循環(huán)矩陣的某些性質(zhì)及應用

廖嬡嬡

[摘? ? ? ? ? ?要]? 循環(huán)矩陣是一類很重要的矩陣，它被普遍用于許多領域。給出并證明循環(huán)矩陣的一些性質(zhì)，并提供了一些關于循環(huán)矩陣的行列式的求法。進而討論推廣的循環(huán)矩陣，即r-循環(huán)矩陣，利用相似方法，也給出了r-循環(huán)矩陣的行列式的求法。

[關? ? 鍵? ?詞]? 循環(huán)矩陣;循環(huán)行列式;r-循環(huán)矩陣

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2021）49-0092-02

一、引言

美國學者Muir.T.在1885年初次提出循環(huán)矩陣的觀念。直到1950年以前，對于循環(huán)矩陣的鉆研還沒有引發(fā)數(shù)學工作者的特別注意。1950年以來，隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)循環(huán)矩陣在實際中有很多應用，如在編碼理論、數(shù)理統(tǒng)計、結(jié)構計算、數(shù)學圖像管理、石油勘探等方面應用很廣。因此，近年來各數(shù)學工作者對于循環(huán)矩陣的研究較為熱烈。本文介紹了n階循環(huán)矩陣的性質(zhì)及證明，并利用相關性質(zhì)來求得其行列式的值和線性方程組的解的方法，n階r-循環(huán)矩陣類似。循環(huán)行列式的計算方法極為奇妙，也很有代表性，研討它們的計算方法，可讓復雜的線性方程組簡單化，從而大大減少了方程組的計算量。

二、循環(huán)矩陣

（一）循環(huán)矩陣的概念

定義1 復數(shù)域上n階矩陣

Aa0? ? ? ? ? a1 … an-1an-1? ? ?a0 … an-2…? … … …a1? ? ? ? ?a2 … a0

為n階循環(huán)矩陣，或輪回矩陣，簡記為A=C（a0，a1，…，an-1）。

定義2

D=0? ?1? ?0? …? 0? 00? ?0? ?1? …? 0? 0… … …? ? … … …0? ?0? ?0? …? 0? 11? ?0? ?0? …? 0? 0 （1）

則D亦是循環(huán)矩陣，稱為基礎循環(huán)矩陣。

定義3 n階矩陣A是一個循環(huán)矩陣，明顯D，D2，…，Dn-1，Dn=I=D0（n階單位矩陣）都是循環(huán)矩陣，且

A=a0I+a1D+a2D2+…+an-1Dn-1

其中f（x）=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1，則A=f（D）。

（二）循環(huán)矩陣的性質(zhì)及應用

1.循環(huán)行列式的性質(zhì)

定義4 形如

A=a1? ? ? ?a2? ?a3 …? anan? ? ? a1? ?a2 … an-1an-1? ?an? ? ? ? ?a1 … an-2…? … … … …a2? ? ? ?a3? ?a4? … a1

的行列式稱為n階循環(huán)行列式，簡記為A=a1，a2，a3，…，an。

2.循環(huán)行列式的實際計算

例1? ?計算

Dn=1 2 3? …? n-2? n-1? nn 1 2? …? n-3? n-2? n-1n-1 n 1? …? n-4? n-3? n-2n-2 n-1 n? …? n-5? n-4? n-3… … …? ? … … … …3 4 5 … n 1 22 3? ? 4? … n-1 n 1

解Dn=■1 2 3? …? n-2? n-1? n1 1 2? …? n-3? n-2? n-11 n 1? …? n-4? n-3? n-21 n-1 n …? n-5? n-4? n-3… … …? ? … … … …1 4 5 ? … n 1 21 3? ? 4? ? … n-1 n 1

=■1 2 3 …? n-2? n-1 n0 - 1 -1? …? -1? -1? -10 n-2 -2? … -2 ? -2 -20 n-3 n-3 … -3 -3 -3… … … ? ?… … … …0 2 2 … 2 -（n-2） -（n-2）0 1 ? 1 ? … 1 1 -（n-1）

=■1 2 3 …? n-2? n-1 n0 - 1 -1? …? -1? -1? -10 0 -n? … -n ? -n -n0 0 0 … -n ? -n -n… … … ? … … … …0 0 0 … 0 ? -n -n0 0 0 … 0 0 -n

=（-1）n-1■×nn-2

令f（x）=1+2x+3x2+…+nxn-1，根據(jù)定理1，可知Dn=f（1）f（ε1）…f（εn-1），其中，1，ε1，…，εn-1是多項式xn-1的n個根，通過計算可得：Dn=（-1）n-1■×nn-2。

三、循環(huán)矩陣的推廣

（一）r-循環(huán)矩陣的概念

定義5 若A具有形狀

A=a0? ? ? ? ? a1 a2 … an-2 an-1ran-1? ? ? a0 a1 … an-3 an-2ran-2? ? ran-1 a0 … an-4 an-3… … … … … …ra1? ? ? ? r a2 r a3 … ran-1 a0

則稱A為r-循環(huán)矩陣，簡記為A=C（a0，a1，a2 ，…an-1 ）。

定義6 稱n階r-循環(huán)矩陣

K=0? ? ? ?1? ? ? 0? ? ?…? ? 0? ? ? 00? ? ? ? 0? ? ? 1? ? ?…? ?0? ? ? 0…? …? …? …? …? …0? ? ? ? 0? ? ? 0? ? ?…? ?0? ? ? 1r? ? ? ? ? 0? 0? … 0? 0 （2）

為基本r-循環(huán)矩陣，簡記為K=Cr（0，1…0 ）。

（二）r-循環(huán)矩陣的性質(zhì)及應用

1.r-循環(huán)矩陣的性質(zhì)

定義7? 形如

D=a1? ? ? ? ? a2 a3 … anran? ? ? a1 a2 … an-1ran-1? ? ran a1 … an-2… … … … …ra2? ? ? ? r a3 r a4 … a1

的行列式稱n為階r-循環(huán)行列式，簡記為D=a1，a2，…anr。

2.r-循環(huán)矩陣的實際計算

例2? ?計算D=a? ? ? ?b? ? ? b? ? ?…? ?brb? ? ? a? ? ? a? ? ?… ? brb? ? rb ? a? ? ?…? b…? …? …? …? …rb? ? rb? rb? ? …? a

解? ?記f（t）=a+bt+bt2+…+btn-1，則f（t）=a-b+b■。

令η1，η2，…ηn為K的全部特征根，則

ηnk=r，k=1，2，…，n （3）

λn-r=■（λ-ηk） （4）

從而D=■（a-b+b■）=■

由（3）可得

D=■=■.

由（4）得D=■

依據(jù)上述公式可知，

①a? ? ? ?b? ? ?…? ? bb? ? ? ? a? ? … ? ?b…? …? ? …? …b? ? ? ? b? …? ? a=（a-b）n-1[a+（n-1）b]（考慮■D）

②? ?a? ? ? ?b? ? ?…? ? b-b? ? ? ? a? ? … ? b…? ? ?…? ? …? … -b? ? -b? …? ? a=■（考慮■D）

③a? ? ? ?b? ? ?…? ? bc? ? ? ?a? ? … ? ?b…? …? ? …? … c? ? ? ? c? …? ? a=■（考慮■D）

四、結(jié)語

本文一開始給出循環(huán)矩陣的概念，而后證實了循環(huán)矩陣的某些性質(zhì)，后來提供了一些對于循環(huán)矩陣的行列式的求法，并把理論的計算方法運用于實際之中。同時討論了推廣的循環(huán)矩陣，即-循環(huán)矩陣，利用相似方式，也給出了-循環(huán)行列式的求法。這樣大大提高了計算行列式的能力，也能夠完善行列式的計算方法。本文延伸還不夠深入，可以利用循環(huán)矩陣及行列式的性質(zhì)來求出循環(huán)線性方程組的解的方法。

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◎編輯 鄭曉燕