不同屈服準(zhǔn)則對完好管道失效壓力的影響分析

孫明明，李 昕

（1.鄭州大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院，鄭州 450001；2.大連理工大學(xué)a.海岸和近海工程國家重點(diǎn)實驗室，b.工程抗震研究所，遼寧大連 116024）

0 引 言

鋼管作為一種安全、經(jīng)濟(jì)的油氣輸送方式，在世界范圍內(nèi)得到廣泛應(yīng)用[1-2]。為了安全使用管道系統(tǒng)，有必要了解其所能承受的最大壓力負(fù)荷。因此，準(zhǔn)確預(yù)測其爆破壓力是管道安全性和完整性評價中的重要考慮因素。內(nèi)壓失效壓力通常被定義為在塑性失效時管道的極限載荷或失效壓力。為了獲得管道爆破壓力的計算模型，專家學(xué)者進(jìn)行了大量的理論、數(shù)值和實驗研究，提出了無缺陷管道極限內(nèi)壓的解析公式或經(jīng)驗公式。

Cooper[3]和Svensson[4]通過使用von Mises 屈服準(zhǔn)則和塑性失穩(wěn)理論得到了柱形和球形容器失效壓力的理論公式；Hiller[5]對承受內(nèi)壓和軸向載荷的薄壁管道進(jìn)行了同類的理論失穩(wěn)研究；Updike 等[6]基于同樣的von Mises 準(zhǔn)則，提出了預(yù)測拉伸塑性失穩(wěn)中軸對稱薄壁壓力容器極限載荷的數(shù)學(xué)模型。由于von Mises 屈服準(zhǔn)則表達(dá)式的非線性，使得基于該準(zhǔn)則對結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性分析時得到的相關(guān)解表達(dá)式變得復(fù)雜。

針對完好管道失效壓力，Zhu 等[7]應(yīng)用Tresca 屈服準(zhǔn)則得到了管道爆破壓力。對于Tresca 屈服準(zhǔn)則，由于其未考慮中間主應(yīng)力的影響，對于部分材料是偏保守的，不能充分體現(xiàn)材料的潛在強(qiáng)度。Steward 等[8]分別基于Tresca 和von Mises 屈服準(zhǔn)則，提出了兩種無缺陷管道破裂壓力理論解，發(fā)現(xiàn)不同延性鋼的失效壓力實驗數(shù)據(jù)介于兩種準(zhǔn)則的預(yù)測之間：Tresca 屈服準(zhǔn)則預(yù)測失效壓力的下限和von Mises 屈服準(zhǔn)則預(yù)測失效壓力的上限。此外，Zhu 等[9]提出了平均剪應(yīng)力屈服(ASSY)準(zhǔn)則，用于對薄壁管道爆破壓力的預(yù)測，證明了該準(zhǔn)則的適用性。應(yīng)力屈服準(zhǔn)則[10]也被用于結(jié)構(gòu)的彈塑性分析中，取得了較為滿意的結(jié)果[11]。

Zhu等[9]和Law等[12]對薄壁管道的爆破壓力公式進(jìn)行了比較評述，Christopher等[13]對厚壁容器的爆破壓力估算進(jìn)行了比較研究，認(rèn)為目前還沒有一種準(zhǔn)確和被廣泛接受的評估方法。針對管道爆破失效壓力的研究可知，不同屈服準(zhǔn)則或者強(qiáng)度理論都有其自身的適用性，但是具體哪種屈服準(zhǔn)則適合哪種屬性材料尚無定論。Zhu等[14-15]認(rèn)為：Tresca準(zhǔn)則適用于高應(yīng)變強(qiáng)化材料；von Mises準(zhǔn)則適用于低應(yīng)變強(qiáng)化材料；而兩者的平均值可以用于預(yù)測中等應(yīng)變強(qiáng)化材料的極限內(nèi)壓荷載。該結(jié)論沒有給出具體管道屬性與屈服準(zhǔn)則的對應(yīng)關(guān)系，因而在應(yīng)用上有其局限性。統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則[16-18]是一種體現(xiàn)中間主應(yīng)力效應(yīng)以及能夠適用于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的一種強(qiáng)度理論。統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則從一個統(tǒng)一的力學(xué)模型出發(fā)，得出一個統(tǒng)一形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以適用于不同屬性的材料。該理論對工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行極限分析具有優(yōu)勢，克服了單一屈服準(zhǔn)則適用范圍局限性的不足。本文基于該屈服準(zhǔn)則的內(nèi)壓失效解析解，根據(jù)實際完好管道爆破試驗，分析了不同材料屬性管道內(nèi)壓失效時適應(yīng)的屈服準(zhǔn)則，并給出一種適用于多種鋼材屬性的無缺陷管道破裂壓力的改進(jìn)解析解。

1 爆破壓力的解析解

1.1 簡化與假設(shè)

為了推導(dǎo)完好管道極限內(nèi)壓荷載解析解，首先引入如下假設(shè)：（1）管道為薄壁結(jié)構(gòu)；（2）管材在大塑性變形下，材料不可壓縮；（3）對于長管道，忽略內(nèi)壓作用下其軸向應(yīng)變[19-20]；（4）基于Hill 的塑性功假設(shè)和薄壁管道的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)[9,21]。

海底管道在內(nèi)壓荷載作用下，隨著內(nèi)壓的逐漸增加，管道的橫截面逐漸擴(kuò)展，壁厚逐漸減少。管道外壁首先達(dá)到屈服，并逐漸沿著管壁厚度擴(kuò)展，當(dāng)內(nèi)壓荷載達(dá)到特定值時，管壁厚度方向全部達(dá)到屈服，當(dāng)管材的應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)不再能補(bǔ)償內(nèi)壓荷載引起的管壁減薄時，從而引起管道局部的膨脹和破裂，管道發(fā)生失效破壞，此時對應(yīng)的內(nèi)壓荷載為管道的極限內(nèi)壓荷載，也就是爆破內(nèi)壓或失效內(nèi)壓管線在接近塑性倒塌破壞時，通常會發(fā)生較大的塑性變形。在這種情況下，考慮用應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)來描述鋼管的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)。

1.2 統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則

統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則[16-18]規(guī)定當(dāng)兩個較大主剪應(yīng)力的某個函數(shù)達(dá)到極限值時，材料就會失效。該理論包括了第二主應(yīng)力σ2對材料強(qiáng)度的貢獻(xiàn)，并采用統(tǒng)一的力學(xué)模型描述了材料的塑性特征。對于鋼質(zhì)管道可看做拉壓同性材料，統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中，τ13、τ12和τ23分別為主剪應(yīng)力。如果σ1、σ2和σ3是主應(yīng)力，并且σ1≥σ2≥σ3，則τ13=(σ1-σ3)/2，τ12=(σ1-σ2)/2，τ23=(σ2-σ3)/2。C為材料強(qiáng)度參數(shù)，可以表達(dá)為

式中，σUE為統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則的等效應(yīng)力。將式（2）代入式（1）可得

參數(shù)b是反映中間主剪應(yīng)力影響的權(quán)系數(shù)。從統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則中可以看出參數(shù)b具有重要的作用，它反映了中間主剪應(yīng)力對材料塑性失效的影響程度。另一方面，它也把不同的屈服準(zhǔn)則有區(qū)分地聯(lián)系了起來。對于不同的b值，統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則代表或接近所有通用的屈服準(zhǔn)則。因此，統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則不能被認(rèn)為是一個簡單的屈服準(zhǔn)則，而是一個包含一系列屈服準(zhǔn)則的理論體系，它可以適用于各種不同的材料。

1.3 爆破壓力推導(dǎo)

在內(nèi)壓荷載作用下，管道失效之前往往要經(jīng)歷大的塑性變形，研究表明采用冪次強(qiáng)化模型可以很好考慮應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)，冪次強(qiáng)化模型可以表示為

式中，K為強(qiáng)化系數(shù)，n為強(qiáng)化指數(shù)，σ′為真實應(yīng)力，ε′為真實應(yīng)變。

管道是薄壁結(jié)構(gòu)，由平衡方程可知：

式中，D′為管道在內(nèi)壓荷載作用下發(fā)生變形后的外直徑，t′為發(fā)生變形后的管道厚度。該平衡方程在彈性階段和塑性階段都成立，同時適用于小應(yīng)變理論和有限應(yīng)變理論。在管道發(fā)生大的塑性變形時，管材可近似認(rèn)為不可壓縮，εθ+εr+εz= 0，軸向應(yīng)變很小可以忽略不計，εz≈0[19-20]，因此εθ= -εr.根據(jù)有限應(yīng)變理論，管道的應(yīng)變可以表示為

同理，

式中，D為管道發(fā)生變形前的外直徑，t為發(fā)生變形前的管道厚度。

基于Hill的塑性功假設(shè)和薄壁管道的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)[3,20]，

式中，εUE表示統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則等效應(yīng)力對應(yīng)的等效應(yīng)變。將式（8）和式（9）代入式（10），得

根據(jù)式（8）可以得到：

根據(jù)式（4）、式（5）、式（9）和式（13），管道內(nèi)壓可以表示為

當(dāng)爆破失效壓力P取到極值時，對式（14）等效應(yīng)變εUE求導(dǎo)數(shù)為0，即

根據(jù)工程極限抗拉強(qiáng)度σu，強(qiáng)化系數(shù)K可以表示為[8]

將式（15）和式（16）代入式（14），可以得到不同屈服準(zhǔn)則的完好管道的極限內(nèi)壓荷載：

1.4 解析解討論

必須指出，以上基于對管線進(jìn)行塑性破壞分析的統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則的失效壓力預(yù)測方法克服了單一屈服準(zhǔn)則針對一種或幾種特殊材料的局限性。統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則是反映中間主應(yīng)力效應(yīng)的強(qiáng)度理論，適用于復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，同時也適用于不同性質(zhì)的材料。該理論在工程結(jié)構(gòu)極限分析中具有優(yōu)勢，克服了單一屈服準(zhǔn)則的局限性[22]。由式（17）可知，管道失效壓力受參數(shù)b、強(qiáng)化指數(shù)n、壁厚t、直徑D和抗拉強(qiáng)度σu影響。其中參數(shù)b決定了中間主剪應(yīng)力對爆破壓力和屈服準(zhǔn)則的影響，該參數(shù)不同取值可以得到不同屈服準(zhǔn)則下封閉管道爆破壓力解：

（1）當(dāng)b=0 時，管道失效等效應(yīng)力僅由第一主剪應(yīng)力決定，這個由式（17）給出的解析解為Tresca屈服準(zhǔn)則的失效壓力解：

（2）當(dāng)b=(8 3 - 10)/23 ≈0.168 時，管道失效等效應(yīng)力主要由第一主剪應(yīng)力決定，式（17）解析解為基于平均剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則（ASSY）的失效壓力解:

（3）當(dāng)b=1/（1+ 3）≈0.366 時，管道失效等效應(yīng)力主要由第一主剪應(yīng)力決定，式（17）解析解為基于von Mises 準(zhǔn)則的失效壓力解：

（4）當(dāng)b=1 時，管道失效等效應(yīng)力由第一主剪應(yīng)力和第二主剪應(yīng)力共同決定，兩者權(quán)重一致，式（17）解析解為基于雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則（TSSY）的失效壓力解：

2 管道內(nèi)壓失效強(qiáng)度差異與失效壓力計算

Zhu和Leis[7,9,14-15]指出，不同材料屬性的鋼制管道適應(yīng)的屈服準(zhǔn)則并不相同，而且爆破壓力的預(yù)測和屈服準(zhǔn)則的選擇主要隨材料的屈強(qiáng)比和強(qiáng)化指數(shù)n的變化而變化。因為統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則（UYC）不是一個簡單的強(qiáng)度準(zhǔn)則，而是一個包含一系列強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論體系。它可以適用于各種不同的材料，該屈服準(zhǔn)則克服了單一屈服準(zhǔn)則的局限性，因此采用該模型進(jìn)行管道內(nèi)壓失效屈服準(zhǔn)則差異性分析。由1.3節(jié)分析討論可知，管道屈服準(zhǔn)則的選擇主要由參數(shù)b決定。

2.1 管道在內(nèi)壓作用下參數(shù)b的確定

為了得到不同材料屬性鋼制管道內(nèi)壓失效適應(yīng)的屈服準(zhǔn)則，決定選取實際完好管道內(nèi)壓失效實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。令完好管道實際爆破壓力P0和基于統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則的管道失效壓力解析解式（17）相等：

則有

管道的應(yīng)力應(yīng)變真實值和工程值的關(guān)系可以表示為

式中，ε′為真實應(yīng)變，ε為工程應(yīng)變，σ′為真實應(yīng)力，σ為工程應(yīng)力。

強(qiáng)化指數(shù)n和應(yīng)變的關(guān)系可以表示為[14-15]

式中，εu和ε'u分別是極限拉應(yīng)變工程值和真實值，

由式（4）、式（24）和式（25）可以得到強(qiáng)化指數(shù)與屈服強(qiáng)度和極限抗拉強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系：

通常將對應(yīng)于塑性應(yīng)變?yōu)?.2%時的應(yīng)力定義為屈服強(qiáng)度，此時屈服應(yīng)變εy= 0.002 +σy/E，E為管道彈性模量。

式（26）表明，管材的屈強(qiáng)比是應(yīng)變強(qiáng)化指數(shù)和屈服應(yīng)變εy的函數(shù)。在已知管材的屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度的情況下，可求解得到管材的強(qiáng)化指數(shù)。

本文搜集了55個管道全尺寸爆破試驗，Mok等[23]做了兩例關(guān)于X60的完好管道破壞實驗；Liessem等[24]做了7 例關(guān)于X60、X65、X70 和X80 的完好管道破壞實驗；Hillenbrand 等[25]做了兩例關(guān)于X100 的完好管道破壞實驗；Okaguchi 等[26]做了兩例關(guān)于X80 和X120 的完好管道破壞實驗；Papka 等[27]做了9例關(guān)于X120完好管道破壞實驗；Paslay 等[28]做了14例從K50-Q125的完好管道破壞實驗；Netto 等[29]做了1 例關(guān)于AISI 1020 完好管道破壞實驗；Freire 等[30]做了1 例關(guān)于X80 完好管道破壞實驗；Benjamin等[31]做了1 例關(guān)于X80 完好管道破壞實驗；帥健[32]搜集了8 例關(guān)于X46 和X52 的完好管道破壞實驗；Cronin 等[33]做了8 例關(guān)于X46 和X52 完好管道破壞實驗。完好管道爆破實驗鋼材強(qiáng)度從AISI 1020 到X120，實驗涵蓋了低、中和高三種等級強(qiáng)度鋼材。具體實驗數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 實驗數(shù)據(jù)Tab.1 Test data

圖1為55個完好管道爆破試驗中，由爆破壓力計算得到的參數(shù)b與相應(yīng)的強(qiáng)化指數(shù)n關(guān)系圖。強(qiáng)化指數(shù)n從0.06～0.18 基本涵蓋了強(qiáng)化指數(shù)n所有數(shù)值[14-15]。由圖1 中看出，von Mises 屈服準(zhǔn)則結(jié)果是鋼制管道內(nèi)壓失效的上限，Tresca屈服準(zhǔn)則結(jié)果是內(nèi)壓失效下限，TSSY失效準(zhǔn)則不適用于鋼制管道內(nèi)壓失效破壞準(zhǔn)則。

圖1 完好管道強(qiáng)化指數(shù)與屈服準(zhǔn)則Fig.1 n and yield criteria of defect-free pipeline

考慮到晶體結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)工藝的差異性，即使同一種強(qiáng)化指數(shù)的材料，其內(nèi)壓失效時所適合的屈服準(zhǔn)則也并不相同，當(dāng)0.06 ≤n< 0.11時，這種差異性最為明顯。管道失效時屈服準(zhǔn)則的不同，失效壓力計算結(jié)果也并不相同，當(dāng)管道強(qiáng)度指數(shù)n在（0，0.18）范圍內(nèi)時，管道屈服準(zhǔn)則適用范圍為在von Mises屈服準(zhǔn)則和Tresca 屈服準(zhǔn)則之間。在進(jìn)行管道爆破壓力預(yù)測時，運(yùn)用von Mises 準(zhǔn)則得到的是爆破壓力的上限，Tresca準(zhǔn)則得到的是爆破壓力下限。

由圖1看出，完好管道的屈服準(zhǔn)則主要分為三部分：

（1）當(dāng)0 ≤n< 0.06時，根據(jù)完好管道爆破試驗確定的參數(shù)b分布在0和0.168之間，該類型管材運(yùn)用ASSY準(zhǔn)則得到的是爆破壓力的上限，Tresca準(zhǔn)則得到的是爆破壓力下限；

（2）當(dāng)0.06 ≤n< 0.11 時，完好管道爆破試驗確定的參數(shù)b分布在0 和0.366 之間，該類型管材運(yùn)用von Mises準(zhǔn)則得到的是爆破壓力的上限，Tresca準(zhǔn)則得到的是爆破壓力下限；

（3）當(dāng)0.11 ≤n< 0.18時，完好管道爆破試驗確定的參數(shù)b分布在0和0.168之間，該類型管材運(yùn)用ASSY準(zhǔn)則得到的是爆破壓力的上限，Tresca準(zhǔn)則得到的是爆破壓力下限。

2.2 改進(jìn)管道失效壓力計算

圖2為參數(shù)b隨著強(qiáng)化指數(shù)n的變化趨勢圖，虛線為變化趨勢線。

圖2 參數(shù)b變化趨勢圖Fig.2 Variation of b with n

由圖中可以看出，完好管道的爆破試驗數(shù)據(jù)大致呈“鐘形”分布，兩邊低，中間高。實驗數(shù)據(jù)點(diǎn)大致關(guān)于n= 0.085 對稱，當(dāng)n→0 和n→0.18 時，b值趨向于0。根據(jù)參數(shù)b變化規(guī)律，考慮采用下列方式進(jìn)行參數(shù)b的擬合：

（1）參數(shù)b以n= 0.085呈軸對稱分布；

（2）0 ≤n< 0.075和0.095 ≤n< 0.18范圍內(nèi)參數(shù)b采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合；

（3）0.075 ≤n≤0.095范圍內(nèi)參數(shù)b采用凸函數(shù)擬合，因為參數(shù)b最大值為0.391，該函數(shù)最大值為0.391；

（4）分段函數(shù)在n= 0.075和n= 0.095兩個節(jié)點(diǎn)數(shù)值相等。

根據(jù)參數(shù)b隨著強(qiáng)化指數(shù)n的變化趨勢，擬合函數(shù)如下：

2.3 改進(jìn)計算方法驗證

表2 不同計算方法誤差絕對值比較Tab.2 Comparison of the errors of different calculation methods

由表2中可以看出，統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則計算方法平均誤差最小為4.3%，將完好管道失效壓力平均誤差控制在5%以內(nèi)。其它方法誤差從小到大依次為：Tresca 屈服準(zhǔn)則、ASSY 屈服準(zhǔn)則和von Mises 準(zhǔn)則。統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則計算方法最大誤差為14%，是所有計算方法中最小值，誤差最小值為0.157%，僅低于von Mises屈服準(zhǔn)則。

表3為不同誤差區(qū)間頻率分布，表中數(shù)據(jù)為誤差范圍內(nèi)的實例數(shù)量與總數(shù)的比值。由表3中可以看出，改進(jìn)統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則實例驗證中有36.36%的誤差控制在2%以內(nèi)，超過現(xiàn)有評價方法最大值（Tr?esca 準(zhǔn)則）的兩倍；41.82%的誤差控制在3%以內(nèi)，65.45%的誤差控制在5%以內(nèi)，92.73%的誤差控制在10%以內(nèi)，均大于其它屈服準(zhǔn)則計算方法。本章得到的基于統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則的改進(jìn)完好管道失效壓力計算方法用于完好管道評估時，可以得到更準(zhǔn)確的預(yù)測值。

表3 不同計算方法誤差區(qū)間分布Tab.3 Error distributions for the different methods

3 結(jié) 論

本文對不同材料屬性的管道內(nèi)壓失效時適應(yīng)的屈服準(zhǔn)則進(jìn)行了分析，得到如下結(jié)論：

（1）不同材料屬性的管道所適用的屈服準(zhǔn)則并不相同，它隨著管材強(qiáng)化指數(shù)、屈強(qiáng)比、屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度等的變化而變化。管道爆破失效壓力預(yù)測中，Mises準(zhǔn)則是壓力預(yù)測的上限，Tresca準(zhǔn)則是壓力預(yù)測的下限，力屈服準(zhǔn)則不適用于管道內(nèi)壓破壞失效壓力評估。

（2）不同強(qiáng)化指數(shù)n下參數(shù)b的分布類似于“鐘形”分布，實驗數(shù)據(jù)點(diǎn)大致關(guān)于n= 0.085對稱。當(dāng)0 ≤n< 0.06 和0.11 ≤n< 0.18 時該類管道材料運(yùn)用ASSY 準(zhǔn)則得到的是爆破壓力的上限，Tresca 準(zhǔn)則得到的是爆破壓力下限；當(dāng)0.06 ≤n< 0.11時，該類管道材料運(yùn)用von Mises 準(zhǔn)則得到的是爆破壓力的上限，Tresca準(zhǔn)則得到的是爆破壓力下限。

（3）針對完好管道的失效壓力評估，常規(guī)三種屈服準(zhǔn)則中適用性最好的是Tresca 屈服準(zhǔn)則，其次是ASSY 屈服準(zhǔn)則和von Mises 準(zhǔn)則。本文基于統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則，提出了一種新的完好管道失效壓力評價方法，相比常規(guī)三種屈服準(zhǔn)則評價方法，該方法的預(yù)測結(jié)果與實驗結(jié)果吻合更好，誤差更小。