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    覺(jué)知邏輯的個(gè)體信念更新

    2021-12-09 00:25:50宋鵬飛熊衛(wèi)
    邏輯學(xué)研究 2021年5期
    關(guān)鍵詞:算子信念命題

    宋鵬飛 熊衛(wèi)

    1 引言

    動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯(Dynamic Epistemic Logic,[8])涉及兩個(gè)主要的信息動(dòng)態(tài)變化:公開(kāi)宣告(Public Announcement)和個(gè)體信念更新(Private Belief Update)。信息的動(dòng)態(tài)變化不僅會(huì)導(dǎo)致知識(shí)和信念的改變,也會(huì)導(dǎo)致覺(jué)知(Awareness)的改變。本文主要討論個(gè)體信念更新1本文中,如果模型滿(mǎn)足定義7,則該模型刻畫(huà)了知識(shí),此時(shí)的信念更新也是知識(shí)更新。及其相應(yīng)的覺(jué)知變化,比如下面的例子:

    例1.小張住在酒店,他知道酒店的餐廳有提供咖啡的服務(wù),但是不確定餐廳今天是否提供咖啡。另外,小張對(duì)于餐廳有提供茶水的服務(wù)沒(méi)有覺(jué)知。這時(shí),小張聽(tīng)到有人說(shuō),今天餐廳不會(huì)同時(shí)提供咖啡和茶水。得知這個(gè)消息之后,小張雖然仍不知道餐廳今天是否提供咖啡和茶水,但是覺(jué)知到了餐廳有提供茶水的服務(wù)這件事。事實(shí)上,今天餐廳既不會(huì)提供咖啡,也不會(huì)提供茶水。令p為“餐廳今天提供咖啡”,q為“餐廳今天提供茶水”。小張的知識(shí)變化如圖1 所示。

    圖1 是兩個(gè)單主體模型。左邊的模型表示小張得到信息之前的認(rèn)知狀態(tài),其中只包含一個(gè)原子命題p,實(shí)心點(diǎn)是p為真的可能世界,空心點(diǎn)是p為假的可能世界,有下劃線(xiàn)的可能世界是當(dāng)前的可能世界,模型中的箭頭表示主體的可通達(dá)關(guān)系,顯然它是等價(jià)關(guān)系;右邊的模型表示小張得到信息之后的認(rèn)知狀態(tài),其中包含兩個(gè)原子命題p和q,每個(gè)可能世界有兩個(gè)點(diǎn),左邊的點(diǎn)表示p的真值,右邊的點(diǎn)表示q的真值,實(shí)心為真,空心為假,與左側(cè)模型一樣,有下劃線(xiàn)的可能世界為當(dāng)前可能世界,箭頭表示主體的可通達(dá)關(guān)系,它也是等價(jià)關(guān)系。

    在模態(tài)邏輯中,不確定性可以通過(guò)命題在不同可能世界中的不同取值來(lái)刻畫(huà)。對(duì)于某一主體在某一可能世界,如果一個(gè)命題在所有可通達(dá)的可能世界為真,則該主體相信(或知道)該命題為真。例1 描述了一個(gè)很簡(jiǎn)單的場(chǎng)景,圖1 的可能世界模型刻畫(huà)了該場(chǎng)景。但是,例1 與通過(guò)模態(tài)邏輯來(lái)刻畫(huà)知識(shí)和信念的經(jīng)典方法有所不同。在模態(tài)邏輯中,我們假設(shè)任一主體都能夠覺(jué)知到所有相關(guān)的原子命題,這一假設(shè)被稱(chēng)為封閉世界假設(shè)(Closed World Assumption,[3]),而例1 中的主體得到信息導(dǎo)致模型增加了新的原子命題,顯然,其不符合這一假設(shè)。因此,研究者嘗試修改和完善克里普克模型,以支持主體對(duì)命題或公式有不同程度的覺(jué)知,以及主體的覺(jué)知發(fā)生變化。與此同時(shí),在相應(yīng)的邏輯語(yǔ)言中,也需要在認(rèn)知邏輯中增加覺(jué)知算子以及導(dǎo)致覺(jué)知發(fā)生變化的動(dòng)態(tài)算子。

    形式刻畫(huà)覺(jué)知的方案主要有兩種:句法進(jìn)路([9-11])和語(yǔ)義進(jìn)路([13,14,21,22])。這兩種方案的差異主要體現(xiàn)在哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)的不同。其中,句法進(jìn)路認(rèn)為,每一個(gè)可能世界都是客觀(guān)的,所有的原子命題在任一可能世界都有取值;而語(yǔ)義進(jìn)路則認(rèn)為,可能世界是主觀(guān)的,是存在于主體的思想中的,因此,那些沒(méi)有被主體覺(jué)知到的原子命題就會(huì)在相應(yīng)的可能世界上沒(méi)有取值。具體而言,句法進(jìn)路在可能世界語(yǔ)義中增加了覺(jué)知函數(shù),使每一個(gè)主體在每一個(gè)可能世界對(duì)應(yīng)一個(gè)公式集;而語(yǔ)義進(jìn)路則是將克里普克語(yǔ)義結(jié)構(gòu)擴(kuò)展為所有主觀(guān)可能世界構(gòu)成的完全格。

    由于上述兩種方案都是在克里普克語(yǔ)義上加以擴(kuò)展,因此,在處理個(gè)體信念更新的問(wèn)題時(shí),都會(huì)產(chǎn)生同樣的問(wèn)題,即,當(dāng)某一主體接收到某一條信息,原本的認(rèn)知模型需要被復(fù)制成兩個(gè)副本,一個(gè)副本用來(lái)刻畫(huà)接收到信息的主體的認(rèn)知狀態(tài),另一個(gè)副本用來(lái)刻畫(huà)未接收到信息的主體的認(rèn)知狀態(tài)。這樣做的結(jié)果是,在一系列個(gè)體信念更新之后,認(rèn)知模型會(huì)發(fā)生幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)。

    由羅里尼(Lorini)提出的信念態(tài)度邏輯(Logic of Doxastic Attitude,[16,17])能夠有效地規(guī)避上述問(wèn)題。信念態(tài)度邏輯是以信念庫(kù)(Belief Base,[12,20,23,24])為基礎(chǔ)的邏輯,而信念庫(kù)則是信念更新的AGM 方案([1])的重要概念。在信念態(tài)度邏輯中,對(duì)于個(gè)體信念更新,只需要改變?cè)搨€(gè)體的信念庫(kù),而其他個(gè)體的信念庫(kù)保持不變。由此,信念態(tài)度邏輯給出了個(gè)體信念更新的一種“節(jié)省的”方案,避免了復(fù)制模型導(dǎo)致的模型復(fù)雜度的幾何級(jí)數(shù)增加。至此,有兩種個(gè)體信念更新方式,即,通過(guò)改變信念庫(kù)而實(shí)現(xiàn)的個(gè)體信念更新和通過(guò)復(fù)制模型而實(shí)現(xiàn)的個(gè)體信念更新,羅里尼([17])證明了這兩種個(gè)體信念更新所產(chǎn)生的模型具有互模擬關(guān)系。但是,羅里尼的理論中并不包含覺(jué)知,因而不能涵蓋前文提到的例子。對(duì)此,羅里尼等人在[18,19]提出了包含覺(jué)知算子的信念態(tài)度邏輯,并形成了與上述兩種方案并列的第三種刻畫(huà)覺(jué)知的方案——信念庫(kù)進(jìn)路(Belief Base Approach)。以此為基礎(chǔ),本文將在包含覺(jué)知算子的情況下證明上述兩種信念更新產(chǎn)生的模型具有互模擬關(guān)系,并給出其成立的條件。另外,雖然[19]列出了該邏輯的個(gè)體信念更新擴(kuò)充的公理,但并未證明這一擴(kuò)充的可靠性和完全性。對(duì)此,本文將使用句法翻譯的方法([8])證明該擴(kuò)充相對(duì)于多主體信念庫(kù)語(yǔ)義的可靠性和完全性。

    本文的各部分內(nèi)容安排:第2 節(jié)到第4 節(jié)是對(duì)[18]的回顧,在第2 節(jié),我們定義了包含覺(jué)知的信念態(tài)度邏輯的邏輯語(yǔ)言;第3 節(jié)給出信念庫(kù)語(yǔ)義模型的定義,進(jìn)而規(guī)定不同的模型類(lèi);第4 節(jié)介紹了靜態(tài)信念態(tài)度邏輯的公理系統(tǒng)以及該系統(tǒng)中不同的公理集合對(duì)于相應(yīng)模型類(lèi)的可靠性和完全性定理;從第5 節(jié)開(kāi)始是本文的核心內(nèi)容,在介紹了該邏輯在增加個(gè)體更新動(dòng)態(tài)算子之后的擴(kuò)充后([19]),我們用句法翻譯的方法證明了該擴(kuò)充對(duì)于信念庫(kù)語(yǔ)義模型的可靠性和完全性;第6節(jié)將信念態(tài)度邏輯的個(gè)體信念更新與命題覺(jué)知邏輯的個(gè)體信念更新作比較,展現(xiàn)了前者在保持模型簡(jiǎn)潔性方面的優(yōu)勢(shì),最后我們證明了這兩種動(dòng)態(tài)過(guò)程產(chǎn)生的模型具有互模擬關(guān)系;第7 節(jié)得出文章的結(jié)論并介紹后續(xù)工作。

    2 邏輯語(yǔ)言

    在這一節(jié),我們回顧了包含覺(jué)知的信念態(tài)度邏輯LDAA(Logic of Doxastic Attitudes with Awareness,[18])的語(yǔ)言。令A(yù)tm{p,q,...}是可數(shù)無(wú)限的原子命題集,令A(yù)gt{1,...,n}是有限的主體集。LDAA 的語(yǔ)言由下面兩層定義給出。首先是L0(Atm,Agt):

    其中p ∈Atm,i ∈Agt。LLDAA(Atm,Agt)是在L0(Atm,Agt)的基礎(chǔ)上增加隱信念算子得到的語(yǔ)言:

    其中,α ∈L0(Atm,Agt),i ∈Agt。

    當(dāng)前后文明確時(shí),可以將L0(Atm,Agt)簡(jiǎn)寫(xiě)為L(zhǎng)0,將LLDAA(Atm,Agt)簡(jiǎn)寫(xiě)為L(zhǎng)LDAA。其他布爾連接詞∨,→,?,?,⊥則是由?和∧通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的方式定義。公式△iα讀作“主體i顯相信α為真”,公式○iα讀作“主體i覺(jué)知到α”。算子△i可以被疊加,這說(shuō)明LLDAA可以表達(dá)高階信念,例如△i△jα,讀作“主體i顯相信主體j顯相信α為真”。疊加可能是顯信念算子和覺(jué)知算子的混合,例如△i ○jα,讀作“主體i顯相信主體j覺(jué)知到α”。

    公式□iφ讀作“主體i隱相信φ為真”。它的對(duì)偶?i定義為:

    ?iφ讀作“φ與主體i的顯信念有一致性”。

    值得注意的是,模態(tài)詞○i在邏輯語(yǔ)言的兩層定義中都有出現(xiàn),而模態(tài)詞△i只出現(xiàn)在第一層。因此,覺(jué)知算子可以出現(xiàn)在顯信念算子的轄域中,而隱信念算子不能出現(xiàn)在顯信念算子的轄域中2這里對(duì)句法做出限制的原因是,在下一節(jié)的語(yǔ)義定義中,主體的信念可通達(dá)關(guān)系是由該主體的顯信念計(jì)算出的,也就是說(shuō),隱信念是通過(guò)顯信念來(lái)定義的。因此,如果隱信念算子出現(xiàn)在顯信念算子的轄域中,將會(huì)產(chǎn)生循環(huán)定義的問(wèn)題。規(guī)避這一問(wèn)題方式是用“固定點(diǎn)”的方式來(lái)定義隱信念,而這會(huì)顯著增加語(yǔ)義的復(fù)雜性。。另外,顯信念算子和隱信念算子都能出現(xiàn)在覺(jué)知算子的轄域中。這是因?yàn)?,本文研究的覺(jué)知是命題覺(jué)知,即關(guān)于原子命題的覺(jué)知,其含義是,主體覺(jué)知到某一公式等價(jià)于覺(jué)知到構(gòu)成該公式的所有原子命題。令A(yù)tm(φ)表示出現(xiàn)在公式φ中的原子命題的集合,其遞歸定義如下:

    令Γ?LLDAA是有限的公式集,定義Atm(Γ)∪

    φ∈ΓAtm(φ)。

    3 形式語(yǔ)義

    這一部分回顧了包含覺(jué)知的信念庫(kù)語(yǔ)義。([18])不同于克里普克語(yǔ)義的是,信念庫(kù)語(yǔ)義中的可通達(dá)關(guān)系不是模型的初始條件,而是從信念庫(kù)中計(jì)算得出的。這里首先給出“狀態(tài)”的定義,它類(lèi)似于克里普克語(yǔ)義中的可能世界。

    定義1.一個(gè)狀態(tài)是一個(gè)多元組S(B1,...,Bn,A1,...,An,V),其中,

    ?Bi ?L0是主體i的信念庫(kù),其中,i ∈Agt,

    ?AiAtm(Bi)是主體i的覺(jué)知集合,其中,i ∈Agt,

    ?V ?Atm是該狀態(tài)中那些為真的原子命題集。

    S 是所有狀態(tài)的集合。下面的定義給出L0公式的語(yǔ)義解釋。

    定義2.對(duì)任意S(B1,...,Bn,A1,...,An,V)∈S:

    定義3.包含覺(jué)知的多主體信念庫(kù)語(yǔ)義模型MABA(Multi-agent Belief Model with Awareness)是一個(gè)二元組(S,Cxt),其中,S ∈S,Cxt ?S。

    Cxt是所有主體的語(yǔ)境或共同背景(Common Ground,[25]),指的是所有主體共同分享的信息。從這些信息和各自的顯信念中,主體能夠做出推理。下面的定義規(guī)定了主體的信念可通達(dá)關(guān)系是由信念庫(kù)計(jì)算出的。

    定義4.對(duì)任意i ∈Agt,Ri是S 上的二元關(guān)系,其定義為:對(duì)任意S(B1,...,Bn,A1,...,An,V),S′

    在定義了可通達(dá)關(guān)系的基礎(chǔ)上,可以給出LLDAA公式的語(yǔ)義解釋。其中,布爾公式與標(biāo)準(zhǔn)的定義保持一致,此處省略。

    定義5.令(S,Cxt)是MABA,其中,S(B1,...,Bn,A1,...,An,V)。有如下等價(jià)關(guān)系:

    下面兩個(gè)定義給出了MABA 的屬性,它們分別對(duì)應(yīng)克里普克模型的自返性和持續(xù)性。

    定義6.MABA(S,Cxt)滿(mǎn)足全局可持續(xù)性GC(Global Consistency)當(dāng)且僅當(dāng),對(duì)于所有i ∈Agt和所有S′ ∈({S}∪Cxt),存在S′′ ∈Cxt滿(mǎn)足(S′,S′′)∈Ri。

    定義7.MABA(S,Cxt)滿(mǎn)足信念正確BC(Belief Correctness)當(dāng)且僅當(dāng)S ∈Cxt且對(duì)于所有i ∈Agt和所有S′ ∈Cxt,(S′,S′)∈Ri。

    對(duì)于X?{GC,BC},MABAX是滿(mǎn)足X 中的所有條件的MABA 模型類(lèi)。MABA?是所有MABA 模型構(gòu)成的模型類(lèi),簡(jiǎn)記為MABA。很容易證明MABA{BC}MABA{GC,BC}。

    令φ ∈LLDAA,φ對(duì)于MABAX模型類(lèi)有效,當(dāng)且僅當(dāng),對(duì)所有(S,Cxt)∈MABAX,(S,Cxt)|φ,簡(jiǎn)記為φ。φ對(duì)于MABAX模型類(lèi)可滿(mǎn)足,當(dāng)且僅當(dāng),?φ對(duì)于MABAX模型類(lèi)不是有效的。

    4 公理化

    這一部分首先給出LDAA 邏輯對(duì)于不同模型類(lèi)的公理集,然后介紹它們關(guān)于相應(yīng)模型類(lèi)的可靠性和完全性定理及證明思路。

    基本的LDAA 邏輯是在經(jīng)典命題邏輯的基礎(chǔ)上增加以下公理和推理規(guī)則的擴(kuò)充([18]):

    對(duì)于X?令LDAAX是LDAA 邏輯增加下述公理的擴(kuò)充:

    對(duì)于邏輯LDAAX,X?,其中任意公式φ ∈LLDAA,用φ來(lái)表示φ是LDAAX的定理。對(duì)于LLDAA的公式集Γ,如果不存在公式φ1,...,φm ∈Γ滿(mǎn)足(φ1∧...∧φm)→⊥,則Γ 與LDAAX一致。特別地,φ與LDAAX一致當(dāng)且僅當(dāng){φ}與LDAAX一致。

    接下來(lái)將介紹可靠性和完全性定理,由于其證明過(guò)程較長(zhǎng),這里只闡述[18]的證明思路??煽啃缘淖C明比較簡(jiǎn)單,只需要驗(yàn)證每一個(gè)公理對(duì)于相應(yīng)的模型類(lèi)有效,每一個(gè)推理規(guī)則都能保持公式的有效性。對(duì)于完全性的證明,需要定義典范模型,而典范模型的定義需要克里普克語(yǔ)義結(jié)構(gòu),因此,需要給出LDAA 的兩種類(lèi)似克里普克結(jié)構(gòu)的語(yǔ)義模型,它們被稱(chēng)為概念語(yǔ)義和準(zhǔn)概念語(yǔ)義,在這兩種語(yǔ)義中,可通達(dá)關(guān)系是模型的初始條件,然后只需證明信念庫(kù)語(yǔ)義與這兩種語(yǔ)義具有等價(jià)性。接下來(lái)只需要用典范模型的方法證明LDAAX對(duì)于具有相應(yīng)性質(zhì)的準(zhǔn)概念模型具有完全性,即可得出完全性定理。

    定理1.令X?。LDAAX對(duì)于模型類(lèi)是可靠和完全的。([18])

    證明.過(guò)程參見(jiàn)[18]的第三節(jié)和第四節(jié)。

    5 LDAA 的個(gè)體信念更新

    這一部分首先給出LDAA 在增加個(gè)體信念更新算子之后的擴(kuò)充。([19])具體來(lái)說(shuō),在LLDAA(Atm,Agt)的基礎(chǔ)上增加算子[+iα],可以得到語(yǔ)言L(fǎng)LDAA-PBE(Atm,Agt):

    其中,i ∈Agt,α ∈L0,LDAA-PBE 讀作“包含覺(jué)知與個(gè)體信念擴(kuò)張的信念態(tài)度邏輯”,PBE 是Private Belief Expansion 的簡(jiǎn)寫(xiě)。

    與第2 節(jié)類(lèi)似,LLDAA-PBE(Atm,Agt)可被記作LLDAA-PBE。公式[+iα]φ讀作“主體i的信念庫(kù)增加α后,φ為真”。在定義5 的基礎(chǔ)上增加如下可滿(mǎn)足關(guān)系的定義,動(dòng)態(tài)算子[+iα]可在MABA 中得到解釋。

    定義8.令(S,Cxt)是MABA,其中S(B1,...,Bn,A1,...,An,V)。有如下等價(jià)關(guān)系:

    事件+iα只包含主體i得到信息α并將α增加到其信念庫(kù)中,而其他主體的信念庫(kù)保持不變。因?yàn)橛X(jué)知集合是由信念庫(kù)計(jì)算得出的,所以,在這一過(guò)程中,主體i的覺(jué)知集合間接地受到影響。

    另外,個(gè)體信念更新不能保持模型的信念正確BC 或全局可持續(xù)性GC,因此,對(duì)個(gè)體信念更新的討論是相對(duì)于所有MABA 構(gòu)成的模型類(lèi)MABA。

    邏輯LDAA-PBE 在LDAA 的基礎(chǔ)上增加如下公理和推理規(guī)則的擴(kuò)充3注意到,LDAA-PBE 中并不包含個(gè)體更新算子疊加的公理,即對(duì)應(yīng)定義9 第13 項(xiàng)的公理。其原因是,證明LDAA-PBE 的完全性并不是直接通過(guò)LDAA-PBE 的公理,而是利用定義9 的歸約函數(shù)將所有LDAA-PBE 公式轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)DAA 公式。LDAA-PBE 新增加的六條公理已經(jīng)能夠確保該歸約函數(shù)可以將所有的LDAA-PBE 轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)DAA公式。:

    任意公式φ ∈LLDAA-PBE,用?LDAA-PBEφ來(lái)表示φ是LDAA-PBE 的定理。根據(jù)上述公理,可以給出歸約函數(shù)redLDAA-PBE的遞歸定義,該函數(shù)將LLDAA-PBE的公式可以轉(zhuǎn)化為等價(jià)的LLDAA公式。

    定義9.函數(shù)redLDAA-PBE遞歸定義如下:

    覺(jué)知的歸約公式的意思是:通過(guò)將α增加到信念庫(kù)中,主體i將出現(xiàn)在α的原子命題增加到他的覺(jué)知集合中;隱信念的歸約公式的意思是,主體i在信念庫(kù)中增加α后能夠推出φ,當(dāng)且僅當(dāng),在信念更新之前,主體i就能夠推出α蘊(yùn)涵φ;顯信念的歸約公式的意思是,主體i的信念庫(kù)增加α,其他主體的信念庫(kù)保持不變。

    接下來(lái),我們對(duì)[19]的內(nèi)容做補(bǔ)充,證明LDAA-PBE 相對(duì)于MABA 的可靠性和完全性。在證明可靠性和完全性之前,需要首先說(shuō)明上述歸約函數(shù)redLDAA-PBE給出的等價(jià)式是LDAA-PBE 的定理,即,對(duì)于所有的φ ∈LLDAA-PBE,有?φ ?redLDAA-PBE(φ)。這里存在一個(gè)問(wèn)題,在做歸納證明時(shí),通常需要將歸納假設(shè)應(yīng)用在某一公式的所有子公式上,但是,對(duì)于包含個(gè)體信念更新算子的公式,這一方法是不夠的。例如,?[+iα]ψ并不是[+iα]?ψ的子公式。因此,需要定義如下的公式復(fù)雜度函數(shù),然后針對(duì)公式復(fù)雜度來(lái)提出歸納假設(shè)。

    定義10.公式復(fù)雜度函數(shù)c:LLDAA-PBE→N 的定義如下:

    公式復(fù)雜度函數(shù)c最后一項(xiàng)的參數(shù)2 并不是任意的,它是保證下面的不等式成立的最小自然數(shù)。

    引理1.對(duì)于所有α,β ∈L0,以及所有φ,ψ,ψ1,ψ2∈LLDAA-PBE,

    證明.只需要逐項(xiàng)驗(yàn)證這些不等式成立即可。

    上述不等式說(shuō)明被歸約前的公式的復(fù)雜度大于歸約得到的公式的復(fù)雜度4需要注意的是,引理1 省略了歸約函數(shù)redLDAA-PBE 中那些不等關(guān)系顯然成立的部分。。有了這一結(jié)果,我們可以對(duì)公式復(fù)雜度做數(shù)學(xué)歸納來(lái)證明下面的命題。

    命題1.令φ ∈LLDAA-PBE。可以得到:

    證明.對(duì)c(φ)做歸納:

    當(dāng)φ是原子命題p時(shí),?LDAA-PBEp ?p顯然成立。

    假設(shè)對(duì)于所有c(φ)≤n的φ,有?LDAA-PBEφ ?redLDAA-PBE(φ),其中,n ∈N。

    當(dāng)φ的形式如?ψ、ψ1∧ψ2、△iα、□iψ、○iψ時(shí),結(jié)論可從歸納假設(shè)和引理1 的第一項(xiàng)得證。

    當(dāng)φ是[+iα]p時(shí),結(jié)論可從公理AI、歸納假設(shè)、定義10 得證。

    當(dāng)φ是[+iα]?φ時(shí),結(jié)論可從公理PE&N、歸納假設(shè)、引理1 的第2 項(xiàng)得證。

    當(dāng)φ是[+iα](φ1∧φ2)時(shí),結(jié)論可從公理PE&C、歸納假設(shè)、引理1 的第3項(xiàng)得證。

    當(dāng)φ是[+iα]□jφ時(shí),其中ij,結(jié)論可從公理PE&IB、歸納假設(shè)、引理1 的第4 項(xiàng)得證。

    當(dāng)φ是[+iα]□iφ時(shí),結(jié)論可從公理PE&IB、歸納假設(shè)、定義10 得證。

    當(dāng)φ是[+iα]△jβ時(shí),結(jié)論可從公理PE&EB、歸納假設(shè)、定義10 得證。

    當(dāng)φ是[+iα]○jφ時(shí),其中,ij或Atm(φ)?Atm,結(jié)論可從公理PE&A、歸納假設(shè)、定義10 得證。

    當(dāng)φ是[+iα]○jφ且并非是前一種情況時(shí),結(jié)論可從公理PE&A、歸納假設(shè)、引理1 的第5 項(xiàng)得證。

    當(dāng)φ是[+iα][+jβ]φ時(shí),由redLDAA-PBE的定義,可轉(zhuǎn)化為上述情況。

    下面的命題說(shuō)明歸約函數(shù)redLDAA-PBE確實(shí)可以將LLDAA-PBE公式轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)LDAA公式。

    命題2.令φ ∈LLDAA-PBE。則,redLDAA-PBE(φ)∈LLDAA。

    證明.對(duì)c(φ)做歸納即可給出證明,此處省略具體步驟。

    根據(jù)上述結(jié)果,我們可以證明LDAA-PBE 的可靠性和完全性定理。

    定理2.LDAA-PBE 對(duì)于模型類(lèi)MABA 是可靠和完全的。證明.對(duì)于可靠性,只需要驗(yàn)證每一個(gè)公理都是有效的,每一個(gè)推理規(guī)則都能在模型類(lèi)MABA 保持有效性。因?yàn)長(zhǎng)DAA 對(duì)于MABA 是可靠的,只需要驗(yàn)證新增的公理和推理規(guī)則,而其中大多數(shù)都是顯然的,這里只證明公理PE&A 是有效的。當(dāng)ij時(shí),根據(jù)語(yǔ)義,[+iα]○jφ ?○jφ顯然成立。當(dāng)Atm(φ)?Atm(α)時(shí),根據(jù)語(yǔ)義,△iα →○iφ是重言式。由此可得,[+iα](△iα →○iφ)是重言式。由前面的等價(jià)式可知,后者等價(jià)于[+iα]△iα →[+iα]○iφ。因?yàn)閇+iα]△iα ??,可以得到[+iα]○i φ ??。對(duì)于其他情況,由○iφ ?∧p∈Atm(φ)Atm(α)○ip ∧∧p∈Atm(φ)∩Atm(α)○ip可以得到[+iα]○iφ ?[+iα]∧p∈Atm(φ)Atm(α)○ip ∧[+iα]∧p∈Atm(φ)∩Atm(α)○ip。根據(jù)前一種情況,很容易得出[+iα]∧p∈Atm(φ)∩Atm(α)○ip ??。因此,有[+iα]○iφ ?[+iα]∧p∈Atm(φ)Atm(α)○ip。因?yàn)閜∈Atm(α),對(duì)p的覺(jué)知不受[+iα]事件的影響,可以得出,[+iα]○iφ ?∧p∈Atm(φ)Atm(α)○ip。對(duì)于完全性,令|MABAφ。根據(jù)LDAA-PBE 的可靠性以及?LDAA-PBEφ ?redLDAA-PBE(φ),可得|MABAredLDAA-PBE(φ)。因?yàn)閞edLDAA-PBE(φ)不包含任何動(dòng)態(tài)算子,所以,由LDAA 的完全性可得,?LDAAredLDAA-PBE(φ)。由于LDAA 是LDAA-PBE的子系統(tǒng),可以得到?LDAA-PBEredLDAA-PBE(φ)。根據(jù)命題1,有?LDAA-PBEφ。

    6 LDAA-PBE 與命題覺(jué)知邏輯的個(gè)體信念更新

    在這一部分,我們將針對(duì)個(gè)體信念更新的問(wèn)題比較LDAA-PBE 與命題覺(jué)知邏輯LPA(Logic of Propositional Awareness),后者首先出現(xiàn)在[10],是一般覺(jué)知邏輯LGA(Logic of General Awareness,[9])的特殊情況。

    LPA 的語(yǔ)言L(fǎng)LPA(Atm,Agt)由下面的語(yǔ)法給出:

    其中,p ∈Atm,i ∈Agt。公式Biφ讀作“主體i隱相信φ為真”,公式Aiφ讀作“主體i覺(jué)知到φ”,公式Xiφ讀作“主體i顯相信φ為真”。與前文一致,其他布爾連接詞∨,→,?,?,⊥由?和∧通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的方式定義,LLPA(Atm,Agt)簡(jiǎn)寫(xiě)為L(zhǎng)LPA。在語(yǔ)義層面,只需要將LGA 的語(yǔ)義模型的覺(jué)知函數(shù)的取值設(shè)定為原子命題集的冪集,就可以得到LPA 的語(yǔ)義模型。

    定義11.命題覺(jué)知模型PAM(Propositional Awareness Model)是一個(gè)四元組M(Ω,?,ρ,π),其中,

    ? Ω 是非空的可能世界集,

    ??:Agt×Ω?→2Ω是信念可通達(dá)函數(shù),

    ?ρ:Agt×Ω?→2Atm是命題覺(jué)知函數(shù),

    ?π:Atm ?→2Ω是賦值函數(shù)。

    PAM 是所有PAM 構(gòu)成的集合。對(duì)于PAMM(Ω,?,ρ,π)及s ∈Ω,二元組(M,s)被稱(chēng)為PAM 的點(diǎn)模型。t ∈?(i,s)可記作s ?i t。下面給出LLPA的公式相對(duì)于PAM 的點(diǎn)模型的語(yǔ)義解釋。

    定義12.給定PAMM(Ω,?,ρ,π)及可能世界s ∈Ω,對(duì)于LLPA的公式,有如下等價(jià)關(guān)系:

    對(duì)比LPA 和LDAA 的定義,可以看出這兩種邏輯是基于不同的哲學(xué)出發(fā)點(diǎn)。在LPA 的語(yǔ)義中,主體的信念可通達(dá)關(guān)系和覺(jué)知集合都是模型的初始條件,而主體的顯信念是由這兩個(gè)條件計(jì)算得出的;而在LDAA 的語(yǔ)義中,模型唯一的初始條件是主體的顯信念,而隱信念和覺(jué)知都是由顯信念計(jì)算得出的。由此可見(jiàn),LDAA減少了理論的前提假設(shè),更符合奧卡姆剃刀的原則。另外,這兩種邏輯刻畫(huà)了不同意義的顯信念概念。在下面給出的翻譯函數(shù)中也能看出這種差異,LPA 的顯信念并沒(méi)有直接對(duì)應(yīng)LDAA 的顯信念,而是對(duì)應(yīng)LDAA 的隱信念和覺(jué)知的合取。實(shí)際上,LDAA 的顯信念表示當(dāng)前活躍在主體認(rèn)知中的信念,即工作記憶中的信念(主體的信念庫(kù)即該主體的工作記憶);而LPA 的顯信念表示,在主體覺(jué)知到的原子命題構(gòu)成的信念中,該主體相信為真的那些信念,這樣的信念并不一定處在工作記憶中,但是能被主體所理解。值得重視的是,[18]建立了由LPA 到LDAA 的多項(xiàng)式嵌入,這說(shuō)明后者以更少的前提假設(shè)提供了更強(qiáng)的表達(dá)力。

    接下來(lái),為了證明互模擬定理,需要定義LLPA和LLDAA之間的翻譯函數(shù):

    需要注意的是tr←并不是tr的反函數(shù),因?yàn)樾枰趖r←中給出△i算子的翻譯,而tr不會(huì)涉及到△i算子。實(shí)際上,tr←是一個(gè)偏函數(shù),其自變量如果是顯信念的否定式,它的函數(shù)值為空。這樣做的原因是,如果將LDAA 的顯信念的否定直接翻譯成LPA 的顯信念否定,有可能會(huì)產(chǎn)生矛盾。根據(jù)[17],LDAA 的顯信念表示主體的工作記憶,所以有可能α不在主體i的工作記憶中,但□iα ∧○iα為真。

    以PAM 為基礎(chǔ),范·迪特瑪希(van Ditmarsch)等人刻畫(huà)了信念和命題覺(jué)知的動(dòng)態(tài)變化([3-5,7]),其中,個(gè)體層面的動(dòng)態(tài)在[5]得到研究,其方法是使用行動(dòng)模型([2,15])。它存在的問(wèn)題是,在一系列個(gè)體信念更新的操作之后,通過(guò)與行動(dòng)模型做乘積計(jì)算得出的PAM 會(huì)呈現(xiàn)幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。為解決這一問(wèn)題,在羅里尼提出的信念態(tài)度邏輯中([17]),初始的信念庫(kù)模型經(jīng)過(guò)一系列個(gè)體信念更新之后,其數(shù)量級(jí)只會(huì)發(fā)生相對(duì)于信念更新次數(shù)的線(xiàn)性增長(zhǎng)。然而,羅里尼只給出了以信念庫(kù)語(yǔ)義模型為基礎(chǔ)的個(gè)體信念更新過(guò)程,且不包含覺(jué)知。為應(yīng)對(duì)這一問(wèn)題,接下來(lái),我們將以PAM 作為初始模型得出互模擬的結(jié)論,其中同時(shí)包含覺(jué)知的變化。

    [18]的第3 節(jié)給出了LDAA 的三種語(yǔ)義對(duì)于一個(gè)有限公式集成立,而將PAM轉(zhuǎn)換為MABA 也需要利用這個(gè)語(yǔ)義等價(jià)性的結(jié)論,因此,這里我們也只考慮LLDAA的有限公式集。

    信念庫(kù)模型的個(gè)體信念更新

    令M(Ω,?,ρ,π)是PAM(Ω 有可能是無(wú)限集),Σ?LLPA是對(duì)子公式封閉的公式集,tr(Σ){tr(φ):φ ∈Σ}。為了證明的方便,令Σ′Σ∪{Aip:p ∈Σ,i ∈Agt}。很顯然,tr(Σ′)?LLDAA是一個(gè)有限集,且對(duì)子公式封閉。

    根據(jù)[18] 的定理3 和第3 節(jié)的語(yǔ)義等價(jià)性證明,可以找到一個(gè)有限集Cxt和一個(gè)滿(mǎn)射σ:Ω→Cxt滿(mǎn)足,對(duì)每一個(gè)s ∈Ω,如果σ(s)S,其中S(B1,...,Bn,A1,...,An,V),那么,

    ? 對(duì)每一個(gè)p ∈Σ′:tr(p)∈V當(dāng)且僅當(dāng)s ∈π(p),

    ? 對(duì)每一個(gè)Bi和每一個(gè)p ∈Σ′:tr(p)∈Atm(Bi)當(dāng)且僅當(dāng)p ∈ρ(i,s)∩Σ′5這一項(xiàng)解釋了為什么我們令Σ′包括{Aip : p ∈Σ,i ∈Agt}。如果不這樣做,對(duì)模型的過(guò)濾就不能保證主體i 在某一信念庫(kù)的覺(jué)知集合與Σ 和主體i 在PAM 的相應(yīng)可能世界的覺(jué)知集合的交集相等。為了證明互模擬關(guān)系,需要保證覺(jué)知集合在Σ 的限定內(nèi)是不變的。,

    ? 對(duì)每一個(gè)Ai:AiAtm(Bi),

    ? 對(duì)每一個(gè)t ∈Ω:如果s ?i t,那么(S,σ(t))∈Ri,

    ? 對(duì)每一個(gè)S′ ∈Cxt:如果(S,S′)∈Ri,那么存在t ∈?(i,s)滿(mǎn)足S′σ(t)。

    很容易驗(yàn)證,對(duì)于每一個(gè)S ∈Cxt,(S,Cxt)是MABA,對(duì)每一個(gè)φ ∈Σ′和每一個(gè)s ∈Ω,(M,s)當(dāng)且僅當(dāng)(σ(s),Cxt)(φ)。

    接下來(lái)對(duì)(S,Cxt)應(yīng)用個(gè)體信念更新。假設(shè)主體i的信念庫(kù)增加了α,其中,α ∈L0(Atm(tr(Σ′),Agt),tr←(△iα)∈Σ′。然后,根據(jù)定義8,可以得到(S+iα,Cxt)。

    為了證明互模擬關(guān)系,需要將(S+iα,Cxt)翻譯回PAMM′(Ω′,?′,ρ′,π′):

    ? 對(duì)每一個(gè)i ∈Agt和每一個(gè)sS′ ∈Ω′:

    ? 對(duì)每一個(gè)i ∈Agt和每一個(gè)sS′ ∈Ω′:ρ′(i,sS′)A′,

    ? 對(duì)每一個(gè)p ∈Atm(Σ′):π′(p){sS′ ∈Ω′:p ∈V ′}。

    PAM 的個(gè)體信念更新

    與前一部分相類(lèi)似,我們用過(guò)濾的方法將M(Ω,?,ρ,π) 轉(zhuǎn)換成有限的PAMMΣ′(ΩΣ′,?Σ′,ρΣ′,πΣ′)。由庫(kù)伊和雷恩(Kooi&Renne,[15])提出的箭頭更新模型(Arrow Update Model),這里定義該模型相對(duì)于PAM 的形式。

    定義13.一個(gè)箭頭更新模型是一個(gè)三元組U{O,τ,A},其中,

    ? O 是非空的輸出集,其中每一個(gè)元素被稱(chēng)為一個(gè)輸出,

    ?τ:Agt×O×O→LLPA×LLPA是一個(gè)偏函數(shù),

    ?A:Agt×O→2Atm是覺(jué)知變化函數(shù)。

    為了表達(dá)上的方便,對(duì)每一個(gè)i ∈Agt和每一個(gè)o′,o′′ ∈O,如果τ(i,o′,o′′)(φ,ψ),用τ1(i,o′,o′′)來(lái)表示φ,用τ2(i,o′,o′′)來(lái)表示ψ。

    箭頭更新模型(U,o)作用于PAM 點(diǎn)模型(M,s)之后,產(chǎn)生一個(gè)新的PAM 點(diǎn)模型,我們稱(chēng)之為乘積模型。下面是乘積模型的定義。

    定義14.令(U,o)是一個(gè)箭頭更新模型,其中,U{O,τ,A}。令(M,s)是一個(gè)PAM 點(diǎn)模型,其中,M(Ω,?,ρ,π)。(U,o)作用于(M,s)產(chǎn)生的乘積模型是(M ?U,(s,o)),其中,M ?U(Ω′,?′,ρ′,π′):

    箭頭更新模型以|O|為倍數(shù)增大了初始模型。具體來(lái)說(shuō),對(duì)每一個(gè)輸出o′ ∈O和PAM 的每一個(gè)可能世界s′,會(huì)產(chǎn)生s′的一個(gè)增加了下標(biāo)o′的復(fù)制(s′,o′)。而且,對(duì)每一個(gè)i ∈Agt和每一個(gè)輸出對(duì)(o′,o′′),箭頭更新模型指定了起始條件τ1(i,o′,o′′)和目標(biāo)條件τ2(i,o′,o′′),它們分別被s′和s′′滿(mǎn)足,進(jìn)而保證在乘積模型中,(s′,o′)和(s′′,o′′)具有i-可通達(dá)關(guān)系。這樣規(guī)定使得,可通達(dá)關(guān)系在乘積模型中被保留的充分必要條件為相應(yīng)的兩個(gè)初始可能世界對(duì)應(yīng)于該輸出分別滿(mǎn)足起始條件和目標(biāo)條件。A函數(shù)的功能是擴(kuò)大主體的覺(jué)知集合。具體來(lái)說(shuō),它將每一個(gè)主體和每一個(gè)輸出對(duì)應(yīng)一個(gè)原子命題集,在乘積模型中,這一原子命題集將是該主體在被該輸出下標(biāo)的可能世界的覺(jué)知集合的子集。直觀(guān)上講,這意味著在乘積模型中,主體的覺(jué)知集合因?yàn)樵黾恿艘恍┰用}作為元素而被擴(kuò)大。

    為了刻畫(huà)在其他主體的信念不變的情況下某一主體的信念更新,需要定義一個(gè)特殊的箭頭更新模型——個(gè)體箭頭更新模型(Private Arrow Update Model)。它只包含兩個(gè)輸出:o1和o2。對(duì)于輸出o1,他的覺(jué)知集合在每一個(gè)可能世界都會(huì)擴(kuò)大,而在φ為真的可能世界,主體i減少他的可通達(dá)世界;對(duì)于輸出o2,沒(méi)有任何事發(fā)生。

    定義15.對(duì)于主體i、公式φ、覺(jué)知擴(kuò)張集合AE ?Atm,其中Atm(φ)?AE,相應(yīng)的個(gè)體更新模型是U(φ,AE)i(O,τ,A),定義如下:

    ? 對(duì)于每一個(gè)k,h ∈{1,2}和每一個(gè)j ∈Agt,τ(j,ok,oh) 有定義當(dāng)且僅當(dāng)(k1 且h2)或kh2,

    ?τ(i,o1,o2)(?,φ)且τ(i,o2,o2)(?,?),

    ? 對(duì)所有ji,τ(j,o1,o2)(?,?)且τ(j,o2,o2)(?,?),

    ? 如果ij且k1,A(j,ok)AE,

    否則,A(j,ok)?。

    令U(tr←(α),Atm(α))i(O,τ,A) 是對(duì)于主體i、公式tr←(α)、覺(jué)知擴(kuò)張集合Atm(α)的個(gè)體箭頭更新模型。給定PAM 點(diǎn)模型(M,s),其中M(Ω,?,ρ,π),M ?U(tr←(α),Atm(α))i,(s,o1))是(M,s)和(U(tr←(α),Atm(α))i,o1)的乘積模型。具體來(lái)說(shuō),PAMM ?U(tr←(α),Atm(α))i(Ω′,?′,ρ′,π′)的定義如下:

    ? Ω′{(s′,o1):s′ ∈Ω}∪{(s′,o2):s′ ∈Ω},

    ? 對(duì)所有s′ ∈Ω 和所有j ∈Agt:

    ? 對(duì)所有p ∈Atm:

    在下文中,將(M ?U(tr←(α),Atm(α))i,(s,o1))記作(M,s)(tr←(α),Atm(α))i。

    互模擬

    接下來(lái)我們證明兩種個(gè)體信念更新產(chǎn)生的模型具有互模擬關(guān)系。在此之前,有兩點(diǎn)需要注意。第一,互模擬關(guān)系應(yīng)該局限在原子命題集的一個(gè)有限子集內(nèi);第二,與標(biāo)準(zhǔn)的克里普克模型的互模擬不同,這里的互模擬關(guān)系應(yīng)該將模型中的覺(jué)知函數(shù)考慮在內(nèi)。范·迪特瑪希等人提供了包含覺(jué)知的互模擬定義([6]),在他們的文章中,這一互模擬被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)互模擬。

    定義16.令Q?Atm,給定兩個(gè)PAMM(Ω,?,ρ,π)和M′(Ω′,?′,ρ′,π′),這兩個(gè)模型的Q 標(biāo)準(zhǔn)互模擬是關(guān)系R(Q)?Ω×Ω′滿(mǎn)足,對(duì)每一個(gè)(s,s′)∈R(Q),每一個(gè)i ∈Agt,和每一個(gè)p ∈Q:

    ? 原子命題:s ∈π(p)當(dāng)且僅當(dāng)s′ ∈π′(p),

    ? 覺(jué)知:Q∩ρ(i,s)Q∩ρ′(i,s′),

    ? 正向條件:如果s ?i t,那么存在t′ ∈?′(i,s′)滿(mǎn)足(t,t′)∈R(Q),

    ? 反向條件:如果s′ ?i t′,那么存在t ∈?(i,s)滿(mǎn)足(t,t′)∈R(Q)。

    對(duì)于兩個(gè)PAM 點(diǎn)模型(M,s)和(M′,s′),其中M(Ω,?,ρ,π),M′(Ω′,?′,ρ′,π′),如果存在互模擬關(guān)系R(Q),且(s,s′)∈R(Q),則這兩個(gè)點(diǎn)模型有Q 互模擬關(guān)系,記做(M,s)Q(M′,s′)。

    根據(jù)[6]的命題21,可以得到,如果(M,s)Q(M′,s′),那么(M,s)和(M′,s′)滿(mǎn)足LLPA(Q,Agt)中的相同的公式。

    下面的定理是這一部分的核心結(jié)論,這一互模擬關(guān)系的左右兩邊各是一個(gè)PAM 點(diǎn)模型,其中,左邊的模型是通過(guò)信念庫(kù)語(yǔ)義的個(gè)體信念更新得到的,右邊的模型是通過(guò)個(gè)體箭頭更新模型得到的。

    定理3.(M′,sS+iα)Atm(Σ)(MΣ′,[s]Σ′)(tr←(α),Atm(α))i

    證明.令M′(Ω′,?′,ρ′,π′),將M ?U(tr←(α),Atm(α))i記做M′′,令M′′(Ω′′,?′′,ρ′′,π′′),令初始PAMM(Ω,?,ρ,π)。很容易得到:

    定義二元關(guān)系R(Atm(Σ))?Ω′×Ω′′如下:

    用常規(guī)的方式就可以驗(yàn)證R(Atm(Σ)) 定義了M′和M′′的標(biāo)準(zhǔn)互模擬關(guān)系,因此,具有互模擬關(guān)系。

    值得注意的是,定理3 的成立需要滿(mǎn)足四個(gè)條件:第一,具有互模擬關(guān)系的兩個(gè)模型都是有限模型,因此,需要將初始模型用對(duì)子公式封閉的公式集來(lái)過(guò)濾得到有限模型;第二,過(guò)濾時(shí),對(duì)子公式封閉的公式集Σ 需要轉(zhuǎn)化為Σ′,從而包括所有主體對(duì)Σ 的原子命題的覺(jué)知命題;第三,如果α是主體i的信念庫(kù)中增加的公式,那么,tr←(△iα)是Σ′中的公式;最后,α是L0公式。

    在證明過(guò)程中,定理3 與[17]的定理11 使用的方法有一些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。相同點(diǎn)是,在模型的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中,兩者都使用了信念庫(kù)的更新和個(gè)體箭頭更新模型。不同點(diǎn)是,前者以PAM 作為證明的起始模型,而后者以信念庫(kù)語(yǔ)義模型作為證明的起始模型,基于[18]的由LPA 到LDAA 的多項(xiàng)式嵌入,以PAM 作為證明的起始模型允許我們將LDAA 的技術(shù)直接應(yīng)用在LPA 上;由于證明的起始模型的不同,兩者在證明過(guò)程中需要對(duì)模型做不同的處理,前者需要將模型過(guò)濾以得到有限模型,進(jìn)而通過(guò)[18]的模型轉(zhuǎn)化方法得到MABA,而后者則是將所有顯信念公式作為原子命題來(lái)處理,進(jìn)而從信念庫(kù)語(yǔ)義模型得到克里普克模型;最重要的是,相比于后者,前者的模型中包含覺(jué)知,因此,定義14 給出的個(gè)體箭頭更新模型的最后一項(xiàng)是對(duì)主體覺(jué)知的更新,定義16 提出了互模擬需要滿(mǎn)足覺(jué)知相等的條件。

    更進(jìn)一步,定理3 為L(zhǎng)DAA 和LPA 的語(yǔ)義在技術(shù)方面和哲學(xué)方面的差異提供了很好的說(shuō)明。技術(shù)方面,在LPA 的語(yǔ)義模型PAM 中,需要通過(guò)主體的信念可通達(dá)關(guān)系來(lái)確認(rèn)該主體的隱信念,而顯信念又是通過(guò)隱信念和覺(jué)知計(jì)算出的,因此,主體的個(gè)體信念更新意味著需要為每一個(gè)這樣的主體復(fù)制整個(gè)模型;反觀(guān)LDAA的語(yǔ)義模型MABA,每個(gè)主體的信念庫(kù)都是相互獨(dú)立的,認(rèn)知模型是從主體的信念庫(kù)構(gòu)造出來(lái)的,這意味著,當(dāng)某一主體的顯信念發(fā)生變化時(shí),認(rèn)知模型也會(huì)自動(dòng)發(fā)生變化。哲學(xué)方面,對(duì)于PAM,隱信念和覺(jué)知都是模型的初始條件,因此,為實(shí)現(xiàn)主體顯信念的更新,需要同時(shí)改變主體的隱信念和覺(jué)知;而MABA 與之不同,我們只需要更新主體信念庫(kù)中的公式集即可實(shí)現(xiàn)該主體的顯信念更新。

    圖2:圖表展示了以PAM 為初始模型的兩種個(gè)體信念更新方案的關(guān)系。其中,PBE 指信念庫(kù)的個(gè)體信念更新,PAU 指?jìng)€(gè)體箭頭更新。

    圖3:這是用個(gè)體箭頭更新過(guò)程來(lái)展示例1 的模型變化過(guò)程。圖中有兩個(gè)單主體模型。左邊的模型是信念更新之前小張的認(rèn)知狀態(tài),右邊的模型信念更新之后的認(rèn)知狀態(tài)。大括號(hào)中的原子命題表示小張?jiān)谠摽赡苁澜绲挠X(jué)知集合,模型中其他元素的解釋與圖1 保持一致。

    圖4:這是用信念庫(kù)語(yǔ)義模型的個(gè)體信念更新過(guò)程來(lái)展示例1 的模型變化過(guò)程。大括號(hào)中的公式表示小張信念庫(kù)中的公式,圖中的其他元素的含義與圖1 保持一致。

    圖2 展示了這一節(jié)的完整過(guò)程。通過(guò)本節(jié)我們證明了,盡管LPA 的顯信念算子X(jué)i被翻譯成LDAA 的□i和○i算子,針對(duì)△i算子的個(gè)體信念更新仍然可以用在基于PAM 的動(dòng)態(tài)變化中?;氐轿恼麻_(kāi)頭提出的例子,圖3 和圖4 分別展示了這兩種信念更新的模型變化過(guò)程。很容易看出,基于信念庫(kù)語(yǔ)義模型的個(gè)體信念更新大大簡(jiǎn)化了模型的轉(zhuǎn)化過(guò)程,避免了模型的復(fù)制。

    7 結(jié)論與后續(xù)工作

    本文證明了以信念庫(kù)語(yǔ)義為基礎(chǔ)的個(gè)體信念更新的動(dòng)態(tài)邏輯LDAA-PBE 相對(duì)于多主體信念庫(kù)語(yǔ)義的可靠性和完全性。同時(shí),本文將兩種個(gè)體信念更新方案做比較,它們分別是:基于信念庫(kù)語(yǔ)義的個(gè)體信念更新、基于克里普克語(yǔ)義的個(gè)體箭頭更新。通過(guò)模型轉(zhuǎn)換的方法,我們證明了這兩種方案形成的模型具有互模擬關(guān)系。其中,前一種方案只會(huì)使模型的規(guī)模發(fā)生線(xiàn)性增加,而后一種方案在每次個(gè)體信念更新時(shí)都必須復(fù)制模型,從而在一系列更新之后會(huì)使模型規(guī)模產(chǎn)生幾何級(jí)數(shù)增加。這說(shuō)明前一種方案在達(dá)到相同目的的同時(shí),能夠有效保持模型的簡(jiǎn)潔性。

    在后續(xù)工作中,我們不僅會(huì)考慮對(duì)原子命題的覺(jué)知,也會(huì)研究某一主體對(duì)其他主體的覺(jué)知,嘗試以信念庫(kù)語(yǔ)義為基礎(chǔ)建立關(guān)于身份的覺(jué)知邏輯,而關(guān)于這一覺(jué)知的動(dòng)態(tài)變化也會(huì)納入該邏輯的討論范圍。

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