數學文化視角下品讀“哥德巴赫猜想”課例研究

李織蘭　蔣曉云　王發(fā)軍

【摘 要】本文以北師大版高中數學選修3-1《數學史選講》第六章名題賞析“哥德巴赫猜想”一課為例，從數學文化的視角引領學生去品味“哥德巴赫猜想”的數學思想、數學精神，設計基于云班課理念線上線下混合式教學的流程“布置學習任務—課前自主學習—課中內化感悟—課后學以致用”，從而對學生進行品德教養(yǎng)、思維提升、精神培養(yǎng)和性情陶冶，為學生建構數學史觀、文化觀、思想觀。

【關鍵詞】數學文化 哥德巴赫猜想 課例 致善精神

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）22-0092-04

全國高校思想政治工作會議指出：“要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。”黨的十九大報告指出，要全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，發(fā)展素質教育，推進教育公平，培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的社會主義建設者和接班人。在此背景下，學校應在發(fā)揮思政課作為德育主陣地和主渠道作用的同時，讓所有課堂都肩負起育人功能，讓每位教師都守好一段渠、種好責任田，切實將“思政課程”向“課程思政”轉變。

數學教學不僅要傳授給學生數學知識，還要授數給學生傳學思維與方法，形成思維品質和關鍵能力，更重要的是在數學知識體系中尋找與德育知識體系的“觸點”，用學生喜聞樂見的方式潛移默化地開展德育，在數學課堂上不懈追求“求真、育美、立德、致善”的理想境界，讓學生在現(xiàn)實與歷史的坐標中更真切地建構數學，形成自己的數學科學精神。本文從數學文化的視角引領學生品味“哥德巴赫猜想”的數學思想、數學精神，以“文”教“化”，對學生進行品德教養(yǎng)、思維提升、精神培養(yǎng)和性情陶冶，為學生建構數學史觀、文化觀、思想觀。

一、教材與教學資源分析

“哥德巴赫猜想”是北師大版高中數學選修3-1《數學史選講》第六章名題賞析的一節(jié)數學文化課，名題賞析“哥德巴赫猜想”包含數學猜想、思想方法、數學精神等三個方面。如果只按教材文本來品讀，就會流于“淺顯”和“知性”。重視其對人類精神方面的巨大作用，培養(yǎng)科學精神是中小學數學課堂的靈魂?！案绲掳秃詹孪搿碧N含著豐富的教育價值與文化價值。

國家級教學資源庫在線開放課程提供了學習和數據支持。組建云班課，把教材內容與線上數字化資源集中在一起呈現(xiàn)，線上資源通過手機隨掃隨學，有效地輔助了線上線下混合式教學。教師通過手機APP“智慧云課堂”，可以實時掌握學生的動態(tài)，也可以與學生開展豐富多彩的課堂活動;學生可以通過APP學習課件、提交作業(yè)和考試等，完成一系列課程要求。這樣既能發(fā)揮教師引導、啟發(fā)、監(jiān)控教學過程的主導作用，又能充分體現(xiàn)學生作為學習主體的主動性、積極性與創(chuàng)造性，從而真正地達到翻轉課堂的目的。

生成性資源是在教學活動互動過程、自主學習和課后反思提升階段中產生，最具個性化和最具活力的資源。生成性資源主要是學生的學習成果：學生收集整理的與“哥德巴赫猜想”有關的資料、數學文化實踐活動（數學和數學家的故事演講）、數學閱讀報告、學習成果展板等。

二、學情分析

現(xiàn)今的中學生生活在電視屏、電腦屏、手機屏、iPad屏等“四屏”時代，在互聯(lián)網的環(huán)境里長大，被稱為“網生代”。他們獲取知識渠道多樣化，個人比較有主見且自我，敢于表達個性，這使他們不滿足于線下被動接受教師傳授知識，更愛線上主動搜尋自己感興趣的知識。在這樣的背景下，如果所有教學目標單純依靠線下課堂由傳統(tǒng)授課來實現(xiàn)，效果會大打折扣。

基于對學情的分析，筆者采用基于“智慧云班課”的線上線下混合式教學，把線下班級授課制群體學習優(yōu)勢與網絡學習個性化、信息技術與教育教學融為一體，先學后教，“學”在課前，“悟”在課堂。

三、教學目標設計

第一，經歷“哥德巴赫猜想”的發(fā)現(xiàn)過程，理解“哥德巴赫猜想”的具體內容，感悟從特殊到一般的歸納推理思想，學會用“觀察歸納”找數學規(guī)律。

第二，理解探索“哥德巴赫猜想”的意義，感悟數學思想和方法。明白為什么“哥德巴赫猜想”被譽為“皇冠上的明珠”備受推崇。

第三，沿著數學家探索“哥德巴赫猜想”的歷史足跡，培養(yǎng)“理性探索”和“嚴謹求真”的數學精神;體會“基礎數學研究不能急功近利”和“要成為科技強國，必先成數學強國”的道理。

第四，介紹新中國著名數學家華羅庚、王元、陳景潤等在探索“哥德巴赫猜想”中取得享譽世界的成就。弘揚中國數學的輝煌成就，增強民族自豪感和愛國主義情感。

第五，陳景潤醉心科學探索、執(zhí)著追求真理，在逆境中忘我鉆研，勇攀科學高峰。他的奮斗精神和愛國情懷成為改革開放初期鼓舞人們的精神動力，當今仍在激勵新一代青年發(fā)憤圖強、艱苦攻堅，科學報國。

重點：發(fā)現(xiàn)和證明“哥德巴赫猜想”的數學思想和方法;培養(yǎng)“理性探索”和“嚴謹求真”的數學科學精神;陳景潤精神激勵新一代青年發(fā)憤圖強，勇攀科學高峰。

難點：感悟數學思想和方法，理解探索“哥德巴赫猜想”的意義與價值。

四、教學設計及實施

基于云班課理念線上線下混合式教學的整體流程如下：布置學習任務、課前自主學習、課中內化感悟、課后學以致用。

（一）課前自主學習

1.課前制作《哥德巴赫猜想起源》《哥德巴赫猜想的證明進程》等微課、微視頻，編輯《哥德巴赫猜與陳景潤》《研究哥德巴赫猜的價值》等文本資料，根據本節(jié)課內容編制課前、課后習題上傳至云班課空間。

微課《哥德巴赫猜想起源》：作品全原創(chuàng)，由任課教師自行設計，運用萬彩動畫大師、視頻編輯軟件等工具錄制和剪輯而成。作品內容完整，在幾分鐘內對“哥德巴赫猜想”有序組織文化解讀，微課圍繞“哥德巴赫猜想”這一個知識點講解如下內容：哥德巴赫猜想“1+1”是什么意思？哥德巴赫是用什么思想方法發(fā)現(xiàn)“猜想”的？“哥德巴赫猜想”難在哪里？中國數學家在探索“哥德巴赫猜想”的過程中取得哪些輝煌成就？形成哪些精神財富？

微課《哥德巴赫猜想的證明進程》：以PPT+錄屏的形式制作，介紹數學家“迂圍戰(zhàn)術”，先易后難，縮小“包圍圈”逼近目標。

本微課的亮點概括為：有意義、有啟發(fā)、有趣味、有原創(chuàng)。形成三大特色：一是巧妙融入課程思政，培養(yǎng)“嚴謹求真”的數學科學精神和潛心鉆研的精神;弘揚中國數學家的輝煌成就，增強民族自豪感和愛國主義情懷，體現(xiàn)數學學科獨特的育人價值。二是教學策略情境化、結構化、問題化、故事化、任務化、趣味化，提高教學質量。三是教學素材體現(xiàn)科學性、藝術性、技術性、原創(chuàng)性。

微課是“線上線下混合式翻轉課堂”中課前自主學習的最重要的教學資源，實現(xiàn)了以學生為主體，讓學生自主學習，從傳統(tǒng)上以教師講授轉變?yōu)閷W生自主學習，調動了學生的學習積極性。學生課前通過觀看微課，完成課前自主學習任務，帶著強大的內驅力來課堂展示、分享他們的學習成果。在線下課堂教學中感受“哥德巴赫猜想”的文化價值，為提煉數學科學精神等提供了有力的學習支持。

2.布置課前作業(yè)，檢測學生課前學習知識的情況。課前學習檢測作業(yè)見云課堂上的《哥德巴赫猜想導學案》。

3.在云班課發(fā)布：如何看待‘哥德巴赫猜想的教育價值和文化價值？

（1）哥德巴赫猜想“1+1”是什么意思？

（2）哥德巴赫是用什么思想方法發(fā)現(xiàn)“猜想”的？

（3）數學家與其他科學家探索規(guī)律有什么異同？“哥德巴赫猜想”難在哪里？數學的科學精神是什么？

（4）“哥德巴赫猜想”的證明進程給人們什么啟示？研究“哥德巴赫猜想”是否有價值？

（5）中國數學家華羅庚、潘承洞、王元、陳景潤等在探索“哥德巴赫猜想”的過程中取得了哪些舉世矚目的成就？

（6）激勵學生發(fā)憤圖強、艱苦攻堅的陳景潤精神是什么？

要求學生課前針對上述問題發(fā)言，互相評價和討論。學生課前通過線上觀看微課，完成課前自主學習任務，帶著強大的內驅力來課堂展示、分享他們的學習成果。為線下課堂教學中感受“哥德巴赫猜想”的文化價值和數學科學精神等提供了有力的學習支持。

課前組織“講數學家的故事和演講”實踐活動。實施方案見云課堂《哥德巴赫猜想實踐活動》。

（二）課中內化感悟

1.實施一：匯報群組形成的觀點

學生個人在云課堂上發(fā)言，群組討論并初步形成本群組觀點，各群組代表匯報。

2.實施二：點評空間討論

（1）哥德巴赫是用什么思想方法發(fā)現(xiàn)“猜想”的？

觀察等式：10=3+7，28=11+17，12=7+5，100=3+97，18=7+11，36=7+29……你能從中發(fā)現(xiàn)什么“規(guī)律”？如何表達？

早在270多年前，一位業(yè)余數學家哥德巴赫憑借著對數學敏銳的洞察力，從這些等式中歸納發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，因此人們就把這一規(guī)律稱作“哥德巴赫猜想”，它還被高斯譽為“數學皇冠上的明珠”。

馬克思主義哲學觀點：事物的普遍性往往寓于事物的特殊性之中。發(fā)現(xiàn)“哥德巴赫猜想”的數學思想方法是從特殊到一般的歸納思想，人們在數學學習的“找規(guī)律”活動中經常使用，其一般形式如圖1所示。

著名數學家歐拉告訴人們一個秘訣：數學結論是靠觀察得來的。觀察歸納是找規(guī)律常用的方法。

猜想是數學創(chuàng)新教育的三大核心環(huán)節(jié)之一，牛頓告訴人們：沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)。不學會找規(guī)律，就不會有數學的發(fā)現(xiàn)。因此，教師要鼓勵學生學會找規(guī)律，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。

（2）探究“哥德巴赫猜想”難在哪？

觀察歸納得到的結論只能算是一個猜想，可能是正確的，也可能是錯誤的。數學結論的真理性必須經受極為嚴格的邏輯和實踐的雙重檢驗。只有數學證明才能使它成為定理。因此，教師要在數學探究活動中增強邏輯推理的意識，養(yǎng)成良好的“說理”習慣，發(fā)展理性思維，鑄就“求真”精神。

哥德巴赫還要做兩件事：進行嚴密的推理論證，證明猜想是真理;或者在驗證的過程中，找到一個猜想不成立的反例，從而推翻它。幾經努力，他沒有成功。他覺得很困難，于是給世界上最著名的數學家歐拉寫信求助。歐拉在回信中說：“我相信這個猜想是真的，但我也無法證明它?！睔W拉都沒有辦法證明，他可是偉大的數學家之一。這一回應立刻引起了各國數學家的注意。此后，數學家們爭先恐后地研究這一猜想。

270多年過去了，找不到一個“哥德巴赫猜想”不成立的反例。許多數學家又企圖給這個猜想作出證明，很長一段時間數學家在研究過程中都沒有取得實質性的結果，甚至沒有提出有效的研究方法。于是，證明“哥德巴赫猜想”成為世界上著名的難題（見圖2）。

圖2? 尋找“哥德巴赫猜想”不成立的反例

人們從數學家身上看到了“理性探索”“嚴謹求真”的數學科學精神。數學結論的真理性必須經受極為嚴格的邏輯和實踐的雙重檢驗。只有數學證明才能使它成為定理（真理）。在數學探究活動中，教師要培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的“說理”習慣，發(fā)展理性思維，鑄就“追求真理”的精神。

（3）證明“哥德巴赫猜想”的歷史足跡。

就在一些著名數學家悲觀地稱“哥德巴赫猜想”是可望而不可及的高峰時，1900年希爾伯特將“哥德巴赫猜想”列入20世紀23個挑戰(zhàn)性的數學問題，從此世界數學家們聯(lián)手進攻“哥德巴赫猜想”堡壘。從1920年開始，“哥德巴赫猜想”的研究終于出現(xiàn)了轉機，從以下幾個方面取得了進展。

第一，1918年英國數學家哈代創(chuàng)立了圓法，找到一條可能通往“哥德巴赫猜想”的道路。1959年，25歲的中國數學家潘承洞研究了“有一個小質變數的三質數”定理，從而走在這條路的最前沿。

第二，研究“例外集合”也許是通往“哥德巴赫猜想”的又一路徑。在這一條道路上，1938年，同時出現(xiàn)了四個定理，其中之一是我國數學家華羅庚證明的“例外偶數的密度是零”，即“幾乎所有偶數都是兩個質數之和”的著名定理，其成果與世界齊名。

第三，布朗在1920年改進古老的篩法，提出了殆質數的概念，找到一條最有可能通往“哥德巴赫猜想”光輝頂點的大路。

把一個大于2的偶數E寫成E=p+q（兩個質數p和q相加）很有困難，數學家們想到了“迂圍戰(zhàn)術”，他們把條件放寬一點，先證明簡單點的，那就用另一個辦法表示成簡單一點的：E=A+B，其中A和B是質因子個數不多的正整數，有點像質數，把A，B這樣的數稱為殆質數。

例如，大的偶數E=A+B，其中A和B為殆質數，且A的質因子個數不超過2，B的質因子個數不超過3，用“2+3”來表示。

一般的，每個大偶數E都可表為殆質數的和：E=A+B，其中A和B的質因子個數分別不超過m和n，用“m+n”來表示。顯然，哥德巴赫猜想就是“1+1”。

數學家們就試圖采用縮小包圍圈的辦法，布朗在1920年證明了“9+9”，各個國家的數學家都在“篩法”這條大路上行走，想逐步減少偶數分解式中殆質數里所含質因子的個數，直到最后使分解式每個殆質數里都是一個質因數，即“1+1”為止，試圖以此方法來證明“哥德巴赫猜想”。

1920年，挪威的布朗（Brun）證明了“9+9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”。

1937年，意大利的蕾西先后證明了“5+7”“4+9”“3+15”和“2+366”。

1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5+5”。

1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4+4”。

1948年，匈牙利的瑞尼（Renyi）證明了“1+c”，其中c是一很大的自然數。

1956年，中國的王元證明了“3+4”。

1957年，中國的王元證明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1+5”，接著中國的王元證明了“1+4”。

1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫及意大利的朋比利證明了“1+3”。

陳景潤把“篩法”這個數學工具發(fā)揮到極致，陳景潤在1966年至1973年，經過多年廢寢忘食、嘔心瀝血的研究，證明了“1+2”。目前為止，陳景潤證明的“1+2”依然領先于世界，因此陳景潤被稱為“哥德巴赫猜想”第一人。

華羅庚、王元、潘承洞、陳景潤等中國數學家因其在探索“哥德巴赫猜想”方面的輝煌成就享譽世界，反映了新中國數學家的鉆研精神和聰明才智，是中國數學的驕傲，鼓舞著我國數學人為建立一流的世界級數學強國而奮斗。

“哥德巴赫猜想”證明歷程給人們以下幾點啟示。

其一，“迂圍戰(zhàn)術”解難題。在學習和研究數學中，如果遇到一個問題解決非常困難時，可采取“迂圍戰(zhàn)術”，先解決一個相對簡單點的問題，逐步逼近縮小包圍圈，最終解決問題。

其二，無意插柳柳成蔭。對歷史長、影響深，經過一些著名數學家鉆研而尚未解決的那些著名問題，往往要跳出通常的思維，獨辟蹊徑，這個過程會誕生新的數學分支，建立新的體系。數學問題解決固然重要，但更重要的是在解決問題的過程中，發(fā)現(xiàn)新的數學思路，建立新的數學工具。當年華羅庚教授倡導并組織研究這個難題，是有深邃的戰(zhàn)略眼光的。因為它是帶動解析數論、最終帶動數學向前發(fā)展的重要推動力。

其三，研究“哥德巴赫猜想”需要有好的數學基礎，需要了解前人所創(chuàng)造的思想、方法和結果，需要長期艱苦的努力，還需要有經驗的數學家的引領，否則，會白白浪費寶貴光陰。

3.實施三：實踐活動展示—— 時代典范

1978年徐遲的《哥德巴赫猜想》一文詳細描述了陳景潤餐霜飲雪、踏破鐵鞋、無盡攀登、挑戰(zhàn)數論的過程。一夜之間，陳景潤街知巷聞、家喻戶曉，成為那個時代的精神偶像，并改變了一代青年的人生方向。

依據教材和報告文學《哥德巴赫猜想》的內容，講數學家陳景潤的故事。

（1）故事內容要積極、健康向上，切合主題：從數學家陳景潤身上學到了什么？

（2）故事的講述力求生動有趣。

（3）時間：3～5分鐘（不超過5分鐘）。

（4）班級分小組，人人參加講故事并錄制視頻，視頻統(tǒng)一收集打包提交，課前小組評分排序，教師組織班級評活動，選出1～2名優(yōu)秀者在班級課堂上展示。

40多年過去了，2018年黨和國家表彰100位改革開放杰出貢獻人員。陳景潤被譽為“激勵青年勇攀科學高峰的典范”。時過境遷，仍然需要陳景潤“甘于清貧、耐受寂寞，醉心科學探索、執(zhí)著追求真理，他在逆境中忘我鉆研，勇攀科學高峰”的精神來激勵新一代的青少年發(fā)憤圖強、艱苦攻堅，科學報國。

（三）課后學以致用

學生課后收集整理與“哥德巴赫猜想”有關的資料，制作手抄報、學習成果展板，撰寫數學閱讀報告等。

在“哥德巴赫猜想”的教學中，學生通過了解“哥德巴赫猜想”的歷史足跡，從數學家身上看到了“理性探索”“嚴謹求真”的數學精神;陳景潤的精神和事跡激勵學生發(fā)憤圖強、艱苦攻堅;弘揚我國數學家華羅庚、王元、潘承洞、陳景潤等在探索“哥德巴赫猜想”方面的輝煌成就，有利于增強學生的民族自豪感和愛國主義情感。

【參考文獻】

[1]蔣曉云.文化視角下的小學數學課例研究[J].廣西教育，2018（1）.

[2]李織蘭.引領小學生品味“哥德巴赫猜想”的途徑[J].廣西教育，2020（29）.

注：本文系2020年度廣西基礎教育改革發(fā)展研究中心課題“基于核心素養(yǎng)的數學‘致善精神的培養(yǎng)策略研究”（編號：GSJJB202005）;廣西教育科學“十三五”規(guī)劃2019年度重點課題“小學數學教學中學生‘科學精神的培育研究”（編號：2019B141）研究成果。

【作者簡介】李織蘭（1967— ），女，漢族，廣西百色人，碩士研究生學歷，高級教師，研究方向為小學數學教育;蔣曉云（通訊作者）（1963— ），男，漢族，廣西桂林人，大學本科學歷，理學學士，教授，研究方向為數學教育、計算機密碼學;王發(fā)軍（1976— ），男，漢族，廣西桂林人，大學本科學歷，一級教師，研究方向為中學數學教育。