各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子體系的Mott 相變*

保安

(南昌工學(xué)院教育學(xué)院,南昌 330108)

本文用哈伯德模型研究各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子行為,在團(tuán)簇動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論框架內(nèi)將格點(diǎn)模型映射為有效自洽場(chǎng)中的雜質(zhì)模型后用連續(xù)-時(shí)間量子蒙特卡羅算法求解雜質(zhì)模型.基于自洽計(jì)算的結(jié)果,用最大熵方法得到各向異性ruby 晶格中具有相互作用的費(fèi)米子體系的單粒子態(tài)密度和雙占據(jù)數(shù)后討論了溫度(T)、相互作用(U)和各向異性參數(shù)(λ)對(duì)體系的金屬-絕緣相變的影響.最后給出各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子體系的溫度-相互作用相圖,研究結(jié)果表明,低溫和弱相互作用范圍體系處在金屬相,而在高溫和強(qiáng)相互作用下體系內(nèi)出現(xiàn)Mott 絕緣體相.

1 引言

研究和發(fā)現(xiàn)二維強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的拓?fù)浣^緣體、量子霍爾效應(yīng)、量子反?；魻栃?yīng)、玻色-愛(ài)因斯坦凝聚等新奇物相是凝聚態(tài)物理的重要內(nèi)容[1-7].拓?fù)浣^緣體材料Bi14Rh3I9[8]的某一特定平面內(nèi)存在的二維ruby 晶格,由于獨(dú)特的晶格結(jié)構(gòu)而引起研究人員興趣.拓?fù)浣^緣體材料Bi14Rh3I9的晶體結(jié)構(gòu)中有周期性交錯(cuò)堆垛的鉍-銠網(wǎng)格和絕緣層(圖1(a)—(c));由共棱RhBi8立方體覆蓋六角晶格邊所形成的金屬間化合物的某一特定平面構(gòu)成二維ruby 晶格(圖1(d)).

圖1 拓?fù)浣^緣體材料Bi14Rh3I9的晶格結(jié)構(gòu)示意圖 (a)-(c) Bi14Rh3I9 的晶體結(jié)構(gòu)及其構(gòu)成單元,絕緣層的zigzag 鏈分離由共棱RhBi8立方體構(gòu)成的六角網(wǎng)格狀金屬間的 [(Rh4Bi)3I]2+層,六角晶格的邊由共棱RhBi8立方體覆蓋;(d) 二維ruby 晶格與六角晶格結(jié)構(gòu)俯視圖[8]Fig.1.Sketch of crystal structure of topological insulator Bi14Rh3I9:(a)-(c) Triclinic crystal structure of Bi14Rh3I9.Insulating layers of [Bi2I8]2— zigzag chains separate the intermetallic [(RhBi4)3I]2+ layers that consist of hexagonal nets of edge-sharing RhBi8cubes;(d) honeycomb lattice of graphene with the structure of the intermetallic layer [8].

研究人員開展了諸多有關(guān)ruby 晶格的研究工作并得到了豐富的成果.文獻(xiàn)[9,10]介紹了用二維Ising 模型描述ruby 晶格和ruby 晶格上二維冰剩余熵的研究.近期研究人員在考慮自旋-軌道耦合效應(yīng)的情況下用緊束縛模型或哈伯德模型研究二維ruby 晶格后發(fā)現(xiàn)了拓?fù)浣^緣體、分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)和量子自旋液體等更為豐富的結(jié)果[11-14].除此之外,用Kitaev 模型研究二維ruby 晶格后發(fā)現(xiàn)了拓?fù)渥孕后w相等的有趣結(jié)果[15,16].然而,目前為止還沒(méi)有研究工作討論各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子間的在位相互作用和溫度對(duì)該體系量子相變的影響.

本文以半滿的單帶哈伯德模型描述各向異性ruby 晶格中具有在位相互作用的費(fèi)米子行為,結(jié)合團(tuán)簇動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論和連續(xù)-時(shí)間量子蒙特卡羅方法求解雜質(zhì)模型.

2 理論模型與研究方法

2.1 理論模型

二維ruby 晶格是類六角晶格,其結(jié)構(gòu)相當(dāng)于將六角晶格的頂點(diǎn)用三角晶格替換,六角晶格的棱則用平方格子替換,如圖2(a)所示.用哈伯德模型[17-21]描述各向異性ruby 晶格中具有在位相互作用的費(fèi)米子行為的哈密頓量為

圖2 (a) Ruby 晶格結(jié)構(gòu)示意圖;(b) ruby 晶格第一布里淵區(qū);(c) 各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中費(fèi)米子體系T=0.2和U=0時(shí)的態(tài)密度;(d) 各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中費(fèi)米子體系無(wú)相互作用情況下色散關(guān)系Fig.2.(a) Sketch of ruby lattice;(b) first Brillouin zone of ruby lattice;(c) density of states of anisotropic ruby lattice (λ=2.0)for T=0.2,U=0;(d) energy dispersion of anisotropic ruby lattice (λ=2.0) for T=0.2,U=0.

其中,和cjσ分別表示i格點(diǎn)上自旋為σ 的粒子生成算符和j格點(diǎn)上自旋為σ 的費(fèi)米子湮滅算符,niσ是粒子數(shù)算符,σ 是自旋指標(biāo),其值為↑或↓.t1和t2分別代表同一個(gè)六角晶格(HL)內(nèi)最近鄰格點(diǎn)之間的躍遷和緊鄰兩個(gè)六角晶格的最近鄰格點(diǎn)之間的躍遷.〈i,j〉∈HL表示同一個(gè)六角晶格內(nèi)所有最近鄰格點(diǎn),〈i,j〉∈HL→HL表示緊鄰兩個(gè)六角晶格之間所有最近鄰的格點(diǎn).U是在位相互作用,μ是化學(xué)勢(shì).計(jì)算中定義各向異性參數(shù)λ=t1/t2并選定t1=1 來(lái)討論ruby 晶格的各向異性程度對(duì)體系量子相變的影響.

2.2 研究方法

在解析求解描述強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的Ising 模型、Heisenberg 模型、t-J模型和哈伯德模型等理論模型時(shí)遇到了極大的挑戰(zhàn),即便處理簡(jiǎn)單的哈伯德模型和Kondo 晶格模型的時(shí)候也遇到了困難.隨著計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理能力的提高和儲(chǔ)存空間的擴(kuò)大,精確對(duì)角化[22,23]、蒙特卡羅方法[24,25]、Lanczos 方法[26]及重整化群[27,28]等數(shù)值計(jì)算方法被應(yīng)用在強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的研究中并給出了令人滿意的結(jié)果,但以上數(shù)值計(jì)算方法各有其不足之處.相比上述數(shù)值計(jì)算方法,動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論在強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的研究中因給出更加令人滿意的結(jié)果而得到了研究人員的青睞.動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論的建立與發(fā)展為強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系的研究開辟了新的途徑,主要成果有反鐵磁金屬到反鐵磁絕緣體相變的動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論、銅氧化物中反鐵磁和d 波高溫超導(dǎo)的團(tuán)簇動(dòng)力學(xué)理論研究、六角晶格上半滿哈伯德模型Mott 相變、一維擴(kuò)展哈伯德模型量子相變的團(tuán)簇動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論研究等[29-35].

式中,i,j是團(tuán)簇的序號(hào)(此處將所選團(tuán)簇序號(hào)標(biāo)為j=0),μ,υ是每個(gè)團(tuán)簇內(nèi)格點(diǎn)的指標(biāo),Sc包含團(tuán)簇內(nèi)的所有項(xiàng)的作用量,Sb包括所選團(tuán)簇之外所有項(xiàng)的作用量,Sbc則包含連接團(tuán)簇和其所處自洽場(chǎng)的所有項(xiàng)的作用量.做如下兩個(gè)假設(shè):1) 所有超過(guò)團(tuán)簇大小的相互作用不考慮;2) 有效作用量中不考慮四次或更高階的重整化.通過(guò)計(jì)算在j/=0的所有變量上的路徑積分,可以獲得只包含所選團(tuán)簇變量的(團(tuán)簇自由度的)有效作用量:

以方格子為例,進(jìn)一步說(shuō)明動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論將格點(diǎn)模型映射到有效自洽場(chǎng)雜質(zhì)模型的基本思想.對(duì)圖3所示的 2×2 的超級(jí)晶格,其團(tuán)簇自能是4×4的矩陣,K是超級(jí)晶格的簡(jiǎn)約布里淵區(qū),I表示 4×4 的單位矩陣,μ為化學(xué)勢(shì).t(K)是超級(jí)晶格的躍遷矩陣,保留團(tuán)簇內(nèi)部的指標(biāo),其矩陣元為

圖3 方晶格模型映射到有效自洽場(chǎng)雜質(zhì)模型的示意圖 (a) 方晶格;(b) 具有四個(gè)格點(diǎn)的超級(jí)晶格;(c)有效自洽場(chǎng)中團(tuán)簇雜質(zhì)模型的示意圖Fig.3.Sketch of mapping square lattice model to impurity model in self-consistent field:(a) Square lattice;(b) sketch of supper lattice consists of 4 lattice point;(c) sketch of cluster impurity in self-consistent field.

r1和r2是超晶格基矢,i,j為團(tuán)簇內(nèi)部格點(diǎn)的指標(biāo).

將格點(diǎn)模型映射到有效自洽場(chǎng)中雜質(zhì)模型后需要用雜質(zhì)求解器解雜質(zhì)模型.本工作選用的連續(xù)-時(shí)間量子蒙特卡羅算法[37-40]對(duì)具有非局域影響和相互作用依賴時(shí)間的體系是有效的和可行的雜質(zhì)求解器.連續(xù)-時(shí)間量子蒙特卡羅方法在隨機(jī)變量及其分布的計(jì)算中所用到的主要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)包括Metropolis 重要抽樣、大數(shù)定理和中心極限定理.以本論文所涉及的“用半滿的單帶哈伯德模型描述各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子體系的哈密頓量”為例介紹連續(xù)-時(shí)間量子蒙特卡羅算法.

其中H0和H1分別為相互作用繪景中不含時(shí)間的部分和微擾的部分.相互作用U=0 時(shí),ruby晶格的哈伯德模型轉(zhuǎn)變?yōu)榫o束縛模型的哈密頓量,其哈密頓量在動(dòng)量空間中的表達(dá)式則變?yōu)槠渲?/p>

對(duì)作用量級(jí)數(shù)展開后體系的配分函數(shù)形式如下:

其中Tr 是求矩陣跡的符號(hào),Tτ為編時(shí)算符.在不引起誤解的情況下,將(8)式中時(shí)間指標(biāo)、空間指標(biāo)和級(jí)數(shù)展開指標(biāo)可以簡(jiǎn)化為κ ≡{k,i,{τi}},則體系配分函數(shù)可寫為如下形式:

暫且假定(9)式中被積函數(shù)均為正,其中Z0=Tr exp(-βH0).使用維克定理可使配分函數(shù)中的被積函數(shù)簡(jiǎn)化,且任意可觀測(cè)量O的平均值為

因此被積函數(shù)中自旋向上部分的期望值為(以κ=3的隨機(jī)行走為例,如圖4所示):

圖4 κ=3 時(shí)一個(gè)隨機(jī)行走示意圖Fig.4.Sketch of random walk for κ=3.

G0(i,j)為相互作用大小等于0 的情況下體系的格林函數(shù).自旋向下部分的期望值同理可得.

對(duì)于κ階的情況,

自旋向下部分的期望值同理可得.

隨機(jī)行走的過(guò)程中需要考慮減頂點(diǎn)和加頂點(diǎn)兩種情況.Metropolis 重要抽樣算法的細(xì)致平衡條件為:

增加一個(gè)頂點(diǎn)的Metropolis 重要抽樣的接收率為

具體計(jì)算中在0 到1 的區(qū)間取均勻分布的隨機(jī)數(shù),直到隨機(jī)數(shù)小于R方可結(jié)束隨機(jī)行走.減頂點(diǎn)和加頂點(diǎn)概率的計(jì)算中對(duì)行列式比值的計(jì)算非常重要.在已有的κ頂點(diǎn)增加一個(gè)頂點(diǎn)時(shí),快速計(jì)算的方法如下:

從已有的κ+1 個(gè)頂點(diǎn)減去一個(gè)頂點(diǎn)的概率為

結(jié)合團(tuán)簇動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論和連續(xù)-時(shí)間量子蒙特卡羅算法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的流程如下.

1) 利用微擾論給出一個(gè)小的初始團(tuán)簇自由能.

2) 利用雜質(zhì)求解器,如:連續(xù)-時(shí)間量子蒙特卡羅算法進(jìn)行求解,得到團(tuán)簇的格林函數(shù).

3) 對(duì)團(tuán)簇格林函數(shù)做一次傅里葉變換.

4) 利用Dyson 方程

循環(huán)運(yùn)行上述計(jì)算步驟直到前后兩個(gè)自能的差值達(dá)到所要精度求方可結(jié)束自洽計(jì)算,自洽計(jì)算的具體流程可見(jiàn)圖5.

圖5 自洽計(jì)算的流程圖Fig.5.Flow chart of self-consistent calculation.

3 計(jì)算結(jié)果

態(tài)密度(density of state)和雙占據(jù)數(shù)(double occupancy)是二維強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系Mott 轉(zhuǎn)變研究中的兩個(gè)重要參數(shù).本文用連續(xù)-時(shí)間量子蒙特卡羅方法求解自洽場(chǎng)中的雜質(zhì)模型,從虛時(shí)格林函數(shù)G(τ)出發(fā),用最大熵方法[39]計(jì)算得到各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子體系的態(tài)密度

其中i是用團(tuán)簇動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論將格點(diǎn)模型映射到自洽場(chǎng)中雜質(zhì)模型后的團(tuán)簇內(nèi)格點(diǎn)的序號(hào).

首先給出各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中費(fèi)米子體系的固定溫度(T=0.2)情況下對(duì)應(yīng)不同相互作用的態(tài)密度(圖6(a))和固定相互作用(U=8.0)情況下對(duì)應(yīng)不同溫度的態(tài)密度(圖6(b)).之后比較了溫度(T=0.2)和相互作用(U=8.0)都固定的情況下對(duì)應(yīng)不同各向異性參數(shù)λ的態(tài)密度的演化(圖7).

圖6 各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中費(fèi)米子體系的態(tài)密度 (a) T=0.2 時(shí)不同相互作用對(duì)應(yīng)的態(tài)密度;(b) U=8 時(shí)不同溫度對(duì)應(yīng)的態(tài)密度Fig.6.Density of states of anisotropic ruby lattice (λ=2.0)with fermions:(a) Density of states for different interaction at T=0.2 ;(b) density of states for different temperature at U=8.0.

如圖7所示,溫度T=0.2和相互作用U=8.0的情況下,隨著各向異性參數(shù)λ的增大費(fèi)米面兩側(cè)態(tài)密度譜峰逐漸演化到最后在λ≈1 時(shí)費(fèi)米面處出現(xiàn)能隙.λ=2和λ=0.67 時(shí)態(tài)密度的演化形式類似,不出現(xiàn)近藤峰.λ=1 態(tài)密度演化過(guò)程中出現(xiàn)準(zhǔn)粒子峰,即近藤峰,其特征是松原頻率ω=0 處兩側(cè)出現(xiàn)具有類似肩膀的準(zhǔn)粒子峰.由態(tài)密度演化形式可以推測(cè),在λ=2到λ=1 的過(guò)程中,體系中會(huì)出現(xiàn)近藤金屬.各向異性參數(shù)對(duì)態(tài)密度的演化發(fā)現(xiàn)和贗能隙的形成具有顯著的影響.在固定的排斥相互作用能情況下,通過(guò)比較不同各向異性參數(shù)所對(duì)應(yīng)的態(tài)密度發(fā)現(xiàn),松原頻率ω=0 處態(tài)密度隨著各向異性參數(shù)的增大而減小.嚴(yán)格來(lái)說(shuō),在有限溫度下由ω=0 處態(tài)密度的贗能隙決定的相變,實(shí)際上是一個(gè)轉(zhuǎn)變(crossover).

圖7 固定溫度(T=0.2)和固定相互作用(U=8.0)情況下,各向異性參數(shù)對(duì)ruby 晶格中費(fèi)米子體系態(tài)密度的影響Fig.7.Comparison of the effect of anisotropic parameter λ on the density of states of fermions in ruby lattice on for T=2and U=0.

雙占據(jù)數(shù)是用半滿的哈伯德模型描述強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系金屬-絕緣相變的另一個(gè)重要參數(shù).雙占據(jù)數(shù)定義為 Docc=?F/?U=,其中F是自由能,U是相互作用.圖8(a),(b)分別給出不同相互作用情況下各向異性ruby 晶格(λ=2)的雙占據(jù)數(shù)隨溫度的變化和不同溫度情況下各向異性ruby 晶格(λ=2)的雙占據(jù)數(shù)隨相互作用的變化.如圖8(a)所示,隨著溫度的降低,溫度對(duì)于雙占據(jù)數(shù)的影響趨于不明顯.由圖8(b)可知,隨著相互作用的增加體系的雙占據(jù)數(shù)趨于0,意味著費(fèi)米子的局域化程度增強(qiáng).

圖8 各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子體系的雙占據(jù)數(shù) (a) 不同相互作用下體系雙占據(jù)數(shù)隨溫度的變化;(b) 不同溫度下體系雙占據(jù)數(shù)隨相互作用的變化Fig.8.Double occupancy of anisotropic ruby lattice with fermions:(a) Comparison between double occupancy for different temperature with the change of interaction;(b) comparison between double occupancy for different interaction with the change of temperature.

圖9所示為各向異性參數(shù)對(duì)體系雙占據(jù)數(shù)的影響.在固定溫度(T=0.2)和固定相互作用(T=8.0)情況下,ruby 晶格中費(fèi)米子體系的雙占據(jù)數(shù)隨著各向異性參數(shù)的增大趨于0,這一趨勢(shì)說(shuō)明費(fèi)米子局域化加強(qiáng),即體系趨于Mott 絕緣體相,但趨勢(shì)放緩.

圖9 溫度和相互作用固定的情況下,ruby 晶格中費(fèi)米子體系的雙占據(jù)數(shù)隨各向異性參數(shù)的變化Fig.9.Trend of double occupancy with the change of anisotropic parameter for fixed T and U.

最后,基于體系的態(tài)密度和雙占據(jù)數(shù),給出了體現(xiàn)溫度和相互作用對(duì)各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中相互作用費(fèi)米子體系金屬-絕緣相變的影響,即溫度-相互作用相圖.如圖10所示,相圖被二階Mott 相變線劃分為兩個(gè)區(qū)域,即低溫和弱相互作用區(qū)的金屬相、高溫和強(qiáng)相互作用區(qū)域的Mott 絕緣體相.隨著溫度的降低,體系金屬-絕緣相變所對(duì)應(yīng)的相互作用也減小.

圖10 各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子體系的金屬-絕緣相圖Fig.10.Metal-Insulator phase diagram of fermions in anisotropic ruby lattice.

4 結(jié)論

本文中用半滿的哈伯德模型描述各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子.結(jié)合團(tuán)簇動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論和連續(xù)時(shí)間量子蒙特卡羅方法求解雜質(zhì)模型.在自洽計(jì)算的基礎(chǔ)上,通過(guò)進(jìn)一步系統(tǒng)的運(yùn)算后給出體系的單粒子態(tài)密度和雙占據(jù)數(shù).結(jié)合態(tài)密度和雙占據(jù)數(shù)的演變趨勢(shì),最終得到了各向異性ruby 晶格中費(fèi)米子體系的溫度-相互作用相圖.研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)了體系低溫弱相互作用區(qū)的金屬相和高溫強(qiáng)相互作用區(qū)的Mott 絕緣相.