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    試析中學(xué)平面幾何與解析幾何、立體幾何的內(nèi)在聯(lián)系

    2021-12-08 04:13:22李啟玲
    文理導(dǎo)航 2021年32期
    關(guān)鍵詞:平面幾何解析幾何立體幾何

    李啟玲

    【摘 要】本文主要分析了中學(xué)數(shù)學(xué)中平面幾何與解析幾何、立體幾何之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),凸顯了平面幾何教學(xué)的重要性。

    【關(guān)鍵詞】平面幾何;解析幾何;立體幾何;關(guān)聯(lián)

    隨著我國(guó)教育部制定的義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)的頒布與實(shí)施,我們可以看到對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)目標(biāo)都進(jìn)行了修正,對(duì)教師綜合素質(zhì)的要求進(jìn)一步提高。在目前仍然以教師為主導(dǎo)的課堂教學(xué)活動(dòng)中,教師教學(xué)能力的重要性不言而喻。如何提高教師的綜合素質(zhì)?如何讓教師不僅僅是講好一堂課、一門(mén)課,而是對(duì)教學(xué)內(nèi)容有著更為深刻的認(rèn)識(shí)理解,并在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中游刃有余?這就需要教師站在更高處,宏觀地看待整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系,并且能夠深刻的認(rèn)識(shí)到各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系,從而形成網(wǎng)狀的知識(shí)體系。

    一、平面幾何與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系

    中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于幾何部分的內(nèi)容分為平面幾何、解析幾何、立體幾何。我們知道平面幾何部分的內(nèi)容主要來(lái)源于《幾何原本》最基礎(chǔ)的部分,旨在通過(guò)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面等圖形,并對(duì)其性質(zhì)特征進(jìn)行刻畫(huà)。眾所周知,由于《幾何原本》理論體系建立在五個(gè)公設(shè)基礎(chǔ)之上,由于這五個(gè)公設(shè)的描述、刻畫(huà)欠缺一定的嚴(yán)密性,就造成了平面幾何中某些知識(shí)欠缺嚴(yán)密性。例如,教材中定義兩個(gè)圖形全等,是通過(guò)平移其中一個(gè)圖形使得兩個(gè)圖形重合。實(shí)際上這種定義要在平移時(shí)物體做剛體運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生形變下才能做到。究其原因是因?yàn)閳D形的位置問(wèn)題造成了這一定義的不嚴(yán)密性。但是如果在解析幾何的觀點(diǎn)下,每一個(gè)點(diǎn)都是唯一的,從而由點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形也是唯一的,那么在解析幾何下如何定義兩個(gè)圖形全等呢?我們可以借助函數(shù)來(lái)解決這一問(wèn)題:圖形平移與旋轉(zhuǎn)來(lái)刻畫(huà)。由于初中階段學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)認(rèn)識(shí)不足,造成了我們無(wú)法用解析幾何中更嚴(yán)密的理論來(lái)刻畫(huà)圖形的全等性,而借助圖形的平移更具直觀性,也更有利于學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)。平面幾何中關(guān)于圖形的相似性,如果用拓?fù)鋵W(xué)中的同胚來(lái)刻畫(huà)也更為準(zhǔn)確,即由一個(gè)圖形能連續(xù)形變到另一個(gè)圖形。但是同胚中所包含的情形要遠(yuǎn)比相似更為復(fù)雜,任意一條封閉曲線與任意一個(gè)三角形是同胚的,但與三角形相似的圖形只能是三角形。另外,如果從拓?fù)涞慕嵌?,把同胚的集合都看作同一個(gè)集合,那么所有相互相似的三角形就只有一個(gè),使得我們需要研究的對(duì)象大大減少。

    為什么關(guān)于三角形的性質(zhì)特點(diǎn)的討論占據(jù)了平面幾何的大部分內(nèi)容呢?首先,三角形是由直線段圍成的所有封閉圖形中最為簡(jiǎn)單的圖形。其次,對(duì)三角形的研究既涉及到了線段長(zhǎng)度的問(wèn)題,又涉及到了角度的問(wèn)題(對(duì)應(yīng)于解析幾何中點(diǎn)的極坐標(biāo)表示),并且兩者相互關(guān)聯(lián)。最后我們可以借助三角形的性質(zhì)討論由直線段圍成的其他幾何圖形的性質(zhì)。我們知道,三角形有兩大構(gòu)成要素:三條邊、三個(gè)角。在研究討論三角形的基本性質(zhì)時(shí),必須要思考三個(gè)問(wèn)題:第一,滿足什么關(guān)系的三條邊才能構(gòu)成一個(gè)三角形?第二,三角形的三個(gè)角應(yīng)滿足什么條件?第三,邊與角之間有什么關(guān)系?

    首先我們知道三角形三邊的關(guān)系:兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。如果設(shè)三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,如圖所示:

    則上述命題可以表示為:a-b∠B,則a>b。這三個(gè)命題為三角形的邊角性質(zhì)進(jìn)行了最基本的刻畫(huà)。從數(shù)學(xué)的角度,我們可以看出第三個(gè)命題的刻畫(huà)最為準(zhǔn)確,而對(duì)其他兩個(gè)命題我們用到的是一個(gè)直觀但是較為粗糙的描述。如何使這兩個(gè)命題如同第三個(gè)命題一樣準(zhǔn)確呢?這就需要在特殊情況下來(lái)討論。例如對(duì)直角三角形ABC,如圖所示:

    所以a-bA >B,則有sinC > sinA >sinB,并且a=c·sinA/sinC,b=c·sinB/sinC,同時(shí)使得三角的關(guān)系更為準(zhǔn)確(同樣也可以討論其他類型的三角形)。

    在討論三角形基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上,可以借助三角形的這些性質(zhì)對(duì)其他多邊形的性質(zhì)進(jìn)行研究。例如通過(guò)將多邊形分割成多個(gè)三角形,討論多邊形邊與邊、邊與角的關(guān)系:多邊形的內(nèi)角和、面積的計(jì)算方法等問(wèn)題。我們一起來(lái)看看下面這道高考題。

    二、平面幾何與立體幾何的內(nèi)在聯(lián)系

    在新課標(biāo)中,立體幾何的教學(xué)目的主要是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力,其教學(xué)內(nèi)容主要包括空間中點(diǎn)、直線、平面、立體的位置關(guān)系及各自的基本性質(zhì),其知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)方法處處都建立在平面幾何的基礎(chǔ)之上。

    在立體幾何的教學(xué)活動(dòng)中,幾乎所有涉及到點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系都處理成平面幾何中點(diǎn)、線之間的關(guān)系。例如為了解決點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題,我們首先將點(diǎn)和直線放到同一個(gè)平面上,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)到直線的距離。在解決異面直線的位置關(guān)系時(shí),通過(guò)固定其中一條直線,平行移動(dòng)另外一條直線,使得兩條直線共面,從而確定兩條直線的夾角。在處理線面、面面夾角的問(wèn)題時(shí),我們也是先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面的線線夾角的問(wèn)題進(jìn)行討論。這與我們處理高維空間的問(wèn)題類似,將高維空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低維空間的問(wèn)題進(jìn)行處理,借助已有的工具解決新的問(wèn)題。在此以浙江省2020高考試題為例分析如何將立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題進(jìn)行處理。

    三、結(jié)束語(yǔ)

    平面幾何在數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)教育中的重要性不言而喻,是數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn),是數(shù)學(xué)這棵參天大樹(shù)的萌芽。在我們的日常生活中無(wú)處不在,長(zhǎng)方形的課本、黑板,圓形的車輪、鐘面、花臺(tái)、各種水果,三角形的支架,諸如此類。課標(biāo)要求通過(guò)平面幾何的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力、邏輯思維能力。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中講好平面幾何,不僅需要老師們對(duì)教學(xué)內(nèi)容熟悉,更需要老師們對(duì)幾何(包括平面幾何、立體幾何、解析幾何,甚至非歐幾何)之間的關(guān)系有著較為全面及深刻的認(rèn)識(shí),拓展教師的知識(shí)面,加深教師對(duì)知識(shí)理解,才能提高教學(xué)質(zhì)量,實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]中華人民共和國(guó)教育部.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)[M].北京師范大學(xué)出版社,2012.

    [2]中華人民共和國(guó)教育部.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)[M].人民教育出版社,2018.

    [3]義務(wù)教育教科書(shū).《數(shù)學(xué)》(八年級(jí))[M].人民教育出版社,2014.

    [4]普通高中教科書(shū).《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))[M].人民教育出版社,2019.

    [5]普通高中教科書(shū).《數(shù)學(xué)》(必修第二冊(cè))[M].人民教育出版社,2019.

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