用橢圓參數(shù)方程求弦長

劉鑫 張甲

[摘 要]文章結(jié)合橢圓的參數(shù)方程推導(dǎo)出了當(dāng)直線與橢圓相交時直線斜率存在與不存在時橢圓弦長的6個公式.探討利用橢圓的參數(shù)方程求弦長的方法，有利于提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]參數(shù)方程;橢圓;弦長

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0034-03

有關(guān)橢圓弦長問題的求解方法有很多，文獻(xiàn)[1]中就給出了常用的6種求解方法，如弦長[AB=1+k2x1+x22-4x1x2]，該公式就是將橢圓方程和直線方程聯(lián)立后，再由兩點間的距離公式和韋達(dá)定理得到的.還有應(yīng)用直線的參數(shù)方程、橢圓的第二定義等方法求解橢圓弦長問題的.文獻(xiàn)[1]中的6種求解方法幾乎涵蓋了涉及此類問題的所有常用方法，但筆者查找了大量有關(guān)橢圓弦長問題的文獻(xiàn)后，發(fā)現(xiàn)在所有常用方法中均沒有發(fā)現(xiàn)有關(guān)應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程來求解橢圓弦長問題的，故而筆者考慮將橢圓的參數(shù)方程引入有關(guān)橢圓弦長的問題中，應(yīng)用參數(shù)方程求解橢圓弦長問題.

為行文方便，先引入橢圓的參數(shù)方程.

[x=acos θ，y=bsin θ.] （1）

其中[a]表示橢圓的長半軸、[b]表示橢圓的短半軸，參數(shù)[θ]表示[∠AON]的大?。ㄈ鐖D1）.

一、當(dāng)直線斜率存在時

1.直線過坐標(biāo)原點

如圖2，過原點的直線[l]與橢圓交于[A]，[B]兩點，直線的斜率為[k且k≠0]，求弦長[AB].

由橢圓的性質(zhì)可得，[AB=2OA].根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，設(shè)[A]點坐標(biāo)為[acos θ， bsin θ]，直線[l]的斜率[k=batan θ].則弦長[AB]就可以表示為：

[AB=2OA]

[=2acos θ-02+bsin θ-02]

[=2a2cos2θ+b2sin2θcos2θ+sin2θ]

[=2a2b21+k2a2k2+b2.]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

2.直線過橢圓焦點

如圖3，過焦點[Fc， 0]的直線[l]與橢圓交于[A]，[B]兩點，直線斜率為[k且k≠0]，求弦長[AB].

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)[A]，[B]兩點的坐標(biāo)為[Aacos θ1， bsin θ1]，[Bacos θ2， bsin θ2]，則直線[l]的斜率[k=bsin θ2-sin θ1acos θ2-cos θ1]，則[sin θ2-sin θ1=akbcos θ2-cos θ1 ].故弦長[AB]可表示為

[AB=a2cos θ2-cos θ12+b2sin θ2-sin θ12=a2cos θ2-cos θ121+k2.]

又因為直線[l]的斜率與直線[AF]的斜率相等，即[k=bsin θ1acos θ1-c]，所以可得[sin θ1=kbacos θ1-c].由三角函數(shù)的平方關(guān)系[sin2θ1+cos2θ1=1]得

[k2b2acos θ1-c2+cos2θ1=1]

[a2k2b2+1cos2θ1-2k2acb2cos θ1+k2c2b2-1=0.]

令[x=cos θ1]，則可得關(guān)于[x]的一元二次方程[a2k2b2+1x2-2k2acb2x+k2c2b2-1=0]，根據(jù)一元二次方程判別式[Δ=-2k2acb22-4a2kb2+1k2c2b2-1=4k2+4>0]，得該一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根[x=2k2acb2±41+k22a2k2b2+1=k2ac±b21+k2a2k2+b2]，則由橢圓參數(shù)方程的相關(guān)性質(zhì)可設(shè)[cos θ1=k2ac+b21+k2a2k2+b2]，[cos θ2=k2ac-b21+k2a2k2+b2]，所以弦長[AB]就可表示為

[AB=a21+k2k2ac-b21+k2a2k2+b2-k2ac+b21+k2a2k2+b22]? ? ? ? [=a21+k24b4（1+k2）a2k2+b22=2ab21+k2a2k2+b2.]? ? ? （3）

3.直線過任意點

如圖4，設(shè)直線[l]的方程為[y=kx+m]與橢圓交于[A]，[B]兩點，直線的斜率為[k且k≠0]，與[x]軸交點為[C-mk， 0].求弦長[AB].

由上述可得[AB=a21+k2cos θ2-cos θ12].又因為直線[l]的斜率與直線[AC]的斜率相等，即[k=bsin θ1acos θ1+mk]，所以得[sin θ1=akbcos θ1+mb].由三角函數(shù)的平方關(guān)系[sin2θ1+cos2θ1=1]得

[akbcos θ1+mb2+cos2θ1=1a2k2b2+1cos2θ1+2kamb2cos θ1+m2b2-1=0.]

令[x=cos θ1]，則可得關(guān)于[x]的一元二次方程[a2k2b2+1x2+2kamb2x+m2b2-1=0]，根據(jù)判別式[Δ=4k2a2m2b4-4a2k2b2+1m2b2-1=4a2k2-m2b2+4=4a2-m2k2b2k2+4>0]，所以該一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根：

[x=-2akmb2±4a2k2+b2-m2b22a2k2b2+1=-akma2k2+b2±ba2k2+b2-m2a2k2+b2，]

則由橢圓參數(shù)方程的相關(guān)性質(zhì)可設(shè)[cos θ1=-akma2k2+b2+ba2k2+b2-m2a2k2+b2]，[cos θ2=-akma2k2+b2-ba2k2+b2-m2a2k2+b2]，所以弦長[AB]就可表示為

[AB=a21+k2cos θ1-cos θ22=a21+k24b2a2k2+b2-m2a2k2+b2=2ab1+k2a2k2+b2-m2a2k2+b2.] （4）

4.直線斜率為0

如圖5，設(shè)直線[l]的方程為[y=mm<b]與橢圓交于[A]，[B]兩點，求弦長[AB].

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)[A]，[B]兩點坐標(biāo)為[Aacos θ， bsin θ]，[B-acos θ， bsin θ]，則可得[m=bsin θ?sin θ=mb]，所以弦長[AB]可表示為

[AB=2acos θ=2a1-sin2θ=2ab2-m2b2=2ab2-m2b]. ? ? ? ?（5）

二、當(dāng)直線斜率不存在時

1.直線過橢圓焦點

如圖6，過焦點[Fc， 0]的直線[l]與橢圓交于[A]，[B]兩點，求弦長[AB].

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)[A]，[B]兩點坐標(biāo)為[Aacos θ，bsin θ]，[Bacos θ，-bsin θ]，則可得[acos θ=c] [?cos θ=ca]，所以弦長[AB]可表示為

[AB=2bsin θ=2b1-cos2θ=2ba2-c2a2=2b2a]. ? ? ? （6）

2.直線過任意點

如圖7，直線[x=n]與橢圓交于[A]，[B]兩點，求弦長[AB].

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)[A]，[B]兩點坐標(biāo)為[Aacos θ，bsin θ]，[Bacos θ，-bsin θ]，則可得[acos θ=n?cos θ=na]，所以弦長[AB]可表示為

[AB=2bsin θ=2b1-cos2θ=2ba2-n2a2=2ba2-n2a.] ? ?（7）

文章利用橢圓的參數(shù)方程，推導(dǎo)出了當(dāng)直線與橢圓相交時直線斜率存在與不存在兩種情況共6個公式.這6個公式涵蓋了求橢圓弦長的所有類型，其中公式（4）稱為橢圓弦長的“萬能公式”，當(dāng)直線斜率存在時都可用它進(jìn)行計算.在文獻(xiàn)[3]中，作者利用直線與橢圓的直角坐標(biāo)方程也推導(dǎo)出了此公式，不過計算過程較為復(fù)雜.文獻(xiàn)[1]利用放射變換的方法證明了此公式，雖然在一定程度上簡化了計算過程，但對于高中學(xué)生來說理解起來也有一定的困難.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 鐘德光，蔡方明，陳宇鵬.求橢圓弦長，方法知多少？[J].理科考試研究，2018，25（7）：21-23.

[2]? 鄭慶安，潘玉曉. 橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及性質(zhì)[J]. 南陽師范學(xué)院學(xué)報，2014，13（3）：12-13.

[3]? 廖炳江.求橢圓弦長的一個公式[J].安順師專學(xué)報，1999（4）：40-43.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）