一類帶時(shí)滯和收獲率的捕食者-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性

吳耀沖，溫潔嫦*

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

其中，u，v 分別表示食餌和捕食者種群密度；r，k1，k2分別為食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率、環(huán)境對(duì)食餌種群的容納量和食餌對(duì)捕食行為的恐懼系數(shù)；c1，c2分別為捕食者對(duì)食餌的捕獲率和能量的轉(zhuǎn)化率；?（u，v）=為比例依賴型功能反應(yīng)函數(shù)，且m 為半飽和系數(shù)；d，h 分別為捕食者的死亡率和收獲率；τ為食餌種群孕育后代產(chǎn)生的時(shí)滯。考慮到現(xiàn)實(shí)意義，參數(shù)r，k1，k2，c1，c2，m，d，h，τ 均為非負(fù)數(shù)。

1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)存在條件和穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)（1）存在一個(gè)邊界平衡點(diǎn)E1（k1，0），和當(dāng)c2＞d+h 時(shí)存在一個(gè)正平衡點(diǎn)E2（u*，v*），其中

1.1 τ=0 時(shí)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理1當(dāng)c2＜d+h 時(shí)，邊界平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)c2＞d+h 時(shí)，邊界平衡點(diǎn)E1不穩(wěn)定。

證明系統(tǒng)（1）在E1處的Jacobi 矩陣為

定理2當(dāng)時(shí)，E2是局部漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

證明系統(tǒng)（1）在E2處的Jocobi 矩陣為

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其中

1.2 τ≠0 時(shí)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

對(duì)系統(tǒng)（1）在E2處作線性化處理，得

其中，T=-（a11+a22），G1=a11a22，G2=（-a12）。

定理3當(dāng)τ≠0 時(shí)，c2＜d+h 時(shí)，E1局部漸近穩(wěn)定。

證明在E1處，a11=-r，a12=-c1，K21=a21=0，a22=c2-d-h，當(dāng)c2＜d+h 時(shí)，由Routh-Hurwitz 判據(jù)得多項(xiàng)式H（λ）所有特征根都有負(fù)實(shí)部，故此時(shí)E1局部漸近穩(wěn)定。

令λ=iw 是方程（14）的一個(gè)根，對(duì)于τ＞0，有

分離實(shí)部和虛部，得

設(shè)W=w2，有

定理4由于（a11+a22）2-2G1＞0，根據(jù)Routh-Hurwitz 判據(jù)可知，當(dāng)G12＞Q2時(shí)，方程（19）所有根都有負(fù)實(shí)部，故此時(shí)方程（18）的根沒有穿過純虛數(shù)軸，則平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定。

當(dāng)G12＜Q2時(shí)，方程（16）、（17）有一正根，即

此時(shí)

這表明當(dāng)τ=τ0時(shí)，方程（14）有一對(duì)純虛數(shù)根λ=±iw0；當(dāng)τ＜τ0時(shí)，平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定。其中

下面驗(yàn)證橫截條件［14］，即

由等式（14），得

所以當(dāng)τ=τ0時(shí)，有

故橫截條件滿足。所以有以下結(jié)論：

定理5當(dāng)G12＞Q2時(shí)，對(duì)于所有τ＞0，平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)G12＜Q2成立，則τ＜τ0時(shí)，平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定，當(dāng)τ＞τ0時(shí)，平衡點(diǎn)E2不穩(wěn)定，當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)在E2附近發(fā)生Hopf 分支。

2 數(shù)值模擬

當(dāng)τ=0 時(shí)，即不考慮食餌種群孕育后代產(chǎn)生的時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響。取r=0.5，k1=11，c1=0.2，c2=0.07，m=0.1，d=0.03，h=0.05，k2=0.2，此時(shí)c2＜d+h 成立，從圖1、2 可以看出，此時(shí)系統(tǒng)（1）中的捕食者和食餌種群數(shù)量不隨時(shí)間變化而變化，但捕食者趨于滅絕，僅食餌種群長(zhǎng)久存活下去。取r=0.5，k1=11，k2=3，c1=0.08，c2=0.05，m=1，d=0.03，h=0.01，滿足，從圖3、4 可以看出，此時(shí)E2為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，且系統(tǒng)中的兩種群都隨著時(shí)間的流逝而長(zhǎng)久存活下去并未滅絕。

圖1 E1 附近的軌線

圖2 E1 穩(wěn)定時(shí)兩種群密度

圖3 E2 附近的軌線

圖4 E2 為穩(wěn)定焦點(diǎn)時(shí)兩種群密度

考慮食餌種群孕育后代產(chǎn)生的時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響，此時(shí)τ≠0。取τ=4，r=0.5，k1=11，c1=0.2，c2=0.07，m=0.1，d=0.03，h=0.05，k2=0.2，滿足定理3 的條件，此時(shí)系統(tǒng)中的捕食者滅絕，食餌種群長(zhǎng)久存活（如圖5 所示）。取h=0.02，初始條件及其它參數(shù)相同情況下，從圖6 可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，這說明在滿足一定條件下，恰當(dāng)?shù)娜藶楦深A(yù)有利于系統(tǒng)（1）兩物種的穩(wěn)定。

圖5 h=0.05 兩種群密度

圖6 h=0.02 兩種群密度

取r=0.8，k1=11，c1=0.2，c2=0.1，m=0.4，d=0.03，h=0.05，k2=0.5，τ=10，此時(shí)系統(tǒng)（1）的捕食者與食餌種群都沒有滅絕并且穩(wěn)定存活（如圖7 所示）。取r=0.5，k1=11，c1=0.08，m=0.8，c2=0.05，d=0.02，h=0.001，k2=2，τ=0.02，此時(shí)系統(tǒng)（1）在E2附近發(fā)生Hopf 分支（如圖8 所示），捕食者和食餌的種群密度呈周期性變化，隨著時(shí)間的流逝一直穩(wěn)定存在且都沒有滅絕。

圖7 τ=10時(shí)兩種群密度

圖8 τ=0.02時(shí)兩種群密度

3 結(jié)論

考慮了食餌種群孕育后代在時(shí)間上產(chǎn)生的延遲對(duì)系統(tǒng)的影響，從理論上證明了系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)存在條件，利用Routh-Hurwitz 判據(jù)證明了兩平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的成立條件，通過實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)：1）時(shí)滯不能破壞E1的局部漸近穩(wěn)定性質(zhì)；2）在滿足一定條件下，恰當(dāng)?shù)娜藶楦深A(yù)有利于系統(tǒng)（1）兩物種的穩(wěn)定；3）當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf 分支產(chǎn)生周期振蕩。