作業(yè)何為·何以為
——以人教版四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”作業(yè)設(shè)計(jì)為例

文∣陳幼玲 陳六一

人教版將“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這一內(nèi)容安排在小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)的表內(nèi)乘法、多位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)之后；即“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是乘法運(yùn)算學(xué)習(xí)的第四個(gè)階段，也是整數(shù)乘法運(yùn)算學(xué)習(xí)的最后一個(gè)內(nèi)容。其實(shí)三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算方式、方法、程序與兩位數(shù)乘兩位數(shù)相似，本可以連著教學(xué)，但是，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積不會(huì)超過10000，而三位數(shù)乘兩位數(shù)的積通常會(huì)超過10000，這就需要學(xué)生在掌握大數(shù)的認(rèn)識(shí)之后才能進(jìn)行學(xué)習(xí)。三位數(shù)乘兩位數(shù)由于計(jì)算步驟多，容易造成錯(cuò)誤，更需要具有良好的計(jì)算、驗(yàn)算習(xí)慣以及數(shù)感。所以把三位數(shù)乘兩位數(shù)單獨(dú)編成一個(gè)單元，還有著承載延展乘數(shù)末尾有0、中間有0的特殊情況，以及積的變化規(guī)律探索。學(xué)生已經(jīng)在過往的學(xué)習(xí)中解決了大量求路程、總價(jià)之類的實(shí)際問題，需要概括常見的數(shù)量關(guān)系為未來的復(fù)雜問題的解決提供推理的工具。所以，本單元共計(jì)安排了5個(gè)例題和2次練習(xí)，具體如表1所示。

表1 教學(xué)安排表

作為學(xué)習(xí)任務(wù)的作業(yè)，其目標(biāo)需指向數(shù)感與推理能力。[1]為了實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，教師應(yīng)站位單元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)作業(yè)，并幫助學(xué)生，讓其在做作業(yè)的過程中看見自己理解的不斷升級(jí)。本文便基于此視角展開，具體闡述“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的例1的作業(yè)為什么這樣設(shè)計(jì)，這樣設(shè)計(jì)如何實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)。

一、作業(yè)何為

(一)課時(shí)內(nèi)容的邏輯分析

學(xué)生的計(jì)算能力，一方面表現(xiàn)在掌握了算法；另一方面表現(xiàn)為能運(yùn)用已有的計(jì)算知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，探索并解決數(shù)目更大、過程更復(fù)雜的計(jì)算問題。[2]人教版小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)教材的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”內(nèi)容設(shè)計(jì)了例1。

【例1】李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時(shí)，火車1小時(shí)行駛145千米。該城市到北京有多少千米？

教師先引導(dǎo)學(xué)生估算，將145估成150,12估成10，這樣145×12≈150×10。估算鎖定答案的近似值，便于學(xué)生判斷筆算結(jié)果是否過于離譜，也引起了學(xué)生主動(dòng)去求準(zhǔn)確值到底是多少的興趣，這使得筆算成為問題解決的需要。教材并沒有完整呈現(xiàn)筆算過程，而是只給出了145×2的計(jì)算結(jié)果，讓學(xué)生通過遷移兩位數(shù)乘兩位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，寫出145×10的結(jié)果，要一邊計(jì)算145×1，還要想清楚5×1寫在哪個(gè)位置，以求得算法與算理的統(tǒng)一，如圖1所示。

圖1

這樣的編排，使得兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法和三位數(shù)乘兩位數(shù)的算法得以融通，幫助學(xué)生形成更具概括性的認(rèn)知圖譜，不再需要專門的課時(shí)來學(xué)習(xí)四位數(shù)、五位數(shù)乘兩位數(shù)，四位數(shù)、五位數(shù)乘三位數(shù)……不過，教材沒能幫助學(xué)生習(xí)得馬立平教授所說的圖2的“知識(shí)包”。[3]所以課時(shí)作業(yè)要用豐富的情境關(guān)聯(lián)乘法的意義，基于乘法意義的理解講清楚三位數(shù)乘兩位數(shù)如何依賴于一位數(shù)乘法、兩位數(shù)乘法，讓學(xué)生了解如何利用位值制將幾百、幾十中的數(shù)字幾與多位數(shù)相乘，來應(yīng)對(duì)豎式中積所對(duì)應(yīng)的位置。這樣可以為學(xué)生未來學(xué)習(xí)乘法分配律在意義上的理解提供思維經(jīng)驗(yàn)。

圖2

教材在例題之后安排了8道筆算題，并給出了筆算算式中列式的部分，如圖3。顯然，教材力圖讓學(xué)生習(xí)得三位數(shù)乘兩位數(shù)的自動(dòng)化。然而，單調(diào)的重復(fù)并不能幫助學(xué)生真正理解算理，反而會(huì)讓學(xué)生在情感上對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算產(chǎn)生抗拒。所以，作業(yè)除了幫助學(xué)生提升計(jì)算的熟練度外，還要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)其實(shí)是一種文化，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念、筆算的樣式是歷經(jīng)了漫長(zhǎng)的試錯(cuò)、比較達(dá)成的人類共識(shí)，是思考的結(jié)晶。

圖3

(二)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)分析

正如前文分析，學(xué)生并不是帶著一張白紙走進(jìn)三位數(shù)乘兩位數(shù)的課堂，學(xué)生從一年級(jí)開始，就歷經(jīng)10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)與加減計(jì)算、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)與加減計(jì)算、乘法口訣、與整十?dāng)?shù)相乘、兩三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、大數(shù)的認(rèn)識(shí)、一億有多大、數(shù)位、位值制等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，加之家長(zhǎng)的前置輔導(dǎo)，學(xué)生對(duì)課本的基本算法已了然于胸。當(dāng)然，還有一部分學(xué)生正好相反，對(duì)乘法口訣和進(jìn)位加的計(jì)算不熟練，不明白乘幾十其結(jié)果應(yīng)放在十位下方的理由。所以，教師作業(yè)設(shè)計(jì)至少要思考兩點(diǎn)：如何做到保底又不讓學(xué)生厭煩；如何讓學(xué)生沿著能力發(fā)展不斷挑戰(zhàn)智力疆域并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)洞見。

二、作業(yè)何以為

針對(duì)上文分析的教材中例1的不足以及學(xué)生理解的深層需求，筆者改編了教材習(xí)題。

(一)為概念關(guān)聯(lián)而作業(yè)

刪除例1后的四道筆算題，補(bǔ)充樣題1。

【樣題1】

學(xué)校羽毛球集訓(xùn)隊(duì)要新購一批羽毛球拍，教練組到體育用品商店看到以下四款羽毛球拍，第④款羽毛球拍的單價(jià)被墨汁弄臟了。

圖4

(1)王教練買了第① 款羽毛球拍16副，用豎式計(jì)算128×16時(shí)，在這里的“128”表示( )。

A.1副羽毛球拍 128元

B. 10副羽毛球拍128元

C.10副羽毛球拍1280元

D. 16副羽毛球拍1280元

(2)李教練買了第④款羽毛球拍10副，下面線上的哪個(gè)點(diǎn)可以表示他付的錢數(shù)？( )。

圖5

(3)教練組購買了同一款羽毛球拍25副，大約用了5000元，教練組買的羽毛球拍可能是第幾款？( )。

A. ① B. ② C. ③ D. ④

伍鴻熙教授說：“對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)，乘法運(yùn)算法則分為三個(gè)部分,即兩個(gè)一位數(shù)的乘法，任意一個(gè)數(shù)與一個(gè)一位數(shù)的乘法，任意兩個(gè)數(shù)的乘法?！盵4]第一部分是九九乘法表的內(nèi)容，學(xué)生必須熟記在心。這里的學(xué)習(xí)要重點(diǎn)關(guān)注第二、第三部分。[5]以145×12為例來理解，乘法法則的第一部分就是：分別計(jì)算145與兩個(gè)一位數(shù)1和2的乘法，即先用145的每一個(gè)數(shù)字都乘以2,5×2=10，在個(gè)位上寫0，在十位上進(jìn)1；4×2=8，在十位上寫8，加上個(gè)位上進(jìn)的1，十位上最終寫9；1×2=2，在百位上寫2。將同樣的法則應(yīng)用于145×1，可以得到結(jié)果145。為了計(jì)算145×12，我們?cè)賹?45×1和145×2放在一起，這就是乘法法則第二部分的內(nèi)容——任意一個(gè)數(shù)與一個(gè)一位數(shù)相乘。

由此我們可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)第三部分：任意兩個(gè)數(shù)相乘，先完成第一部分，再完成第二部分即可。在實(shí)現(xiàn)第三部分的同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)自然數(shù)的相乘都將變成表內(nèi)乘法，然后再用加法迭代即可。這也幫助學(xué)生不用去識(shí)記“從個(gè)位算起，依次用算式下方數(shù)中的數(shù)字去乘算式上方中的數(shù)……”。學(xué)生可以根據(jù)自己的習(xí)慣和數(shù)感，從任意一位算起，但是無論從哪里算起，都將變成兩個(gè)一位數(shù)的乘法，將結(jié)果寫在豎式中算的是145×1，實(shí)際代表計(jì)算145×10，所以記錄的時(shí)候要移位。樣題1第(1)問就彌補(bǔ)了教材只有標(biāo)準(zhǔn)算法，而不能幫助學(xué)生真正建構(gòu)屬于自己算法的遺憾，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來也可以從高位寫起，即練習(xí)中的128×16，豎式計(jì)算時(shí)也可以先算128×1，積128寫在1的下方；再算128×6，積768寫在6的下方，由此可以得到啟示：乘三位數(shù)、四位數(shù)，既可以從低位算起，也可以從高位算起，甚至無論從哪一位算起都行。例如，128×16其實(shí)質(zhì)都是128×10+128×6，128×123其實(shí)質(zhì)都是128×100+128×20+128×3。計(jì)算就是遵從規(guī)則的游戲，于是不同水平層次的學(xué)生都有了算的念頭，在創(chuàng)造算的過程中，實(shí)現(xiàn)了馬立平教授期待的“知識(shí)包”。

通過購買“羽毛球拍”這個(gè)真實(shí)情境，筆者將素材的價(jià)值與學(xué)生的興趣有效融合。學(xué)生在解決第(2)(3)題的過程中，運(yùn)用了估算、口算、筆算等不同形式計(jì)算，這兩問將運(yùn)算技能與推理等思維能力有機(jī)結(jié)合在一起，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提升學(xué)生運(yùn)算能力和解決問題的興趣。樣題1一境多問，涉及“精確運(yùn)算”與“模糊推斷”，尤其第(2)題在數(shù)軸上找相應(yīng)的數(shù)即數(shù)形結(jié)合，是基于精確數(shù)據(jù)的區(qū)間估計(jì)，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng)。把枯燥抽象的乘法計(jì)算數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，有利于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，讓每個(gè)學(xué)生都能體會(huì)、收獲學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，也為后續(xù)數(shù)量關(guān)系模型的建構(gòu)提供思維與現(xiàn)實(shí)的雙重經(jīng)驗(yàn)。以上作業(yè)的設(shè)計(jì)注重激發(fā)學(xué)生的探究欲望，滿足學(xué)生不同程度的學(xué)習(xí)需求，并且可以找到該算式在生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生走進(jìn)五彩繽紛的生活，使學(xué)生感受到生活中處處皆有數(shù)學(xué)，生活中處處可用數(shù)學(xué)。

(二)為思維拓展而作業(yè)

在教材中例2“乘數(shù)末尾有0、中間有0的乘法”的作業(yè)中，以“你知道嗎”介紹了意大利的格子乘法，并示范了46×75的解題過程，再讓學(xué)生仿照樣題算出357×46。顯然，教材試圖讓學(xué)生在閱讀與解題的過程中了解數(shù)學(xué)文化，擴(kuò)展知識(shí)面，進(jìn)而感悟豎式計(jì)算的便捷性，讓思維啟發(fā)的支架更多元。筆者將“你知道嗎”豐富成樣題2。

【樣題2】

親愛的同學(xué)們，每個(gè)國家的古老文明中都孕育著燦爛的數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)文化，比如我們熟悉的乘法豎式。你知道嗎？現(xiàn)在的這種乘法形式是經(jīng)過千百年的演變才形成的！今天就讓我們一起來欣賞乘法豎式的演變過程吧！

1.翻倍法(以32×13為例)

圖6

2.籌算法(以183×26為例)

圖7

3.印度閃電式算法(以325×478為例)

圖8

4.格子乘法(以934×31為例)

圖9

教師用視頻展示詳細(xì)的乘法豎式演變過程。

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)教育最基本、最重要的目標(biāo)是發(fā)展思維。數(shù)學(xué)作業(yè)的重要價(jià)值是能訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維?！盵6]在樣題2中，學(xué)生通過多元表征的思維工具在不同算法中尋求相同點(diǎn)，同時(shí)將這些算法與教材提供的標(biāo)準(zhǔn)算法相比對(duì)， 學(xué)生深刻理解算法是算理的程序。無論樣式怎樣，背后的思考都是基于未來將要學(xué)習(xí)的乘法分配律。學(xué)生一旦打開了思維窗口，運(yùn)算能力的形成也就成了觀察、記憶、理解、推理、表達(dá)等能力同步發(fā)展的過程。

作業(yè)設(shè)計(jì)就像一把尺子，能夠測(cè)量出學(xué)生知識(shí)掌握的高矮胖瘦，也能清晰地反映出學(xué)生之間素養(yǎng)的高低。應(yīng)在作業(yè)設(shè)計(jì)中引進(jìn)生活元素、滲透數(shù)學(xué)文化，由易到難，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生思維遞進(jìn)，實(shí)現(xiàn)思維的可視化。通過作業(yè)練習(xí)進(jìn)一步加深學(xué)生從整體上把握筆算乘法的內(nèi)涵，理解計(jì)算的本質(zhì)；培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思想思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，讓不同層次的學(xué)生的能力都得到發(fā)展，為今后的教學(xué)提供導(dǎo)向。