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    思維接力:小初銜接的應(yīng)然視角
    ——以“數(shù)的運(yùn)算”為例

    2021-12-18 10:18:52江蘇省蘇州市彩香實(shí)驗(yàn)小學(xué)校
    小學(xué)教學(xué)研究 2021年28期
    關(guān)鍵詞:數(shù)的運(yùn)算乘方分配律

    江蘇省蘇州市彩香實(shí)驗(yàn)小學(xué)校 陸 椿

    分析小初數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接問(wèn)題,筆者以為,首要是關(guān)注并解決好思維銜接的問(wèn)題。以“數(shù)的運(yùn)算”為例,初中階段的內(nèi)容較之于小學(xué)有兩大顯著變化:一是數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)領(lǐng)域,數(shù)的運(yùn)算也相應(yīng)地在加、減、乘、除四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上引入了乘方、開(kāi)方運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)了由局部到全局的跨越。二是研究領(lǐng)域從“數(shù)”擴(kuò)充到“式”,從算術(shù)運(yùn)算向代數(shù)運(yùn)算過(guò)渡,這是學(xué)生在認(rèn)知上由具體到抽象、由特殊到一般的跨越。

    一、類(lèi)比:溝通思維的聯(lián)系

    無(wú)論是小學(xué)還是初中,基本算理是一脈相承的。教學(xué)中應(yīng)關(guān)注知識(shí)整體,溝通不同單元板塊之間的內(nèi)在聯(lián)系,并做適當(dāng)延伸。在“數(shù)的運(yùn)算”的復(fù)習(xí)中,出示如下題組:上述由整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三個(gè)計(jì)算組成的題組,學(xué)生在計(jì)算得到正確結(jié)果方面顯然不存在困難。重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生以此來(lái)分別復(fù)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加(減)法的計(jì)算法則。這三種運(yùn)算表面上看有比較大的差異:整數(shù)加(減)法要求相同數(shù)位對(duì)齊;小數(shù)加(減)法要求小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊;而分?jǐn)?shù)加(減)法關(guān)鍵是要統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位。繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從表面走向深入:實(shí)質(zhì)上三則計(jì)算法則的核心都是相同計(jì)數(shù)單位方可直接相加減,異分母分?jǐn)?shù)之所以不能直接相加減是因?yàn)樗鼈兊姆謹(jǐn)?shù)單位不統(tǒng)一,需要轉(zhuǎn)異為同。在學(xué)生初步感悟到“數(shù)的加減運(yùn)算,就是‘基本單位’相同情況下,‘基本單位’的個(gè)數(shù)的加減運(yùn)算”的基礎(chǔ)上,拓展思維,如:4a+5a,“基本單位”是a,就是4個(gè)a加5個(gè)a等于9個(gè)a,即9a;6ab-2ab,“基本單位”是ab,就是6個(gè)ab減2個(gè)ab等于4個(gè)ab,即4ab。如此嘗試用“基本單位”的思維方法來(lái)進(jìn)行含有字母的式子的加減運(yùn)算,學(xué)生進(jìn)入初中后,通過(guò)類(lèi)比便能更快地掌握和理解式的運(yùn)算。

    在小學(xué)階段的教學(xué)中,還有很多地方可進(jìn)行上述類(lèi)比,本文就不一一列舉了。小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué),大多通過(guò)生活情境引入。如整數(shù)的四則混合運(yùn)算,就是通過(guò)模擬購(gòu)物,先分步再綜合,最后得出運(yùn)算順序。這樣的編排,符合小學(xué)生的年齡特征,也利于學(xué)生通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境來(lái)理解先乘除再加減的運(yùn)算順序。進(jìn)入初中后,引入了乘方和開(kāi)方運(yùn)算,由二級(jí)運(yùn)算拓展到三級(jí)運(yùn)算。因此在教學(xué)中,可結(jié)合情境向?qū)W生說(shuō)明:從運(yùn)算的發(fā)展來(lái)看,加減法是最基本的運(yùn)算,乘法是相同加數(shù)連加的簡(jiǎn)便運(yùn)算,除法則是遞減相同減數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算(也是乘法的逆運(yùn)算),乘除法比加減法高一級(jí)。因此,“先乘除再加減”既是解決實(shí)際問(wèn)題的需要,也是根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展而規(guī)定的。而乘方(開(kāi)方)則是第三級(jí)運(yùn)算,乘方可以看作是乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算,要優(yōu)先計(jì)算,這是由法則本身的形成及法則之間的關(guān)系規(guī)定的。這樣就便于學(xué)生循序漸進(jìn)地理解和掌握三級(jí)運(yùn)算的運(yùn)算順序。

    教學(xué)中還要注意溝通四則運(yùn)算的意義、算理和算法、運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)之間的聯(lián)系。理解運(yùn)算律(特別是乘法分配律)和運(yùn)算性質(zhì)的本質(zhì)和作用,溝通一級(jí)運(yùn)算和二級(jí)運(yùn)算之間的聯(lián)系。溝通“數(shù)”與“式”的聯(lián)系,通過(guò)類(lèi)比將“數(shù)的運(yùn)算”過(guò)渡到“式的運(yùn)算”。挖掘教材中的銜接點(diǎn),如乘方、解方程、面積和體積的公式計(jì)算等,主動(dòng)實(shí)現(xiàn)小初的整體銜接。

    二、遷移:感悟思維的遞進(jìn)

    從“數(shù)”到“式”的變化,是初中階段顯著的一個(gè)變化。用字母表示數(shù)是小初銜接的一項(xiàng)重要內(nèi)容,是初中階段學(xué)習(xí)代數(shù)式、整式的基礎(chǔ)。如:兒子今年a歲,爸爸的年齡是兒子的4倍,媽媽比兒子大26歲,則爸爸年齡為4a歲,媽媽年齡為(a+26)歲。這些關(guān)系,在小學(xué)稱(chēng)為用字母表示數(shù),而到了初中,4a我們稱(chēng)為單項(xiàng)式,a+26為代數(shù)式。小學(xué)階段可適當(dāng)加強(qiáng)用字母表示稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系的教學(xué),以順利過(guò)渡到初中“式”的運(yùn)算。

    小學(xué)階段的運(yùn)算主要是“數(shù)”在參與運(yùn)算,而初中階段則進(jìn)入了代數(shù)式的領(lǐng)域——整式、分式、有理式、代數(shù)式等,更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì),也更抽象,更能解決問(wèn)題。從思維層面來(lái)說(shuō),無(wú)論是“數(shù)”還是“式”,其實(shí)質(zhì)都是基于乘法分配律的運(yùn)算。乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c,拓展時(shí)可以把括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)增加到三個(gè)數(shù)或更多數(shù),如(a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d,這是從量上進(jìn)行拓展。還可以安排這樣的思維訓(xùn)練:

    求圖1所示樓層的總面積,可以這樣算:12b+12b+12b+ab=36b+ab;也可以這樣算:(12+12+12+a)×b=(36+a)×b。這兩種算法都是正確的,通過(guò)兩種算法滲透運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)的基本方法。

    圖1

    另外在小學(xué)階段,還可加強(qiáng)運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的各種變式練習(xí),如:4.44×3.3+2.22×3.4=(2.22×2)×3.3+2.22×3.4=2.22×6.6+2.22×3.4=2.22×10=22.2;3333×2222÷6666=(3×1111)×(2×1111)÷(6×1111)=1111。通過(guò)讓學(xué)生找相同的“數(shù)”(即相同的“項(xiàng)”),體會(huì)“合并”的數(shù)學(xué)思想方法。

    從“數(shù)”到“式”,雖然外在“形”的變化很大,但實(shí)質(zhì)上與小學(xué)階段學(xué)過(guò)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)是一致的。在小初銜接中,我們就要抓住這一“變”與“不變”的辯證關(guān)系,進(jìn)行滲透。如整式的運(yùn)算中,去括號(hào)是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),其實(shí)去括號(hào)也可以利用小學(xué)階段的乘法分配律或減法的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明。因此在小學(xué)階段,應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)用運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)的訓(xùn)練,達(dá)到知識(shí)遷移的目的。

    三、推理:體會(huì)思維的延展

    教材的知識(shí)體系是根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律交替螺旋上升編排的,學(xué)生的思維要經(jīng)歷不同階段的延伸、拓展和豐富,由淺入深,最終形成清晰和完整的概念。因此,我們要建立小初銜接的整體理念,主動(dòng)進(jìn)行思維推理。如蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)安排了《用字母表示數(shù)》,其中涉及“平方”的知識(shí),即“a×a可以寫(xiě)成a·a,也可以寫(xiě)成a2,a2讀作a的平方”。在六年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方體和正方體》中涉及“立方”的知識(shí),即“a·a·a也可以寫(xiě)成a3,讀作a的立方,a3表示三個(gè)a相乘”。在七年級(jí)上冊(cè)《有理數(shù)》中,則對(duì)“有理數(shù)的乘方”進(jìn)行了系統(tǒng)的教學(xué),指出:“一個(gè)數(shù)的二次方,也稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的平方;一個(gè)數(shù)的三次方,也稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的立方?!币源藴贤ㄇ昂笾R(shí)間的聯(lián)系,明確“平方”和“立方”的實(shí)質(zhì)都是“求相同因數(shù)的積的運(yùn)算”。

    小學(xué)階段關(guān)于“平方”和“立方”的學(xué)習(xí)主要是讓學(xué)生理解它們的意義、讀法和寫(xiě)法,以及作為計(jì)量單位(如cm3、m2)的表示方式和含義。到了初中,“乘方”則作為一級(jí)運(yùn)算直接參與到有理數(shù)的混合運(yùn)算中。因此,我們?cè)谛W(xué)階段可以滲透以下幾個(gè)方面的教學(xué):

    首先,讓學(xué)生理解a2和a3的意義,a2=a×a,表示2個(gè)a相乘;2a=a+a,表示2個(gè)a相加。對(duì)比兩者在“形”與“意”方面的異同。也可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)b3表示的意義。

    其次,適當(dāng)安排簡(jiǎn)單的乘方運(yùn)算,如32=3×3=9,43=4×4×4=64。在運(yùn)算的時(shí)候,強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生寫(xiě)出過(guò)程,即幾個(gè)幾相乘,以加深對(duì)乘方意義的理解。除了求整數(shù)的乘方外,還可以安排小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算,如0.12=0.1×0.1=0.01,0.23=0.2×0.2×0.2=0.008。需要特別指出的是,求某個(gè)分?jǐn)?shù)的二次方或三次方,在形式上應(yīng)該用小括號(hào)把分?jǐn)?shù)整個(gè)括起來(lái),同時(shí)分子和分母都要參與運(yùn)算。

    第三,滲透含有乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。雖然含有乘方的混合運(yùn)算是七年級(jí)的全新內(nèi)容,但小學(xué)階段其實(shí)也有所涉及。如圓的面積計(jì)算公式S=πr2,圓柱的體積計(jì)算公式v=πr2·h,學(xué)生都知道要先算“半徑的平方”,再依次計(jì)算其他步驟。教師可強(qiáng)調(diào)類(lèi)似含有“平方”的需要優(yōu)先計(jì)算,并安排一些練習(xí)讓學(xué)生計(jì)算和體會(huì),如32-23,82-14,8+22,等等。需要注意的是,含有乘方的混合運(yùn)算,除乘方運(yùn)算本身外,其他以一步為宜。

    最后,在六年級(jí)總復(fù)習(xí)階段,復(fù)習(xí)到“平方”和“立方”的知識(shí)時(shí),也可以進(jìn)行一下適當(dāng)拓展,如:10×10寫(xiě)作102,10×10×10寫(xiě)作103,那10×10×10×10可以寫(xiě)作什么呢?讓學(xué)生通過(guò)找規(guī)律的形式,合情推理,為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊。

    總之,當(dāng)小初過(guò)渡中思維實(shí)現(xiàn)了無(wú)縫銜接,其他諸如教學(xué)方式、知識(shí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面的問(wèn)題也就迎刃而解了。

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