“平行線的判定與性質(zhì)”單元教學(xué)設(shè)計(jì)

陳建豪

摘? 要：在教材的結(jié)構(gòu)體系下，基于單元整體設(shè)計(jì)的視角，對(duì)章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行重新整合，按先后順序劃分為“相交線”和“平行線”兩個(gè)自然單元，“平行線的判定與性質(zhì)”作為一個(gè)整體是第二單元的內(nèi)容. 本單元用2課時(shí)進(jìn)行新知教學(xué)，讓學(xué)生在一個(gè)邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程中，在統(tǒng)一的數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)下，一氣呵成地完成“定義—判定—性質(zhì)”的學(xué)習(xí)過程，從而形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).

關(guān)鍵詞：平行線;判定;性質(zhì);單元教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

本單元的教學(xué)內(nèi)容選自滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》七年級(jí)第二學(xué)期（以下統(tǒng)稱“教材”）第十三章“相交線? 平行線”，所屬板塊“圖形與幾何”. 本章之前已經(jīng)研究了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，抽象出了直線、射線、線段、角等基本概念，也得到了線段和角這兩個(gè)基本幾何量. 在此基礎(chǔ)上，本章著重用推理的方法研究平面內(nèi)直線之間的位置關(guān)系.

在平面內(nèi)的直線中，位置關(guān)系可以分為兩類：一類是相交，另一類是平行. 在前一節(jié)課中，師生已經(jīng)從一般到特殊地研究了平面內(nèi)兩條直線的相交關(guān)系;研究了三條直線位置的一般關(guān)系——相交關(guān)系，借助“三線八角”模型，學(xué)習(xí)了同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.

本節(jié)課，將繼續(xù)沿著從一般到特殊的思路，研究三條直線位置關(guān)系的特例——一條直線與兩條平行直線相交.

平行線的研究是對(duì)圖形關(guān)系特例的研究，其研究的基本思路是：認(rèn)識(shí)平行線的概念;探索平行線的判定與性質(zhì).

研究?jī)?nèi)容：從平行線的概念出發(fā)，研究平面內(nèi)一條直線與兩條平行線相交這一特殊的“三線”位置關(guān)系和這條直線與兩條平行線相交所成的“八角”之間的大小關(guān)系，以及這兩者之間的邏輯聯(lián)系.

研究方法：借助直觀想象發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提出猜想，并初步運(yùn)用演繹推理嘗試說理;通過考察判定方法的逆向問題提出性質(zhì)的猜想，并予以說理驗(yàn)證.

平行線是初中階段研究圖形關(guān)系，并用邏輯推理的方法建立命題之間聯(lián)系，形成局部知識(shí)體系的初步實(shí)踐. 對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理能力的發(fā)展及形成研究圖形關(guān)系的一般觀念具有重要的啟蒙作用. 本單元知識(shí)的邏輯基礎(chǔ)是平行線的判定方法1，從判定方法1出發(fā)，可以得到判定方法2和判定方法3;從判定方法1的逆命題出發(fā)，可以得到性質(zhì)1，并進(jìn)一步得到性質(zhì)2和性質(zhì)3.

二、教學(xué)目標(biāo)

目標(biāo)1：知道平行線的概念及表示方法，通過操作活動(dòng)歸納平行線的判定方法1;能用平行線的判定方法1推導(dǎo)平行線的判定方法2和判定方法3，并通過說理，初步體驗(yàn)邏輯推理的方法.

目標(biāo)2：通過操作活動(dòng)，歸納平行線的性質(zhì)1;能用平行線的性質(zhì)1推導(dǎo)平行線的性質(zhì)2和性質(zhì)3，并通過說理，進(jìn)一步理解邏輯推理的表達(dá)方式.

目標(biāo)3：能用平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理并解決簡(jiǎn)單的問題.

目標(biāo)4：在操作、探究、歸納平行線的判定與性質(zhì)的過程中，感知同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系與兩直線平行之間的邏輯關(guān)系，體驗(yàn)從特殊到一般和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，提高觀察、分析、歸納、概括能力.

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

1. 教學(xué)重點(diǎn)

（1）能用平行線的判定方法1以說理的形式推導(dǎo)平行線的判定2和判定3，能用判定方法1 ～ 3進(jìn)行說理，并解決簡(jiǎn)單問題.

（2）能用平行線的性質(zhì)1以說理的形式推導(dǎo)平行線的性質(zhì)2和性質(zhì)3，能用性質(zhì)1 ～ 3進(jìn)行說理，并解決簡(jiǎn)單問題.

2. 教學(xué)難點(diǎn)

探究平行線的判定方法1、性質(zhì)1，用平行線的判定方法和性質(zhì)進(jìn)行說理.

四、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生在小學(xué)階段通過直觀操作的方式學(xué)習(xí)過平行線，但本單元要求學(xué)生初步用推理的方法進(jìn)行研究. 由于學(xué)生的演繹推理經(jīng)驗(yàn)不多，對(duì)推理過程的步驟和要求不清楚，可能導(dǎo)致學(xué)生在推理過程中分不清題設(shè)和結(jié)論. 因此，以判定方法2和判定方法3、性質(zhì)2和性質(zhì)3的說理過程為范例，通過適當(dāng)?shù)闹v解和強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生體會(huì)到“從哪里出發(fā)，依據(jù)哪些定理，推出我們所需要的結(jié)論”，再通過階段性小結(jié)理清知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程及其反映出的數(shù)學(xué)思想方法來進(jìn)行強(qiáng)化，幫助學(xué)生突破難點(diǎn).

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 復(fù)習(xí)引入

（1）兩條直線相交：四個(gè)角的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系. 具體教學(xué)流程如圖1所示.

（2）三條直線相交：三條直線交于一點(diǎn)（類似于兩條直線相交）及兩條直線被第三條直線所截;類比，引出本堂課的重要研究?jī)?nèi)容——“三線八角”. 位置關(guān)系確定的角滿足特殊的數(shù)量關(guān)系，能否推得兩條直線特殊的位置關(guān)系呢？具體教學(xué)流程如圖2所示.

【設(shè)計(jì)意圖】利用相交線探究方法的復(fù)習(xí)回顧，引出研究“三線八角”中直線特殊位置關(guān)系可能的途徑.

2. 新知學(xué)習(xí)

（1）概念學(xué)習(xí).

問題：什么叫平行線？

同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.（引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和符號(hào)語言進(jìn)行表述.）

課堂辨析：試判斷圖3中的兩條直線是平行線嗎？

（2）發(fā)現(xiàn)活動(dòng).

操作：畫已知直線a的平行線b.

學(xué)生自主操作，教師引導(dǎo)歸納操作要點(diǎn)：一靠、二移、三畫.

思考：推移三角尺的過程，保持了什么角相等？

再操作：在長(zhǎng)方形卡紙上任意剪一個(gè)三角形紙板，試著用這樣的三角形紙板和直尺推平行線并驗(yàn)證之前畫的直線b是否平行于直線a.

師生共同探討，由“特殊角的位置關(guān)系—兩條直線的位置關(guān)系”，得出平行線判定方法1——兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

簡(jiǎn)單地說：同位角相等，兩直線平行.（分別用圖形語言和符號(hào)語言進(jìn)行表述.）

運(yùn)用：用推平行線的方法，過直線外一點(diǎn)P作已知直線[l]的平行線.

【設(shè)計(jì)意圖】通過分析平行線的作圖過程，歸納出畫相等的同位角可以形成構(gòu)建平行線的方法，引導(dǎo)學(xué)生得出“同位角相等，兩直線平行”的事實(shí)，并通過操作鞏固推平行線法.

（3）推理活動(dòng).

思考：我們知道，兩條直線被第三條直線所截，同時(shí)得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角. 那么，除了利用同位角相等判定兩條直線平行外，還能有其他的判定方法嗎？

推理：猜測(cè)并嘗試說理，示范完成說理過程.（關(guān)注說理的依據(jù)，完成板演.）

師生共同探討，由“角的數(shù)量關(guān)系—兩直線的位置關(guān)系”，得出平行線判定方法2——兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.

簡(jiǎn)單地說：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.（分別用圖形語言和符號(hào)語言進(jìn)行表述.）

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)說理?xiàng)l件、結(jié)論和依據(jù)的表述，以及教師板演的形式，演示完整的說理過程，為后續(xù)學(xué)生以“同位角相等，兩直線平行”或“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”為依據(jù)自主探究平行線的判定方法3的說理做好準(zhǔn)備.

探究：小組合作，探究同旁內(nèi)角滿足怎樣的大小（數(shù)量）關(guān)系就能推得兩條直線平行，并完成說理交流.

平行線判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.

簡(jiǎn)單地說：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.（分別用圖形語言和符號(hào)語言進(jìn)行表述.）

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過小組合作自主完成平行線的判定方法3的說理，既體會(huì)了判定方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，又強(qiáng)化了對(duì)幾何說理的條件、結(jié)論的辨析，以及說理依據(jù)的正確使用.

（4）階段小結(jié).

三種判定方法的共性與關(guān)系.

（5）探究活動(dòng)（逆向）.

啟發(fā)：以兩條直線相互平行為條件，可以得出什么結(jié)論？

探究：首先，根據(jù)已有平行線，學(xué)生自主構(gòu)造同位角，并測(cè)量其大小;然后，觀察教師演示的動(dòng)態(tài)視頻，觀察得到在被截線平行的條件下，同位角始終保持相等;最后，得出平行線性質(zhì)1.

平行線性質(zhì)1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.

遷移：以平行線性質(zhì)1為依據(jù)，能否通過說理得到平行線的其他性質(zhì)？學(xué)生小組內(nèi)交流.

平行線性質(zhì)2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.

平行線性質(zhì)3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生意識(shí)到研究問題的條件和結(jié)論與之前的判定互換，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，容易想到同樣借助“三線八角”來研究. 先測(cè)量，再利用信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生觀察，在第三條直線轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，同位角的相等關(guān)系保持不變，得到平行線性質(zhì)1. 在此基礎(chǔ)上，通過說理得出平行線的性質(zhì)2和性質(zhì)3.

（6）小結(jié).

強(qiáng)調(diào)以“三線八角”模型作為探究前提;簡(jiǎn)單說明“何謂性質(zhì)”;明確條件與結(jié)論的關(guān)系特征（從直線的位置關(guān)系到角的數(shù)量關(guān)系）.

3. 新知鞏固

（1）如圖4，直線 l 與直線 a，b，c 分別相交，且∠1 = ∠2 = ∠3.

（2）如圖5所示.

（3）如圖6所示.

4. 自主小結(jié)

（1）我們研究的幾何對(duì)象是什么？研究了哪些內(nèi)容？

（2）這些知識(shí)之間有什么聯(lián)系？

（3）還有哪些收獲和體會(huì)？

5. 課后作業(yè)

基礎(chǔ)練習(xí)：教材第56頁第1小題和第2小題;教材第67頁第1小題.

拓展應(yīng)用：青浦是上海之源，據(jù)考證，崧澤人是上海最早的祖先. 小林在去崧澤博物館參加課外實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，看到展品中有一塊殘缺的石片，經(jīng)過允許，她拍照重現(xiàn)了石片的示意圖（如圖7），并嘗試補(bǔ)全這

塊殘缺石片的原貌. 小林和她的小伙伴做了幾塊黏土模型，勾勒出的示意圖如圖8 ～ 圖11所示. 試用已有知識(shí)，幫助小林選出補(bǔ)全效果最好的一塊，并說明理由.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.