雙樹(shù)復(fù)小波與雙變量閾值模型的圖像去噪

左文濤，陳家益

（1.廣州工商學(xué)院工學(xué)院，廣州 510850；2.廣東醫(yī)科大學(xué)信息工程學(xué)院，廣東湛江 524023）

0 引言

高斯噪聲是圖像中的一種常見(jiàn)噪聲，產(chǎn)生于圖像的拍攝、傳輸與處理中，是一種加性噪聲，相對(duì)于其他噪聲，高斯噪聲的去除難度較大。目前去除高斯噪聲的主要方法有小波閾值去噪法［1］和雙樹(shù)復(fù)小波變換去噪法［2］。因?yàn)槎喾直媛史治龊托盘?hào)局部特征表示的能力，小波變換廣泛應(yīng)用于圖像處理。最初，學(xué)者們提出了小波閾值去噪法［3］，但是缺乏圖像細(xì)節(jié)保持和噪聲分離的能力。于是，文獻(xiàn)［4］將噪聲檢測(cè)引入到小波閾值去噪中，且利用邊緣檢測(cè)對(duì)小波閾值進(jìn)行增強(qiáng)。為了克服小波閾值濾波在去噪性能和計(jì)算速度上的不足，Elaiyaraja等［5］提出了一種去除醫(yī)學(xué)圖像中高斯噪聲的小波閾值優(yōu)化方法。為了進(jìn)一步改進(jìn)小波變換的性能，Wang等［6］提出三維小波的定義，三維小波具有良好的噪聲系數(shù)表示能力。Ozmen等［7］充分利用三維小波，提出了基于體積子頻帶加權(quán)原理的加權(quán)三維小波去噪算法，子帶加權(quán)旨在更好地改善圖像表示能力以及自適應(yīng)地去除圖像中的噪聲。

盡管小波變換是一種優(yōu)秀的圖像處理與分析工具，但是其平移敏感性和缺乏方向選擇性嚴(yán)重制約了性能的發(fā)揮，因此Selesnick等［8］提出了雙樹(shù)復(fù)小波變換（DTCWT）的框架。雙樹(shù)復(fù)小波變換克服了小波變換的缺陷，還具有平移不變性和多方向選擇性，能更有效地表達(dá)圖像的特征。張麗娟［9］提出了雙樹(shù)復(fù)小波變換域的礦區(qū)遙感圖像濾波方法，在復(fù)小波域中結(jié)合多級(jí)中值濾波以去除因成像環(huán)境和成像固件缺陷引入的噪聲。殷明等［10］提出了將雙變量統(tǒng)計(jì)模型引入到雙樹(shù)復(fù)小波變換的實(shí)部和虛部系數(shù)中，將實(shí)部和虛部系數(shù)的聯(lián)合概率模型作為去除高斯噪聲的數(shù)學(xué)模型。Vijayaraghavan等［11］將非抽樣的小波變換與雙樹(shù)復(fù)小波變換結(jié)合，以產(chǎn)生非抽樣的雙樹(shù)復(fù)小波變換，從而提供改進(jìn)的低尺度子帶定位和改進(jìn)的方向選擇性，以更好地去除高斯噪聲。Laavanya 等［12］提出了一種結(jié)合奇異值分解和Frobenius 能量校正因子的雙樹(shù)復(fù)小波變換，并利用二元收縮函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行閾值化處理（SVDBL）。但是Frobenius 能量校正因子缺乏理論基礎(chǔ)，難以適用于不同圖像，魯棒性較差。Hazarathaiah等［13］對(duì)Kingsbury和Selesnick 的DTCWT 濾波器進(jìn)行改進(jìn)，提出了整數(shù)DTCWT濾波器，降低了方法所依賴的硬件復(fù)雜度，同時(shí)具備DTCWT 平移不變性和多方向選擇性等優(yōu)點(diǎn)。但是其不足在于降低了圖像系數(shù)的表示精度，忽略了圖像的細(xì)微特征。

為了充分利用雙樹(shù)復(fù)小波變換的優(yōu)秀特性，有效地保持和恢復(fù)圖像的邊緣和細(xì)節(jié)，本文提出了基于雙樹(shù)復(fù)小波與雙變量閾值去噪模型的圖像去噪方法。用雙樹(shù)復(fù)小波對(duì)圖像進(jìn)行變換，用基于貝葉斯估計(jì)的雙變量閾值去噪模型對(duì)圖像系數(shù)進(jìn)行去噪處理。

1 雙樹(shù)復(fù)小波變換

雙樹(shù)復(fù)小波變換建立于小波理論基礎(chǔ)上。復(fù)數(shù)小波表示為

式中，ψh（t）和jψg（t）分別表示復(fù)小波的實(shí)數(shù)與虛數(shù)部分。

雙樹(shù)復(fù)小波變換是由兩組實(shí)數(shù)小波變換實(shí)現(xiàn)的復(fù)數(shù)小波變換，通過(guò)兩組并行的實(shí)數(shù)小波濾波器組實(shí)現(xiàn)。采用具有相互平行關(guān)系的實(shí)數(shù)小波二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，一棵樹(shù)生成復(fù)小波系數(shù)的實(shí)部；另一棵樹(shù)生成復(fù)小波系數(shù)的虛部。雙樹(shù)復(fù)小波變換的分析濾波器組見(jiàn)圖1。

圖1 雙樹(shù)復(fù)小波變換的分析濾波器組

圖中：h0（n）和h1（n）分別表示共軛正交濾波器對(duì)；g0（n）和g1（n）表示共軛積分濾波器對(duì)；↓2 表示隔點(diǎn)采樣。二維雙樹(shù)復(fù)小波變換通過(guò)一維變換的張量積獲得，它是可分離實(shí)現(xiàn)的變換，先對(duì)每行，再對(duì)每列進(jìn)行一維的雙樹(shù)復(fù)小波變換。對(duì)于可分離的二維小波變換，小波函數(shù)ψ（x，y）表示為

雙樹(shù)復(fù)小波實(shí)部和虛部的方向以及幅值的特征如圖2 所示，其中第1 行為復(fù)小波實(shí)部的方向；第2 行為復(fù)小波虛部的方向；第3 行為復(fù)小波的幅值。雙樹(shù)復(fù)小波變換繼承了小波變換的多分辨率分析等優(yōu)良特性，同時(shí)克服了小波變換的缺陷，具有多方向選擇性（見(jiàn)圖2）和平移不變性（見(jiàn)圖3）等優(yōu)點(diǎn)。

圖2 雙樹(shù)復(fù)小波的方向和幅值

圖3 雙樹(shù)復(fù)小波與小波變換對(duì)階跌信號(hào)的變換

2 貝葉斯估計(jì)的雙變量閾值模型

高斯噪聲為加性噪聲，服從零均值的高斯分布，經(jīng)雙樹(shù)復(fù)小波變換后，在小波域的數(shù)學(xué)模型為

噪聲系數(shù)n服從零均值的高斯分布

為了充分利用小波系數(shù)在尺度間的相關(guān)性，令y1=w1+n1為當(dāng)前尺度的小波系數(shù)；y2=w2+n2為下一尺度的小波系數(shù)，從而有：

式中：Y=（y1，y2），W=（w1，w2），N=（n1，n2）。圖像去噪就是根據(jù)含噪的小波系數(shù)Y得到盡可能準(zhǔn)確的原圖像W的估計(jì)值。根據(jù)式（4），運(yùn)用最大后驗(yàn)概率估計(jì)可得：

從被動(dòng)接受廠商條款到主動(dòng)尋求需方權(quán)益，從斷檔管理到醫(yī)學(xué)裝備的全生命周期管理，從單一醫(yī)療機(jī)構(gòu)實(shí)踐到行業(yè)協(xié)會(huì)共同推行，這是省醫(yī)院以“大型進(jìn)口醫(yī)療設(shè)備維保服務(wù)規(guī)范化招標(biāo)采購(gòu)”案例為突破口，帶動(dòng)整個(gè)地區(qū)醫(yī)療機(jī)構(gòu)現(xiàn)代醫(yī)院管理升級(jí)的典型路徑。

運(yùn)用貝葉斯估計(jì)方法可得：

為了便于計(jì)算，上式等價(jià)于

假設(shè)噪聲n為獨(dú)立同分布，有

W可看作近似服從聯(lián)合拉普拉斯分布

于是，式（7）等價(jià)于

上式的自變量為w1和w2，根據(jù)二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值的方法，上式等價(jià)于求解：

從而原圖像系數(shù)w1的估計(jì)值為

式中：σw為原圖像w的標(biāo)準(zhǔn)差，表達(dá)式為閾值，自適應(yīng)于圖像和噪聲的特征值。根據(jù)Donoho等［14］提出的魯棒中值估計(jì)方法對(duì)σn進(jìn)行估計(jì)

令σy為含噪圖像y的標(biāo)準(zhǔn)差，其可由下式得到：

式中，M×N為圖像的大小。對(duì)于式（3）的加性高斯噪聲模型，有，因此，原圖像w的標(biāo)準(zhǔn)差為

3 實(shí)驗(yàn)分析

以處理器為Intel（R）Core（TM）i9-10900@2.80 GHz，內(nèi)存為32 GB 的計(jì)算機(jī)和Matlab 2019a 為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以文獻(xiàn)［4，7，11，12］中的方法為參照，根據(jù)圖像的視覺(jué)感知、峰值信噪比（PSNR）和邊緣保持指數(shù)（EPI）［15］分析所提出方法的效果。實(shí)驗(yàn)所用的數(shù)據(jù)集為BSD68 和部分醫(yī)學(xué)圖像，其中醫(yī)學(xué)圖像如圖4所示。

圖4 醫(yī)學(xué)圖像

3.1 去噪圖像

對(duì)含噪強(qiáng)度σ=35 的乳腺圖像breast_xray，各算法的去噪處理圖像如圖5 所示，各分圖下的兩個(gè)數(shù)字為對(duì)應(yīng)的PSNR 和EPI 值。與原圖像相比，含噪圖像的前景和背景都充滿噪聲斑點(diǎn)。文獻(xiàn)［4］中的方法明顯地去噪不徹底，從前景的目標(biāo)可以看出來(lái)，噪聲依然存在。從去噪圖像目標(biāo)輪廓以及紋理細(xì)節(jié)可以看出，文獻(xiàn)［7，12］中方法的模糊效果嚴(yán)重。文獻(xiàn)［11］中方法和本文方法的去噪效果較好，徹底去除了噪聲，同時(shí)較好地保持了圖像的邊緣和細(xì)節(jié)。但對(duì)圖5（d）和（f）作進(jìn)一步仔細(xì)的觀察，本文方法好于文獻(xiàn)［11］中的方法，比如乳腺的輪廓，其邊緣線條更加豐富和細(xì)膩。另外，根據(jù)各分圖的PSNR 和EPI 值同樣可以得出與以上一致的結(jié)論。

圖5 乳腺圖像breast_xray的去噪圖像

3.2 去噪的客觀效果

將各算法應(yīng)用于含不同強(qiáng)度噪聲的數(shù)據(jù)集BSD68得到的PSNR 和EPI 曲線如圖6 所示。從PSNR 和EPI曲線的高低和走勢(shì)可以看出，文獻(xiàn)［7，11］中的去噪效果較差，PSNR 和EPI 曲線的走勢(shì)均處于較低位置。在噪聲強(qiáng)度較低時(shí)；文獻(xiàn)［4］中的性能表現(xiàn)還可以接受，但是隨著噪聲強(qiáng)度的提高，其性能驟然走低。由文獻(xiàn)［12］中PSNR 和EPI 曲線可以看出，該方法的去噪效果較好。相對(duì)地，本文方法的性能表現(xiàn)相對(duì)現(xiàn)有方法拉開(kāi)一定的差距，相對(duì)于性能較好的文獻(xiàn)［12］的方法，本文方法的PSNR 高出約6 dB，EPI 高出約10%，特別地，在噪聲強(qiáng)度較高時(shí)，本文方法的邊緣保持能力更加顯著。

圖6 各算法對(duì)數(shù)據(jù)集BSD68去噪的PSNR和EPI

對(duì)醫(yī)學(xué)圖像chest_xray 的去噪結(jié)果如圖7 所示。總體上，文獻(xiàn)［7，4］中方法的性能較差，雖然在噪聲強(qiáng)度較低時(shí)，文獻(xiàn)［4］中方法的PSNR 值較高。文獻(xiàn)［11］中的方法在去噪性能和邊緣保持能力上處于中等水平，但是在噪聲強(qiáng)度較高時(shí)，其邊緣保持能力較差。文獻(xiàn)［12］中方法的PSNR 和EPI 值較高，總體上性能較好。相對(duì)地，本文方法在去噪性能和邊緣保持上均為最優(yōu)，相比性能較好的文獻(xiàn)［12］，本文方法的PSNR高出大約0.9 dB，EPI高出大約3.2%。

圖7 各算法對(duì)醫(yī)學(xué)圖像chest_xray去噪的PSNR和EPI

綜上，從視覺(jué)感知和客觀的圖像質(zhì)量指標(biāo)可以看出，所提出的方法具有更好的去噪性能以及邊緣保持和恢復(fù)的能力。對(duì)于性質(zhì)不同的圖像，其始終取得比現(xiàn)有方法更好的去噪效果，具有良好的魯棒性。

4 結(jié)語(yǔ)

為了進(jìn)一步提升高斯噪聲的去除效果，提出了基于雙樹(shù)復(fù)小波與雙變量閾值模型的去噪方法。為更好地保持圖像的細(xì)節(jié)和紋理，充分利用雙樹(shù)復(fù)小波變換的平移不變性和多方向選擇性，將雙樹(shù)復(fù)小波變換用于圖像的分解。然后根據(jù)對(duì)圖像和噪聲的分布假設(shè)，由貝葉斯估計(jì)推導(dǎo)出基于雙樹(shù)復(fù)小波變換的雙變量閾值去噪模型，以去除噪聲。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了所提出方法的有效性，具有良好的去噪性能以及邊緣保持和恢復(fù)的能力。將方法作進(jìn)一步的改進(jìn)，以適用于混合噪聲，是本文下一步的研究工作。

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——摘自《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》