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    基于“慣容—彈簧—阻尼”體系的線譜和寬帶一體化隔振器結(jié)構(gòu)綜合

    2021-11-26 03:44:28張贛波陳學(xué)東
    船舶力學(xué) 2021年11期
    關(guān)鍵詞:線譜傳遞函數(shù)共振

    張贛波,趙 耀,陳學(xué)東

    (華中科技大學(xué)a.船舶與海洋工程學(xué)院;b.機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,武漢 430074)

    0 引 言

    機(jī)械振動(dòng)是艦船隱蔽航行狀態(tài)下低頻線譜的主要來源,因此,亟需突破機(jī)械振動(dòng)線譜治理的關(guān)鍵技術(shù)[1]。當(dāng)前,針對(duì)線譜隔振技術(shù)的研究主要聚焦在混沌隔振和反共振隔振兩個(gè)方向?;煦绺粽窕凇皬?qiáng)非線性系統(tǒng)在混沌振動(dòng)狀態(tài)時(shí)具有‘線譜輸入,連續(xù)寬帶譜輸出’的特性”這一原理實(shí)施線譜重構(gòu),將集中于線譜頻率的能量分散到連續(xù)寬帶頻率中[2],但還面臨小能量控制、大參數(shù)范圍、穩(wěn)定時(shí)間、高混沌品質(zhì)等技術(shù)困難和挑戰(zhàn)[3]。反共振隔振是基于慣性力和彈性力等值反向形成反共振的原理,將線譜振動(dòng)能量吸收、轉(zhuǎn)移至儲(chǔ)能元件中,最早在直升機(jī)旋翼—機(jī)身隔振中被采用[4],隔振器型式也從最初的機(jī)械式發(fā)展為液壓式[5]和液彈式[6]。文獻(xiàn)[7]以共振轉(zhuǎn)換器作為艦船推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)低頻線譜的反共振隔振裝置,原理樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果表明可有效降低共振線譜。

    反共振隔振技術(shù)的關(guān)鍵在于引入具有兩個(gè)獨(dú)立、自由端點(diǎn)的慣性元件。具有這一動(dòng)力學(xué)特性的慣性元件被定義為“慣容”[8]。其原理是通過傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)換創(chuàng)造慣性元件發(fā)生運(yùn)動(dòng)耦合的條件,在轉(zhuǎn)換過程中同時(shí)產(chǎn)生放大效應(yīng),放大慣性元件的視在慣性。目前,已開發(fā)的慣容實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)包括齒輪齒條式、滾珠絲杠式、流體式、液壓式等[8-11],為突破傳統(tǒng)“彈簧—阻尼”隔振器結(jié)構(gòu)體系提供條件。文獻(xiàn)[12]將慣容引入車輛懸架中,組合得到21 種懸架結(jié)構(gòu)模型,采用雙目標(biāo)優(yōu)化識(shí)別出12 種新型結(jié)構(gòu)性能均優(yōu)于傳統(tǒng)懸架。文獻(xiàn)[13-14]在以一個(gè)彈簧作為主承載元件的條件下,組合不同元件數(shù)量的含慣容隔振器結(jié)構(gòu)模型,采用H2和H∞優(yōu)化算法推導(dǎo)出最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比的解析解,并從響應(yīng)放大角度與傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器進(jìn)行比較。上述研究都是先針對(duì)性地設(shè)定不同組合的“慣容—彈簧—阻尼”隔振器結(jié)構(gòu)模型,再分析隔振系統(tǒng)的隔振特性,屬于動(dòng)力學(xué)正問題研究。這種正向分析方法存在的問題在于漏解,即具有目標(biāo)特性的隔振器結(jié)構(gòu)可能不止一種組合。此外,因排列組合的不充分性,具有更優(yōu)越性能的隔振器結(jié)構(gòu)也可能被遺漏。

    艦船工程中的激勵(lì)源具有復(fù)雜性,如浮筏、推進(jìn)系統(tǒng)等,是典型的連續(xù)寬帶和離散線譜的混合激勵(lì)。在單層、雙層和浮筏隔振技術(shù)普及應(yīng)用后,寬帶振動(dòng)得到了卓有成效的治理,但不能有效降低線譜強(qiáng)度。而單獨(dú)針對(duì)線譜的反共振隔振技術(shù),寬帶隔振效果不佳。從工程需求角度出發(fā),要求降低線譜應(yīng)兼顧寬帶隔振以避免顧此失彼。

    本文將慣容引入隔振器結(jié)構(gòu)中,在“慣容—彈簧—阻尼”體系框架下開展隔振器結(jié)構(gòu)綜合的逆問題研究?;跈C(jī)電相似性,將隔振器作為一個(gè)機(jī)械網(wǎng)絡(luò),根據(jù)線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件,采用電網(wǎng)絡(luò)理論綜合出滿足要求的兩種隔振器結(jié)構(gòu),并進(jìn)行隔振特性和阻尼影響分析。所綜合的兩種隔振器結(jié)構(gòu)具有工程可實(shí)現(xiàn)性,為線譜和寬帶一體化隔振提供了一種被動(dòng)控制技術(shù)途徑。

    1 慣容基本特性

    1.1 慣容的動(dòng)力學(xué)模型

    具有兩個(gè)獨(dú)立、自由端點(diǎn)的慣性元件稱之為慣容,其慣性力與兩端點(diǎn)的相對(duì)加速度成正比[8],關(guān)系式為

    式中,比例系數(shù)b為常數(shù),稱之為慣質(zhì),單位為kg;vi是兩端點(diǎn)速度,i= 1,2。

    慣容與彈簧和阻尼一樣同屬于兩端點(diǎn)元件,其兩端點(diǎn)的加速度是慣性坐標(biāo)系下的絕對(duì)加速度,兩端點(diǎn)的絕對(duì)加速度之差產(chǎn)生慣容的慣性力。而質(zhì)量(或慣量)是單端點(diǎn)元件,單端點(diǎn)的加速度就是慣性坐標(biāo)系下的絕對(duì)加速度,直接產(chǎn)生慣性力。慣容和質(zhì)量的慣性力與加速度的關(guān)系描述見圖1。從兩端點(diǎn)的一般性看,質(zhì)量元件的另一個(gè)端點(diǎn)固定在慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn),相當(dāng)于接地的慣容。因此,慣容是更具一般性的慣性元件,而質(zhì)量是特殊性的慣性元件。

    圖1 慣容和質(zhì)量的慣性力與加速度的關(guān)系Fig.1 Relationship between inertia force and acceleration of inerter and mass

    1.2“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關(guān)系規(guī)律

    在慣容被物理實(shí)現(xiàn)后,機(jī)械系統(tǒng)和電氣系統(tǒng)建立起嚴(yán)格相似關(guān)系。在“力—電流”第二類機(jī)電相似理論中,機(jī)械系統(tǒng)的慣容、彈簧、阻尼分別與電氣系統(tǒng)的電容、電感、電阻相對(duì)應(yīng),為機(jī)械系統(tǒng)應(yīng)用成熟的電網(wǎng)絡(luò)綜合理論創(chuàng)造條件。據(jù)此,建立如圖2 所示的隔振系統(tǒng)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)模型。類比電網(wǎng)絡(luò),隔振器可看作一個(gè)雙端接載的無源雙口四端網(wǎng)絡(luò),輸入輸出端特征參數(shù)以力fi、fo和速度vi、vo表示。輸入端負(fù)載是被隔振設(shè)備阻抗Zm,輸出端負(fù)載是基礎(chǔ)(或基座)阻抗Zf。若隔振器阻抗為Zi,則以機(jī)械阻抗表示的隔振系統(tǒng)力傳遞函數(shù)為

    圖2 隔振系統(tǒng)的機(jī)械網(wǎng)絡(luò)模型Fig.2 Mechanical network model of vibration isolation system

    將慣容、彈簧、阻尼三元件串并聯(lián)組合成隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)模型,共有8種組合方式,如圖3所示。

    圖3 慣容、彈簧、阻尼三元件組合方式Fig.3 Combination types of inerter-spring-damping three elements

    根據(jù)阻抗的串并聯(lián)關(guān)系式,這8種組合方式的機(jī)械阻抗分別為

    式中,k、c分別為彈簧剛度和阻尼系數(shù),s為復(fù)數(shù)。

    從圖4可以總結(jié)“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關(guān)系規(guī)律為:反共振的條件是慣容和彈簧并聯(lián),如組合方式(a)、(e);在并聯(lián)的慣容和彈簧結(jié)構(gòu)中串聯(lián)阻尼,將破壞反共振的條件,如組合方式(f)、(g);在串聯(lián)的慣容和彈簧結(jié)構(gòu)中增加阻尼,都不會(huì)出現(xiàn)反共振,如組合方式(b)、(c)、(d)、(h)。

    圖4 不同組合方式的力傳遞函數(shù)幅頻特性Fig.4 Amplitude-frequency characteristics of force transfer function corresponding to different types

    2“慣容—彈簧”機(jī)械網(wǎng)絡(luò)綜合理論

    2.1 線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件

    技術(shù)條件是指所設(shè)定的隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)特性要求。在隔振系統(tǒng)分析中,通常以力傳遞率作為理論分析依據(jù)。為此,以力傳遞特性要求描述線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件。

    以反共振隔振作為線譜隔振的技術(shù)途徑,而寬帶隔振則采用傳統(tǒng)的隔振技術(shù)。反共振隔振的特征反映在力傳遞函數(shù)曲線上是存在陷波的反共振峰,而寬帶隔振的特征是在隔振區(qū)力傳遞函數(shù)曲線具有一定的衰減斜率,即力傳遞函數(shù)幅值單調(diào)遞減。

    圖5展示了單層隔振和動(dòng)力吸隔振的力傳遞函數(shù)幅頻特性。動(dòng)力吸隔振表現(xiàn)出較好的線譜和寬帶一體化隔振特性,在線譜激勵(lì)頻率處出現(xiàn)反共振峰,而在第二階共振峰之后隔振區(qū)的力傳遞函數(shù)曲線與單層隔振的力傳遞函數(shù)曲線趨于重合,具有相同的衰減斜率。根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)的隔振與電氣系統(tǒng)的濾波在原理上的相似性,線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件反映在力傳遞函數(shù)曲線上,是在不同頻帶內(nèi)具有不同類型的“濾波”特征,如圖5所示的低通帶、陷波阻帶和高阻帶。

    圖5 單層隔振和動(dòng)力吸隔振的力傳遞函數(shù)幅頻特性比較Fig.5 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function between vibration isolation and dynamic vibration absorption

    2.2 力傳遞函數(shù)綜合方法

    在機(jī)械系統(tǒng)的基本元件中,阻尼元件不改變機(jī)械系統(tǒng)的特性,表現(xiàn)為不影響傳遞函數(shù)曲線的基本特征,其影響局限在共振區(qū)和反共振區(qū)。故以慣容、彈簧二類元件進(jìn)行隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)綜合。

    線譜隔振通過反共振實(shí)現(xiàn)。類比濾波器原理,濾波器的類型由分子多項(xiàng)式所決定。機(jī)械系統(tǒng)的反共振隔振即屬于陷波濾波器類型。陷波濾波器的構(gòu)成要求力傳遞函數(shù)分子是形如b2s2+b0的2 階多項(xiàng)式。

    寬帶隔振要求力傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階數(shù)高于分子多項(xiàng)式。對(duì)于傳統(tǒng)隔振器結(jié)構(gòu),單層隔振系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式階數(shù)比分子多項(xiàng)式高2 階,為使得一體化隔振力傳遞函數(shù)在隔振區(qū)的衰減斜率達(dá)到單層隔振的下降水平,則一體化隔振力傳遞函數(shù)分母應(yīng)是形如a4s4+a2s2+a0的4階多項(xiàng)式。

    因此,線譜和寬帶一體化隔振的力傳遞函數(shù)的一般形式為

    式中,a0、a2、a4、b0、b2都是正的常系數(shù),分母是嚴(yán)格霍爾維茨多項(xiàng)式,僅有s復(fù)平面左半平面的根[15]。

    假設(shè)基礎(chǔ)剛性,隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)退化為單端接載的雙口無源網(wǎng)絡(luò),由圖2列出方程組:

    式中,z11和z21是隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)阻抗矩陣的原點(diǎn)和跨點(diǎn)阻抗。對(duì)于無源網(wǎng)絡(luò),力流無損失,有

    z11=z21。

    由此推導(dǎo)出隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的力傳遞函數(shù)為

    式(13)表明,隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的力傳遞函數(shù)與其阻抗具有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)“力—電流”第二類機(jī)電相似理論,對(duì)于由慣容、彈簧二類元件構(gòu)成的無源機(jī)械網(wǎng)絡(luò),z11、z21是關(guān)于s的有理正實(shí)奇函數(shù)[15]??紤]被隔振設(shè)備阻抗Zm=ms,進(jìn)而可推知T(s)是關(guān)于s的偶函數(shù),這進(jìn)一步印證了式(11)的正確性。

    令z11=z21=N(s)D(s),其中,N(s)是分子多項(xiàng)式,D(s)是分母多項(xiàng)式,代入式(13),整理得

    根據(jù)式(11),在力傳遞函數(shù)分母是4 階多項(xiàng)式的條件下,D(s)必定是形如a3s3+a1s的3 階多項(xiàng)式。由此得到“慣容—彈簧”隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的阻抗表達(dá)式為

    式中,a1、a3都是正的常系數(shù),

    這樣,滿足線譜和寬帶一體化隔振技術(shù)條件的力傳遞函數(shù)綜合轉(zhuǎn)換為隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)綜合。

    3“慣容—彈簧—阻尼”隔振器結(jié)構(gòu)綜合

    3.1 隔振器結(jié)構(gòu)綜合

    在得到線譜和寬帶一體化隔振器的機(jī)械網(wǎng)絡(luò)阻抗函數(shù)的一般表達(dá)式后,可根據(jù)阻抗或其倒數(shù)導(dǎo)納綜合出隔振器的結(jié)構(gòu)形式。由于阻抗綜合的結(jié)構(gòu)是并聯(lián)網(wǎng)絡(luò),而導(dǎo)納綜合的結(jié)構(gòu)是串聯(lián)網(wǎng)絡(luò),按導(dǎo)納綜合,式(15)可展開成如下多項(xiàng)式

    式中,最右端第1項(xiàng)是彈簧導(dǎo)納,第2項(xiàng)是慣容和彈簧二元件并聯(lián)導(dǎo)納。

    按阻抗綜合,式(15)可展開成如下多項(xiàng)式

    式中,最右端第1項(xiàng)是彈簧阻抗,第2項(xiàng)是慣容和彈簧二元件串聯(lián)阻抗。

    因此,滿足線譜和寬帶一體化隔振要求的隔振器結(jié)構(gòu)應(yīng)包括2個(gè)彈簧和1個(gè)慣容。由于慣容不具有獨(dú)立承載能力,一旦超過工作行程將出現(xiàn)“擊穿”短路,需要其中1個(gè)彈簧的并聯(lián)防護(hù)。

    按照上述兩種綜合方法構(gòu)建的隔振器結(jié)構(gòu)形式如圖6 所示。結(jié)構(gòu)Ⅰ是兩級(jí)串聯(lián)型,“慣容—彈簧”并聯(lián)作為第一級(jí),第2個(gè)彈簧作為第二級(jí);結(jié)構(gòu)Ⅱ是單級(jí)并聯(lián)型,“慣容—彈簧”串聯(lián)作為第一個(gè)并聯(lián)分支,第2個(gè)彈簧作為第二個(gè)并聯(lián)分支。

    圖6 隔振器結(jié)構(gòu)形式Fig.6 Isolator structure

    結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的反共振頻率分別為

    在相同動(dòng)力參數(shù)條件下,ωⅠ>ωⅡ。

    為控制隔振系統(tǒng)的共振響應(yīng),在隔振器結(jié)構(gòu)構(gòu)成中還應(yīng)設(shè)置阻尼,但阻尼元件數(shù)量是可選項(xiàng)。雖然阻尼的排列不影響力傳遞函數(shù)的性質(zhì),但有可能破壞反共振條件。根據(jù)前述“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關(guān)系規(guī)律,阻尼應(yīng)并聯(lián)排列,如圖6中的虛線位置。

    3.2 隔振特性分析

    設(shè)定阻尼元件數(shù)量不超過2 個(gè),記為c1、c2,隔振器Ⅰ有3 種阻尼排列方式,分別記為Ⅰ1、Ⅰ2、Ⅰ3。隔振器Ⅱ有6種阻尼排列方式,分別記為Ⅱ1、Ⅱ2、Ⅱ3、Ⅱ4、Ⅱ5、Ⅱ6。

    圖7 隔振器Ⅰ的力傳遞函數(shù)幅頻特性Fig.7 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function of Isolator Ⅰ

    圖8 隔振器Ⅱ的力傳遞函數(shù)幅頻特性Fig.8 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function of Isolator Ⅱ

    對(duì)比看出,基于“慣容—彈簧—阻尼”結(jié)構(gòu)體系的隔振器Ⅰ、Ⅱ的力傳遞函數(shù)曲線都存在反共振峰,在隔振區(qū)的衰減斜率與傳統(tǒng)隔振器也基本一致,證實(shí)了上述關(guān)于隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)綜合方法的正確性。

    觀察隔振器Ⅰ2和Ⅱ3,其力傳遞函數(shù)曲線在隔振區(qū)的衰減斜率較其他結(jié)構(gòu)的力傳遞函數(shù)曲線更大,原因在于結(jié)構(gòu)Ⅰ2和Ⅱ3力傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式與分子多項(xiàng)式的階數(shù)差比其他結(jié)構(gòu)力傳遞函數(shù)大1階。在隔振區(qū),結(jié)構(gòu)Ⅰ2和Ⅱ3力傳遞函數(shù)曲線的下降速度為12 dB/Oct.,是其他結(jié)構(gòu)的2 倍,達(dá)到雙層隔振的衰減水平。

    3.3 阻尼影響

    阻尼的影響集中在共振區(qū)和反共振區(qū),其作用是控制共振峰和反共振峰的幅值。通過比較力傳遞函數(shù)共振峰和反共振峰幅值的變化,可以識(shí)別不同位置阻尼的影響機(jī)制。

    對(duì)于隔振器Ⅰ3,對(duì)比圖7中Ⅰ1和Ⅰ3,可推知c2主要決定第1階共振峰和反共振峰的幅值,并且對(duì)兩者的影響作用相反,在降低第1 階共振峰幅值的同時(shí),也增大反共振峰的幅值,即削弱線譜隔振效果;由圖7中Ⅰ2和Ⅰ3對(duì)比推知c1主要影響第2階共振峰幅值。

    阻尼c1和c2的影響作用和效果可以從圖9進(jìn)一步驗(yàn)證。在隔振區(qū),增加阻尼c1會(huì)相應(yīng)增大力傳遞函數(shù)幅值,不利于寬帶隔振。而改變阻尼c2對(duì)寬帶隔振效果幾乎無影響,但會(huì)顯著地影響線譜隔振效果。因此,隔振器Ⅰ的寬帶隔振效果可通過調(diào)節(jié)阻尼c1改善,而線譜隔振效果由阻尼c2調(diào)節(jié)。

    圖9 隔振器Ⅰ3關(guān)于阻尼的影響Fig.9 Effect of damping on Isolator Ⅰ3

    對(duì)于隔振器Ⅱ,由圖8 中Ⅱ2和Ⅱ4、Ⅱ3和Ⅱ5對(duì)比,可推知c1決定第1 階共振峰和反共振峰的幅值,并且對(duì)兩者的影響作用也是相反的,第1個(gè)共振峰幅值被抑制的同時(shí),會(huì)增大反共振峰幅值;由圖8中Ⅱ1和Ⅱ4、Ⅱ5對(duì)比推知c2主要決定第2個(gè)共振峰幅值。

    圖10具體展示阻尼c1和c2對(duì)隔振器Ⅱ4的影響作用和效果。在隔振區(qū),力傳遞函數(shù)幅值與阻尼c1和c2正相關(guān),增加阻尼c1和c2都會(huì)降低寬帶隔振效果。因此,阻尼c1同時(shí)決定了隔振器結(jié)構(gòu)Ⅱ4的線譜和寬帶隔振效果,而阻尼c2主要影響寬帶隔振效果。

    圖10 隔振器Ⅱ4關(guān)于阻尼的影響Fig.10 Effect of damping on Isolator Ⅱ4

    隔振器Ⅱ5關(guān)于阻尼的影響見圖11。阻尼c1主要影響第1 階共振峰幅值和寬帶隔振效果,而第2階共振峰幅值和線譜隔振效果由阻尼c2決定。因此,隔振器Ⅱ5的線譜和寬帶隔振效果可以分別通過阻尼c1、c2進(jìn)行獨(dú)立調(diào)節(jié),相對(duì)于隔振器Ⅱ4更有結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)。

    圖11 隔振器Ⅱ5關(guān)于阻尼的影響Fig.11 Effect of damping on Isolator Ⅱ5

    4 結(jié) 論

    (1)在“慣容—彈簧—阻尼”三元件匹配關(guān)系中,慣容和彈簧并聯(lián)形成反共振,在并聯(lián)的慣容和彈簧結(jié)構(gòu)中串聯(lián)阻尼,將破壞反共振的條件,而在串聯(lián)的慣容和彈簧結(jié)構(gòu)中增加阻尼也不會(huì)出現(xiàn)反共振。

    (2)線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件反映在力傳遞函數(shù)表達(dá)式上時(shí),分子多項(xiàng)式包含偶次的2階多項(xiàng)式,通過反共振實(shí)現(xiàn)線譜隔振;分母多項(xiàng)式的階數(shù)比分子多項(xiàng)式至少高1 階,通過力傳遞函數(shù)幅值單調(diào)遞減實(shí)現(xiàn)寬帶隔振。

    (3)存在兩種類型的滿足線譜和寬帶一體化隔振技術(shù)條件的隔振器結(jié)構(gòu),分別是兩級(jí)串聯(lián)型和單級(jí)并聯(lián)型;為實(shí)現(xiàn)線譜隔振效果和寬帶隔振效果的獨(dú)立調(diào)節(jié),可以在兩級(jí)串聯(lián)型隔振器結(jié)構(gòu)中與第一級(jí)和第二級(jí)各并聯(lián)1個(gè)阻尼元件,或者在單級(jí)并聯(lián)型隔振器結(jié)構(gòu)中與分支和慣容各并聯(lián)1個(gè)阻尼元件。

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