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      基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法研究

      2021-11-23 08:39:36秦幸幸
      工業(yè)工程 2021年5期
      關(guān)鍵詞:偏移量控制參數(shù)輪廓

      張 陽,秦幸幸

      (天津商業(yè)大學(xué) 1.管理學(xué)院;2.管理創(chuàng)新與評(píng)價(jià)研究中心,天津 300134)

      在統(tǒng)計(jì)過程控制中,產(chǎn)品或過程的質(zhì)量特性可以通過某種函數(shù)關(guān)系來描述,這種函數(shù)關(guān)系被稱為輪廓(profile)[1]。輪廓控制(profile monitoring)即基于統(tǒng)計(jì)過程控制理論對(duì)質(zhì)量特性表現(xiàn)為輪廓的產(chǎn)品或過程質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控,通常包括兩個(gè)階段。第1階段基于歷史輪廓數(shù)據(jù)分析來判斷過程的穩(wěn)定狀況,并識(shí)別受控輪廓集和確定輪廓控制的參數(shù),可稱為輪廓控制參數(shù)識(shí)別階段;第2階段則基于所確定的控制參數(shù),建立控制圖,實(shí)施過程監(jiān)控,稱為輪廓控制監(jiān)控階段。輪廓控制參數(shù)識(shí)別的關(guān)鍵在于受控輪廓集的識(shí)別,它是確定輪廓控制參數(shù)的基礎(chǔ)。因此,本文將研究重點(diǎn)聚焦于受控輪廓集的識(shí)別。傳統(tǒng)的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法大多假設(shè)輪廓內(nèi)測(cè)量數(shù)據(jù)之間相互獨(dú)立[2-3]。然而,在實(shí)際情況中,因連續(xù)測(cè)量時(shí)間短、數(shù)據(jù)量大等原因,會(huì)使輪廓內(nèi)測(cè)量點(diǎn)間存在相關(guān)關(guān)系。此外,實(shí)際生產(chǎn)加工過程中存在的系統(tǒng)性誤差,也會(huì)導(dǎo)致輪廓內(nèi)測(cè)量數(shù)據(jù)存在相關(guān)性[4-7]。因此,忽略輪廓內(nèi)部相關(guān)性的輪廓控制方法已不再適用。

      線性混合模型通常用來對(duì)內(nèi)部存在相關(guān)性的輪廓進(jìn)行建模[8-9],并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法[10-13]。該類方法首先采用線性混合模型進(jìn)行輪廓建模,并估計(jì)樣本輪廓參數(shù)。然后,基于輪廓參數(shù)建立T2控制圖,用于識(shí)別受控輪廓集,進(jìn)而確定輪廓控制參數(shù)。構(gòu)建T2控制圖時(shí),可采用連續(xù)差分估計(jì)量(SDE)[8]、最佳線性無偏估計(jì)量(eblups)[10]和基于最小體積橢球(MVE)的估計(jì)[11-12]等方法估計(jì)T2統(tǒng)計(jì)量的方差?協(xié)方差矩陣。然而,基于上述方法的T2控制方法是基于全部樣本輪廓數(shù)據(jù)來估計(jì)方差?協(xié)方差矩陣,進(jìn)而確定控制限。這將會(huì)使得T2控制圖的識(shí)別性能因異常輪廓的存在而降低,尤其是基于最佳線性無偏估計(jì)量的方法受到的影響極大。

      為降低因樣本輪廓中存在異常輪廓所帶來的影響,Chen等[13]提出基于層次聚類(cluster based,CB)算法的受控輪廓識(shí)別方法,并在此基礎(chǔ)上建立T2控制圖,一定程度上降低異常輪廓的影響,且與其他方法相比基于層次聚類的T2控制圖的性能更好。然而,此方法需要首先選定一半以上的樣本輪廓作為初始受控輪廓,但其中往往會(huì)存在較多異常輪廓。由于聚類結(jié)果依賴于距離度量的選取,異常輪廓的存在,尤其是較少離群值的存在,會(huì)影響最終聚類結(jié)果,進(jìn)而影響最終確定的受控輪廓集。這會(huì)使得基于層次聚類算法的T2控制圖識(shí)別性能會(huì)降低。綜上所述,降低離群值和異常輪廓對(duì)輪廓控制參數(shù)識(shí)別階段的影響,是構(gòu)建穩(wěn)健輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

      為了更準(zhǔn)確地從樣本輪廓數(shù)據(jù)中識(shí)別出受控輪廓集,本文提出基于密度(density based,DB)的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法?;诿芏鹊乃惴軌蛴行У乜朔哟尉垲愃惴ǖ娜毕荩瑸闃?gòu)建穩(wěn)健的T2控制圖提供保證。所提方法使用樣本輪廓參數(shù)向量計(jì)算樣本輪廓的密度;再基于樣本輪廓的密度確定一部分初始受控輪廓,排除異常輪廓,尤其是離群值的干擾;隨后經(jīng)過多次迭代獲得最終受控輪廓集;在此基礎(chǔ)上采用參數(shù)均值方法確定輪廓控制參數(shù)?;诿芏鹊妮喞刂茀?shù)識(shí)別方法得到的輪廓控制參數(shù),可用于構(gòu)建輪廓控制圖。

      1 模型假設(shè)

      在生產(chǎn)加工過程中,假定已獲取m條樣本輪廓數(shù)據(jù),且第i條樣本輪廓的觀測(cè)數(shù)據(jù)為(xit,yit) ,i=1,2, ···,m;t=1, 2, ···,n。本文假設(shè)在不同輪廓中測(cè)量點(diǎn)位置固定,即當(dāng)t不變時(shí),xit=xt?;贘ensen等[8]所使用的線性混合模型,建立輪廓模型為

      其中,Yi=(yi1,yi2, ···,yin)T為 輪廓測(cè)量值;Xi是n×o階向量,表示與固定效應(yīng)相關(guān)的回歸變量,o為回歸變量數(shù)目; β為o×1階向量,表示輪廓固定效應(yīng)參數(shù),且在不同的輪廓中 β不 變;Zi為n×s階矩陣;bi為s×1階向量,表示輪廓隨機(jī)效應(yīng)參數(shù),且bi服從均值為0、協(xié)方差矩陣為G的多元正態(tài)分布 (MN),記為bi~ MN(0,G),G為s×s階 矩陣; εi為隨機(jī)誤差,且εi~MN(0,Ri),Ri為n×n階矩陣[14]。

      Ruppert等[15]給出模型(1)的矩陣表達(dá)式為

      在實(shí)際情況中,V在一般情況下是未知的,常用最大似然估計(jì)或最小二乘法來得到B和R[15],從而得出V。在3.1節(jié)仿真設(shè)置中,假設(shè)V已知。

      基于式(3)和(4)可估計(jì)輪廓參數(shù)向量為

      其中,b?i為 矩陣b?中的第i行元素所組成的向量。

      2 基于密度的參數(shù)識(shí)別方法

      2.1 密度概念

      本文將數(shù)據(jù)向量密度定義為以空間內(nèi)某個(gè)數(shù)據(jù)向量為中心的最小半徑的倒數(shù),且此最小半徑需包含周圍P個(gè)數(shù)據(jù)向量[16]。其中,P表示密度參數(shù),可根據(jù)具體情況來確定。不難看出,根據(jù)密度大小可以確定該數(shù)據(jù)向量是離群點(diǎn)的可能性。如果某個(gè)數(shù)據(jù)向量的密度越小,其離周圍P個(gè)數(shù)據(jù)向量的最大距離就越大,則該數(shù)據(jù)向量為離群點(diǎn)的可能性就越大。具體來講,假設(shè)空間內(nèi)有一組數(shù)據(jù)向量集Uω={γ1, γ2, ···, γω}, 其中,γl=(γ1l, γ2l, ···, γφl),l=1,2, ···, ω , 為 φ維向量。對(duì)于任意數(shù)據(jù)向量,分別計(jì)算γl與其最近的P個(gè)數(shù)據(jù)向量的距離Dp,l={d1,l,d2,l, ···,dp,l}。 則數(shù)據(jù)向量γl的 密度ρl=1/Dmax,l,其中,Dmax,l=max{d1,l,d2,l, ···,dp,l}。數(shù)據(jù)向量密度的矩陣式算法如下。

      2.2 基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法

      基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法包括建立輪廓模型、確定初始受控輪廓集、識(shí)別受控輪廓集和確定輪廓控制參數(shù)等4個(gè)階段。其中,初始受控輪廓確定階段是整個(gè)輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法的重點(diǎn),是根據(jù)輪廓模型參數(shù)向量的密度來選定初始受控輪廓。與基于層次聚類的方法相比,基于密度的方法在確定初始受控輪廓時(shí)可以事先排除離群輪廓。因此,基于密度的方法可以有效降低離群輪廓對(duì)控制參數(shù)識(shí)別的影響?;诿芏鹊妮喞刂茀?shù)識(shí)別流程如圖1所示,具體步驟如下。

      圖1 基于密度的輪廓參數(shù)識(shí)別流程圖Figure 1 The flow chart of profile parameters identification method based on data-density

      階段1 建立輪廓模型。

      基于式(2)對(duì)m條樣本輪廓建模,然后可得到輪廓參數(shù)向量的估計(jì) β?i。記C={β?1, β?2, ···, β?m},表示所有樣本輪廓集合。

      階段2 確定初始受控輪廓集。

      本階段將采用輪廓密度來選定初始受控輪廓。首先,基于2.1節(jié)中密度的矩陣式算法,計(jì)算并獲得參數(shù)向量集C的密度矩陣DC。 之后,選取DC中第P列的m個(gè)元素,并將其按照從大到小的順序排列。最后,選取元素排列中前Q個(gè)元素所對(duì)應(yīng)的輪廓作為初始受控輪廓集C0。此處,參數(shù)Q和P的取值影響所提基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別的性能。參數(shù)Q和P設(shè)置對(duì)所提方法的影響將在仿真分析部分討論。

      階段3 受控輪廓集識(shí)別。

      1) 設(shè)定受控輪廓集為Cq,并先設(shè)定其初始值為初始受控輪廓集,即Cq=C0。

      2) 基于Cq中Q條輪廓數(shù)據(jù),利用式(3) ~ (5)更新Cq中每個(gè)輪廓的參數(shù),并計(jì)算均值 βˉ。 記Cm?q=C?Cq為不包含在Cq中 的輪廓集,并計(jì)算其中第 τ個(gè)輪廓的T2統(tǒng)計(jì)量為

      4)如果r= 0,那么Cq則為基于密度方法得到的最終受控輪廓集 CI, 且 CI=Cq。此時(shí)可以終止程序。如果r≠ 0,則令q=q+r,Cq=Cq+r,并返至2),繼續(xù)受控輪廓集的識(shí)別。

      階段4 確定輪廓控制參數(shù)。

      利用所確定的受控輪廓集 CI,根據(jù)線性混合模型使用極大似然估計(jì)或最小二乘法,重新估計(jì)每條輪廓的參數(shù),并求輪廓參數(shù)的均值,即可得輪廓控制參數(shù)。

      3 仿真分析

      輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法的關(guān)鍵是正確地識(shí)別出受控輪廓集。仿真分析主要通過蒙特卡洛模擬來分析正確識(shí)別受控輪廓集的能力,并與已有方法進(jìn)行比較分析。

      3.1 仿真設(shè)置

      3.2 識(shí)別性能指標(biāo)確定

      輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法正確識(shí)別受控輪廓集的能力,可以通過分類精度、敏感性和特異性等性能指標(biāo)來分析?;诒?的混淆矩陣可根據(jù)表2的公式來計(jì)算分類精度、敏感性和特異性等性能指標(biāo)[18]。其中,a為表示正確識(shí)別異常輪廓的數(shù)目;e為把異常輪廓識(shí)別為受控輪廓的數(shù)目;f為把受控輪廓識(shí)別為異常輪廓的數(shù)目;h為正確識(shí)別受控輪廓的數(shù)目。容易得知,分類精度、敏感性和特異性的取值范圍均為 [ 0, 1]。而且,當(dāng)這些指標(biāo)的值越大時(shí),則表明所提方法正確識(shí)別受控輪廓集的能力越好。

      表1 混淆矩陣Table 1 Confusion matrix

      表2 性能指標(biāo)公式Table 2 Performance index formula

      然而,特異性和敏感性呈現(xiàn)的負(fù)相關(guān)關(guān)系,即敏感性取值變大(小)時(shí)特異性取值則變小(大),會(huì)為同時(shí)采用敏感性和特異性比較不同方法性能時(shí)帶來一定困難。因此,為方便比較,可綜合考慮敏感性和特異性指標(biāo),采用約登指數(shù)(Youden index)[19-22]來分析受控輪廓集正確識(shí)別的能力,其定義為

      同樣,約登指數(shù)取值范圍也為 [ 0, 1],且取值越大時(shí)識(shí)別性能越好。本文將基于分類精度和約登指數(shù)2個(gè)指標(biāo)來分析參數(shù)取值和置信水平的影響。

      3.3 參數(shù)P和Q的影響分析

      在分析參數(shù)P和Q對(duì)識(shí)別性能的影響時(shí),基于3.1節(jié)中輪廓模型,首先通過多次蒙特卡洛模擬仿真初步分析參數(shù)P和Q的取值及其對(duì)應(yīng)性能指標(biāo)取值。根據(jù)初步分析結(jié)果得知,當(dāng)P和Q的值介于區(qū)間[[m/3]+1, [m/2]+1]中時(shí),性能指標(biāo)相對(duì)較好。因此,為進(jìn)一步分析所提方法的識(shí)別性能,將針對(duì)不同偏移量進(jìn)行以下4種組合試驗(yàn),即

      在蒙特卡洛仿真分析中,不同偏移量下各組合模擬仿真次數(shù)均為5 000次,其中,α設(shè)定為0.025。最終仿真結(jié)果如表3所示,其中加粗結(jié)果為特定偏移量下不同參數(shù)組合中分類精度和約登指數(shù)的最優(yōu)結(jié)果。

      表3 不同參數(shù)組合下識(shí)別性能比較Table 3 Performance comparisons on different combinations of parameters P and Q

      由表3可知,當(dāng)P一定時(shí),對(duì)于任意偏移量,采用較小的Q值可獲得分類精度和約登指數(shù)的較優(yōu)結(jié)果。另外,當(dāng)Q一定時(shí),對(duì)于小于等于0.25的偏移量,P較小時(shí)分類精度和約登指數(shù)結(jié)果較優(yōu);而對(duì)于偏移量大于0.25的情況,P較大時(shí)可獲得較好的性能。此外,對(duì)于特定參數(shù)組合,隨著偏移量的不斷增加,分類精度和約登指數(shù)也在逐步變大;而且當(dāng)偏移量大于等于0.25時(shí),分類精度和約登指數(shù)的取值大都超過0.95,并接近于1。

      通過比較參數(shù)P和Q的不同組合下分類精度和約登指數(shù)的值,可以發(fā)現(xiàn),無論P(yáng)取何值,當(dāng)Q=[m/3]+1時(shí)總能獲得最優(yōu)識(shí)別性能。因此,在實(shí)際應(yīng)用中,可以設(shè)定參數(shù)Q為 [m/3]+1,然后再根據(jù)偏移量大小設(shè)定參數(shù)P的取值。具體而言,當(dāng)偏移量為中小偏移時(shí),設(shè)定P=[m/3]+1且Q=[m/3]+1;當(dāng)偏移量為大偏移時(shí),設(shè)定P=[m/3]+1且Q=[m/3]+1。

      然而,上述參數(shù)P和Q的設(shè)定需要假設(shè)偏移量根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)預(yù)先已知。當(dāng)偏移量未知時(shí),建議選取參數(shù)組合C4,即設(shè)定參數(shù)P和Q分別為 [m/3]+1和[m/3]+1。因?yàn)?,雖然對(duì)于大偏移的情況,組合C4下分類精度和約登指數(shù)的取值比組合C3下較低,但是也超過0.95,并逐漸接近于1。

      3.4 置信水平α的影響分析

      基于前述分析結(jié)果,本節(jié)將在參數(shù)P和Q分別取[m/3]+1和 [m/3]+1的情況下研究置信水平α對(duì)所提方法性能的影響。在不同α取值下,分類精度和約登指數(shù)隨偏移變化情況如圖2(a)和(b)所示。

      由圖2可知,對(duì)于偏移量為中小偏移的情況,α= 0.05時(shí),分類精度和約登指數(shù)均能最優(yōu),除了分類精度在偏移量為0.05時(shí)取值最小之外。而當(dāng)偏移量較大時(shí),α= 0.01時(shí)性能較優(yōu)。因此,若偏移量已知時(shí),可以為中小偏移給定相對(duì)較大的α值,此時(shí)識(shí)別準(zhǔn)確性不高,較大的α值能夠有效控制第2類錯(cuò)誤的發(fā)生;而對(duì)于較大偏移,可以設(shè)定相對(duì)較小的α值,來降低識(shí)別準(zhǔn)確性很高時(shí)容易發(fā)生的第1類錯(cuò)誤概率。

      圖2 偏移量對(duì)分類精度和約登指數(shù)的影Figure 2 The effect of offset on classification accuracy and Yoden index

      然而,當(dāng)實(shí)際應(yīng)用中偏移量未知時(shí),建議α設(shè)定為0.05。盡管較大的α值會(huì)削弱偏移量較大時(shí)所提方法的識(shí)別性能,但是偏移量較大時(shí)分類精度和約登指數(shù)都非常接近于1,也能得到良好的分類效果。

      3.5 性能比較研究

      本節(jié)將比較分析所提基于密度的分析方法(DB)與已有方法的識(shí)別性能。此處選取P=[m/3]+1,Q=[m/3]+1, α=0.05。已有方法將選取基于層次聚類的分析方法(CB)[13]、基于最小體積橢球的分析方法(MVE)[11-12]和基于連續(xù)差分的分析方法(SDE)[8]。性能比較分析采用用蒙特卡洛模擬仿真,各種方法的性能指標(biāo)結(jié)果均基于5 000次重復(fù)計(jì)算,并列于表4中,其中加粗結(jié)果為特定偏移量下不同方法中各性能指標(biāo)中的最優(yōu)結(jié)果。

      表4 不同分析方法的性能比較Table 4 Performance of different methods

      由表4易知,根據(jù)約登指數(shù)可以得出所提基于密度的方法要優(yōu)于所有已有方法,而且根據(jù)分類精度也可以看出所提方法在大多數(shù)情況下也表現(xiàn)出最優(yōu)的識(shí)別效果。當(dāng)偏移量為0.05或0.3時(shí),根據(jù)分類精度的結(jié)果,雖然基于密度的方法表現(xiàn)較弱,但是,與最優(yōu)方法相比,在分類精度的結(jié)果上相差不大。綜合在分類精度與約登指數(shù)上的整體表現(xiàn),所提基于密度的分析方法的綜合性能最好,表現(xiàn)出較優(yōu)的識(shí)別性能。

      4 結(jié)論

      目前已有的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法受異常輪廓的干擾較大。本文所提出的基于密度的受控輪廓識(shí)別方法,改進(jìn)了已有方法在初始受控輪廓確定時(shí)因異常輪廓存在造成敏感性降低的不足之處,進(jìn)而提高了估計(jì)輪廓參數(shù) βˉ的準(zhǔn)確性,獲得更為穩(wěn)健的T2統(tǒng)計(jì)量,從而可以提高識(shí)別性能。另外,本文建議使用約登指數(shù)作為性能指標(biāo),可以綜合分析識(shí)別性能,從而在比較各種方法的性能時(shí)更加方便。此外,基于蒙特卡洛模擬,分析所提方法中初始受控輪廓數(shù)目Q、密度參數(shù)P和置信水平α對(duì)識(shí)別性能的影響,并給出當(dāng)偏移量未知時(shí)Q、P和α的設(shè)定建議。最后,比較分析所提方法與已有方法的識(shí)別性能。結(jié)果顯示,綜合分類精度和約登指數(shù)的結(jié)果,所提基于密度的輪廓參數(shù)控制方法的性能要優(yōu)于其他方法。因此,基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法在很大程度上削弱了異常輪廓對(duì)T2控制圖的干擾,對(duì)于識(shí)別產(chǎn)品或過程中的受控輪廓集非常有效。

      由于所提基于密度的方法依賴于初始受控輪廓數(shù)目Q和密度參數(shù)P,從而影響初始受控輪廓集的確定。因此,未來研究中,可以綜合運(yùn)用其他方法,如K均值聚類等,與所提方法來改進(jìn)初始受控輪廓集的確定。如首先基于不同方法各自確定初始受控輪廓,然后通過比較分析,取不同方法中都包含的初始受控輪廓作為初始受控輪廓集,可以進(jìn)一步降低異常輪廓的干擾,從而提升參數(shù)估計(jì)精度,進(jìn)而提高識(shí)別性能和輪廓控制參數(shù)的合理性。

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