數(shù)圖結(jié)合 殊途同歸

朱傳華

摘 要：圖像法是一種分析處理數(shù)據(jù)、研究物理問題的重要方法，圖像能夠直觀、形象地描繪物理規(guī)律。在解決初中物理習(xí)題時(shí)，準(zhǔn)確掌握?qǐng)D像中各個(gè)物理量的意義，充分利用圖像中所傳遞的信息，理解函數(shù)圖像中的物理意義，將函數(shù)圖像、圖形和物理知識(shí)結(jié)合，通過主動(dòng)構(gòu)建圖像或延長原圖像，可以讓問題得到比較巧妙地解決。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù);數(shù)圖結(jié)合;圖像法;相似三角形

圖像法是一種分析處理數(shù)據(jù)、研究物理問題的重要方法，圖像能夠直觀、形象地描繪物理規(guī)律。充分利用圖像中所傳遞的信息，理解函數(shù)圖像中關(guān)鍵點(diǎn)的物理意義，將函數(shù)圖像、幾何圖形和物理知識(shí)結(jié)合，可以幫我們巧妙地解決一些物理問題，達(dá)到化繁為簡的目的。初中階段學(xué)生在數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和二次函數(shù)，這些函數(shù)在我們初中物理的學(xué)習(xí)中都有應(yīng)用，下面以一次函數(shù)為例談?wù)労瘮?shù)圖像在初中物理解題中的應(yīng)用。

一、深入理解題意，主動(dòng)創(chuàng)造圖像

例1：為測定黃河水的含沙量，某校課外活動(dòng)小組取了10dm3的黃河水，稱得其質(zhì)量是10.18 kg。已知沙子的密度ρ沙=2.5×103kg/m3，求黃河水的含沙量（每立方米黃河水中含沙多少千克）。

本題是密度練習(xí)中的常見題，常規(guī)的解析方法是由10dm3黃河水的質(zhì)量是10.18 kg，可知1m3黃河水的質(zhì)量是1018 kg，根據(jù)題意可列出方程組：

圖像法：將黃河水看成水和沙的混合物，與同體積的水對(duì)比，對(duì)照已知條件可知1m3黃河水和1m3水的質(zhì)量差異在于與黃河水中沙子的質(zhì)量比體積相同的水的質(zhì)量大，其余水的部分質(zhì)量、體積都相同。

根據(jù)m= ρV可以得出，水和沙子體積相同時(shí)，m與ρ成正比，比值為V，作出m-ρ圖像，由正比例函數(shù)圖像的性質(zhì)可知，圖像斜率，由此可以計(jì)算m沙= ρ沙V沙=2.5×103kg/m3×0.012m3=30 kg。

本題對(duì)初二學(xué)生來說是一道中等難度的題，用常規(guī)的列方程或方程組的方法就能解決，但在理解題意的基礎(chǔ)上，用畫示意圖和正比函數(shù)圖像結(jié)合的方法能夠更快地解決問題。

二、反比變?yōu)檎?，靈活運(yùn)用圖像

例2.（2014年烏魯木齊中考）阿基米德采用排水法解決了王冠摻假問題，現(xiàn)有一個(gè)金和銀做成的王冠，用排水法測量出其體積為56.9cm3，若與王冠質(zhì)量相同的純金塊和純銀塊的體積分別為52.5cm3 和96.5cm3，則王冠中銀的質(zhì)量和金的質(zhì)量之比為（? ? ）？

A.1：8? ? B.1：9? ? ? C.1：10? ? ? D.1：11

有老師認(rèn)為本題需用到金和銀的密度作為已知條件，才能用常規(guī)方法解題。[1]但其實(shí)題目已知條件中并未給出金和銀的密度，仍然可以用常規(guī)方法解決，解題思路如下：設(shè)王冠中金的質(zhì)量為m金，銀的質(zhì)量為m銀，則m王冠=m金+m銀，根據(jù)條件給出的三個(gè)體積可以列出：

這樣本題無須金和銀的密度作為已知條件就可以求出王冠中銀的質(zhì)量和金的質(zhì)量之比。

圖像法：本題中三種王冠質(zhì)量相同，因?yàn)榻M成不同即密度不同而使得體積不同，分析可知，合金王冠比質(zhì)量相同的純金王冠體積大的部分是王冠中銀的體積（設(shè)為V1）比質(zhì)量相同的金的體積（設(shè)為V3）大的部分，合金王冠比質(zhì)量相同的純銀王冠體積小的部分是金（設(shè)為V2）比質(zhì)量相同的銀的體積（設(shè)為V4）小的部分，V1與V3、V4與V2的體積差異是質(zhì)量相同而金、銀密度不同造成的，根據(jù)可知，質(zhì)量相同時(shí)，V與ρ成反比，即V與成正比，比例系數(shù)即為m。由此可以根據(jù)分析分別作出王冠中銀的質(zhì)量m銀和金的質(zhì)量m金的V—的圖像。

在本題中，常規(guī)解法思路較為復(fù)雜，找出三種王冠的體積差異，再將原本V與ρ成反比的關(guān)系轉(zhuǎn)變成V與成正比，分別找出m銀、m金與的關(guān)系，借助一次函數(shù)圖像解出m銀與m金的比值也是一種不錯(cuò)的方法。

三、巧用一次函數(shù)，構(gòu)造相似圖形

例3.（2016年蘇州中考）如圖1（a）甲所示，電源電壓保持不變，閉合開關(guān)S，滑動(dòng)變器的滑片P從b點(diǎn)滑到a點(diǎn)的過程中，兩電壓表示數(shù)隨電流表示數(shù)變化的圖線如圖1（a）乙所示，下列敘述正確的是（ ）？

A.電源電壓為14V。

B.圖乙中dc是表示電壓表V2的示數(shù)隨電流表示數(shù)變化的圖線。

C.滑片從b點(diǎn)滑到a點(diǎn)的過程中，電路消耗的總功率最大值為45W。

D.滑片在a點(diǎn)時(shí)，10s內(nèi)電阻R消耗的電能為10J。

本題常規(guī)解法是利用圖像中的C、D、E三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的數(shù)據(jù)列方程組解出電源電壓U和定值電阻R的阻值，然后計(jì)算出其他相應(yīng)的結(jié)果，解題過程本文不再贅述。本題也可以充分利用圖像信息，結(jié)合圖形來解題。如圖1（b）所示，分析電路圖可知CE是R2的電壓U2-I圖像，是正比函數(shù)，可知R2=2Ω;CD是R1的電壓-電流（U1-I）圖像，可以寫出U1關(guān)于I的表達(dá)式U1=U-I（R+R2），將此圖像延長至縱軸，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（0A，U0），根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可知，當(dāng)I=0A時(shí)，U1=U即為電源電壓。同樣可以將函數(shù)圖像延長至橫軸，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（I0，0V），根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可知，當(dāng)U1=0V時(shí)，I=;對(duì)照電路圖分析，當(dāng)R1接入電路的阻值為0Ω時(shí)，U1=0V，電路中只有R和R2，電流表的示數(shù)就等于。如何快速利用圖像求出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)呢？筆者在教學(xué)時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的方法，將線段CD分別向兩邊延長至與坐標(biāo)軸相交，與縱軸交點(diǎn)為J，橫軸交點(diǎn)為G，即可得到兩組相似三角形，其一為?CDF∽?DJK，根據(jù)相似三角形的特點(diǎn)可知JK/DF=KD/FC，代入數(shù)據(jù)可快速求出JK=3V，U0=12V+3V=15V，即電源電壓為15V;其二為?CDF∽?GCH，可知HG/FC=CH/DF，代入數(shù)據(jù)可求出HG=2A，I0=3A+2A=5A，R+R2=U0/I0=15V/5A=3Ω，因?yàn)镽2=2Ω，所以可得R=1Ω。

本題在理解圖像物理意義的基礎(chǔ)上，在函數(shù)圖像中運(yùn)用相似三角形的幾何知識(shí)能夠幫學(xué)生快速計(jì)算出結(jié)果，學(xué)生對(duì)此方法甚為驚訝，感嘆原來物理習(xí)題還可以這樣解決。

歷史上物理和數(shù)學(xué)有著十分深刻的聯(lián)系。每一次物理學(xué)的重大革命，其標(biāo)志都是有新的數(shù)學(xué)被引入到物理學(xué)中來。但我們的初中生在學(xué)習(xí)過程中往往將物理與數(shù)學(xué)看成彼此獨(dú)立的，不能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系;教師在教學(xué)過程中也會(huì)逐漸形成學(xué)科本位，而忽視了物理與其他學(xué)科知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。因此我們在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生善于利于各種數(shù)學(xué)方法，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)方便、快捷地解決各種物理問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]李康.巧用圖像法 妙解物理題[J].物理教師，2018（9）：26-29.