等等。想要確保各類型施工技術(shù)能夠有良好應(yīng)用環(huán)境條件，就需要勘查人員在實(shí)踐中做好地質(zhì)探測工作，為下一步計劃提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)支持，我國幅員遼闊，所以各地區(qū)地質(zhì)條件有明顯區(qū)別，因此在勘查工作進(jìn)行時一定要結(jié)合當(dāng)?shù)貙?shí)際情況，確認(rèn)建筑分布，以免造成不必要的永久性影響。

[(m+1)mb0xm-1+m(m-1)b1xm-2+…+2bm-1]}.

將上述(y*)″,(y*)′,y*及eλxPm(x)代入方程y″+py′+qy=eλxPm(x),得

λ2b0xm+1+λ2b1xm+λ2b2xm-1+λ2b3xm-2+…+λ2bm-1x2+λ2bmx+2λ(m+1)b0xm+2λmb1xm-1+2λ(m-1)b2xm-2+…+ 2λ3bm-2x2+2λ2bm-1x+2λbm+ (m+1)mb0xm-1+m(m-1)b1xm-2+…+4·3bm-3x2+ 3·2bm-2x+2bm-1+λpb0xm+1+λpb1xm+λpb2xm-1+λpb3xm-2+…+λpbm-1x2+λpbmx+p(m+1)b0xm+pmb1xm-1+p(m-1)b2xm-2+…+p·3bm-2x2+p·2bm-1x+pbm+qb0xm+1+qb1xm+qb2xm-1+qb3xm-2+…+qbm-1x2+qbmx=a0xm+a1xm-1+a2xm-2+…+am-2x2+am-1x+am.

利用多項式相等的定義,可得如下等式,即

(λ2+λp+q)b0=0,

(2λ+p)(m+1)b0+(λ2+λp+q)b1=a0,

(m+1)mb0+(2λ+p)mb1+(λ2+λp+

q)b2=a1m(m-1)b1+(2λ+p)(m-1)b2+

…

4·3bm-3+(2λ+p)·3bm-2+(λ2+λp+q)bm-1=am-23·2bm-2+(2λ+p)·2bm-1+(λ2+λp+q)bm=am-12bm-1+(2λ+p)·bm=am.

(5)

注意到λ2+pλ+q=0,上面的第一個等式對b0為任意數(shù)顯然成立.把第二個等式至最后一個等式聯(lián)立成一個m+1元線性方程組,若可解出b0,b1,…,bm,就可以定出特解y*.從而說明從最初的假設(shè)R(x)=xRm(x)出發(fā),是可以解出滿足方程的相應(yīng)結(jié)果,因此有其合理性.下面證明上述m+1元線性方程組有解,且解是唯一的.

將式(5)中除第一個方程外的其他方程合并寫成矩陣形式(注意此時λ2+pλ+q=0),可得,

因為A為下三角矩陣,所以|A|=(2λ+p)m+1.(m+1)!.再由λ是特征方程的單根可得2λ+p≠0,故|A|≠0,即A可逆.進(jìn)而可得b=A-1a.因此,由逆矩陣的唯一性可知上述方法得到的b是唯一的,即b0,b1,…,bm是唯一的,故相應(yīng)的特解有且只有一個.