基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法研究

張 陽，秦幸幸

(天津商業(yè)大學(xué) 1.管理學(xué)院；2.管理創(chuàng)新與評(píng)價(jià)研究中心，天津 300134)

在統(tǒng)計(jì)過程控制中，產(chǎn)品或過程的質(zhì)量特性可以通過某種函數(shù)關(guān)系來描述，這種函數(shù)關(guān)系被稱為輪廓(profile)[1]。輪廓控制(profile monitoring)即基于統(tǒng)計(jì)過程控制理論對(duì)質(zhì)量特性表現(xiàn)為輪廓的產(chǎn)品或過程質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，通常包括兩個(gè)階段。第1階段基于歷史輪廓數(shù)據(jù)分析來判斷過程的穩(wěn)定狀況，并識(shí)別受控輪廓集和確定輪廓控制的參數(shù)，可稱為輪廓控制參數(shù)識(shí)別階段；第2階段則基于所確定的控制參數(shù)，建立控制圖，實(shí)施過程監(jiān)控，稱為輪廓控制監(jiān)控階段。輪廓控制參數(shù)識(shí)別的關(guān)鍵在于受控輪廓集的識(shí)別，它是確定輪廓控制參數(shù)的基礎(chǔ)。因此，本文將研究重點(diǎn)聚焦于受控輪廓集的識(shí)別。傳統(tǒng)的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法大多假設(shè)輪廓內(nèi)測(cè)量數(shù)據(jù)之間相互獨(dú)立[2-3]。然而，在實(shí)際情況中，因連續(xù)測(cè)量時(shí)間短、數(shù)據(jù)量大等原因，會(huì)使輪廓內(nèi)測(cè)量點(diǎn)間存在相關(guān)關(guān)系。此外，實(shí)際生產(chǎn)加工過程中存在的系統(tǒng)性誤差，也會(huì)導(dǎo)致輪廓內(nèi)測(cè)量數(shù)據(jù)存在相關(guān)性[4-7]。因此，忽略輪廓內(nèi)部相關(guān)性的輪廓控制方法已不再適用。

線性混合模型通常用來對(duì)內(nèi)部存在相關(guān)性的輪廓進(jìn)行建模[8-9]，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法[10-13]。該類方法首先采用線性混合模型進(jìn)行輪廓建模，并估計(jì)樣本輪廓參數(shù)。然后，基于輪廓參數(shù)建立T2控制圖，用于識(shí)別受控輪廓集，進(jìn)而確定輪廓控制參數(shù)。構(gòu)建T2控制圖時(shí)，可采用連續(xù)差分估計(jì)量(SDE)[8]、最佳線性無偏估計(jì)量(eblups)[10]和基于最小體積橢球(MVE)的估計(jì)[11-12]等方法估計(jì)T2統(tǒng)計(jì)量的方差?協(xié)方差矩陣。然而，基于上述方法的T2控制方法是基于全部樣本輪廓數(shù)據(jù)來估計(jì)方差?協(xié)方差矩陣，進(jìn)而確定控制限。這將會(huì)使得T2控制圖的識(shí)別性能因異常輪廓的存在而降低，尤其是基于最佳線性無偏估計(jì)量的方法受到的影響極大。

為降低因樣本輪廓中存在異常輪廓所帶來的影響，Chen等[13]提出基于層次聚類(cluster based，CB)算法的受控輪廓識(shí)別方法，并在此基礎(chǔ)上建立T2控制圖，一定程度上降低異常輪廓的影響，且與其他方法相比基于層次聚類的T2控制圖的性能更好。然而，此方法需要首先選定一半以上的樣本輪廓作為初始受控輪廓，但其中往往會(huì)存在較多異常輪廓。由于聚類結(jié)果依賴于距離度量的選取，異常輪廓的存在，尤其是較少離群值的存在，會(huì)影響最終聚類結(jié)果，進(jìn)而影響最終確定的受控輪廓集。這會(huì)使得基于層次聚類算法的T2控制圖識(shí)別性能會(huì)降低。綜上所述，降低離群值和異常輪廓對(duì)輪廓控制參數(shù)識(shí)別階段的影響，是構(gòu)建穩(wěn)健輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

為了更準(zhǔn)確地從樣本輪廓數(shù)據(jù)中識(shí)別出受控輪廓集，本文提出基于密度(density based，DB)的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法?；诿芏鹊乃惴軌蛴行У乜朔哟尉垲愃惴ǖ娜毕荩瑸闃?gòu)建穩(wěn)健的T2控制圖提供保證。所提方法使用樣本輪廓參數(shù)向量計(jì)算樣本輪廓的密度；再基于樣本輪廓的密度確定一部分初始受控輪廓，排除異常輪廓，尤其是離群值的干擾；隨后經(jīng)過多次迭代獲得最終受控輪廓集；在此基礎(chǔ)上采用參數(shù)均值方法確定輪廓控制參數(shù)?；诿芏鹊妮喞刂茀?shù)識(shí)別方法得到的輪廓控制參數(shù)，可用于構(gòu)建輪廓控制圖。

1 模型假設(shè)

在生產(chǎn)加工過程中，假定已獲取m條樣本輪廓數(shù)據(jù)，且第i條樣本輪廓的觀測(cè)數(shù)據(jù)為(xit,yit) ，i=1,2, ···,m；t=1, 2, ···,n。本文假設(shè)在不同輪廓中測(cè)量點(diǎn)位置固定，即當(dāng)t不變時(shí)，xit=xt?；贘ensen等[8]所使用的線性混合模型，建立輪廓模型為

其中，Yi=(yi1,yi2, ···,yin)T為 輪廓測(cè)量值；Xi是n×o階向量，表示與固定效應(yīng)相關(guān)的回歸變量，o為回歸變量數(shù)目； β為o×1階向量，表示輪廓固定效應(yīng)參數(shù)，且在不同的輪廓中 β不 變；Zi為n×s階矩陣；bi為s×1階向量，表示輪廓隨機(jī)效應(yīng)參數(shù)，且bi服從均值為0、協(xié)方差矩陣為G的多元正態(tài)分布 (MN)，記為bi～ MN(0,G)，G為s×s階 矩陣； εi為隨機(jī)誤差，且εi～MN(0,Ri)，Ri為n×n階矩陣[14]。

Ruppert等[15]給出模型(1)的矩陣表達(dá)式為

在實(shí)際情況中，V在一般情況下是未知的，常用最大似然估計(jì)或最小二乘法來得到B和R[15]，從而得出V。在3.1節(jié)仿真設(shè)置中，假設(shè)V已知。

基于式(3)和(4)可估計(jì)輪廓參數(shù)向量為

其中，b?i為 矩陣b?中的第i行元素所組成的向量。

2 基于密度的參數(shù)識(shí)別方法

2.1 密度概念

本文將數(shù)據(jù)向量密度定義為以空間內(nèi)某個(gè)數(shù)據(jù)向量為中心的最小半徑的倒數(shù)，且此最小半徑需包含周圍P個(gè)數(shù)據(jù)向量[16]。其中，P表示密度參數(shù)，可根據(jù)具體情況來確定。不難看出，根據(jù)密度大小可以確定該數(shù)據(jù)向量是離群點(diǎn)的可能性。如果某個(gè)數(shù)據(jù)向量的密度越小，其離周圍P個(gè)數(shù)據(jù)向量的最大距離就越大，則該數(shù)據(jù)向量為離群點(diǎn)的可能性就越大。具體來講，假設(shè)空間內(nèi)有一組數(shù)據(jù)向量集Uω={γ1, γ2, ···, γω}， 其中，γl=(γ1l, γ2l, ···, γφl)，l=1,2, ···, ω ， 為 φ維向量。對(duì)于任意數(shù)據(jù)向量，分別計(jì)算γl與其最近的P個(gè)數(shù)據(jù)向量的距離Dp,l={d1,l,d2,l, ···,dp,l}。 則數(shù)據(jù)向量γl的 密度ρl=1/Dmax,l，其中，Dmax,l=max{d1,l,d2,l, ···,dp,l}。數(shù)據(jù)向量密度的矩陣式算法如下。

2.2 基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法

基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法包括建立輪廓模型、確定初始受控輪廓集、識(shí)別受控輪廓集和確定輪廓控制參數(shù)等4個(gè)階段。其中，初始受控輪廓確定階段是整個(gè)輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法的重點(diǎn)，是根據(jù)輪廓模型參數(shù)向量的密度來選定初始受控輪廓。與基于層次聚類的方法相比，基于密度的方法在確定初始受控輪廓時(shí)可以事先排除離群輪廓。因此，基于密度的方法可以有效降低離群輪廓對(duì)控制參數(shù)識(shí)別的影響?；诿芏鹊妮喞刂茀?shù)識(shí)別流程如圖1所示，具體步驟如下。

圖1 基于密度的輪廓參數(shù)識(shí)別流程圖Figure 1 The flow chart of profile parameters identification method based on data-density

階段1 建立輪廓模型。

基于式(2)對(duì)m條樣本輪廓建模，然后可得到輪廓參數(shù)向量的估計(jì) β?i。記C={β?1, β?2, ···, β?m}，表示所有樣本輪廓集合。

階段2 確定初始受控輪廓集。

本階段將采用輪廓密度來選定初始受控輪廓。首先，基于2.1節(jié)中密度的矩陣式算法，計(jì)算并獲得參數(shù)向量集C的密度矩陣DC。 之后，選取DC中第P列的m個(gè)元素，并將其按照從大到小的順序排列。最后，選取元素排列中前Q個(gè)元素所對(duì)應(yīng)的輪廓作為初始受控輪廓集C0。此處，參數(shù)Q和P的取值影響所提基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別的性能。參數(shù)Q和P設(shè)置對(duì)所提方法的影響將在仿真分析部分討論。

階段3 受控輪廓集識(shí)別。

1) 設(shè)定受控輪廓集為Cq，并先設(shè)定其初始值為初始受控輪廓集，即Cq=C0。

2) 基于Cq中Q條輪廓數(shù)據(jù)，利用式(3) ～ (5)更新Cq中每個(gè)輪廓的參數(shù)，并計(jì)算均值 βˉ。 記Cm?q=C?Cq為不包含在Cq中 的輪廓集，并計(jì)算其中第 τ個(gè)輪廓的T2統(tǒng)計(jì)量為

4)如果r= 0，那么Cq則為基于密度方法得到的最終受控輪廓集 CI， 且 CI=Cq。此時(shí)可以終止程序。如果r≠ 0，則令q=q+r，Cq=Cq+r，并返至2)，繼續(xù)受控輪廓集的識(shí)別。

階段4 確定輪廓控制參數(shù)。

利用所確定的受控輪廓集 CI，根據(jù)線性混合模型使用極大似然估計(jì)或最小二乘法，重新估計(jì)每條輪廓的參數(shù)，并求輪廓參數(shù)的均值，即可得輪廓控制參數(shù)。

3 仿真分析

輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法的關(guān)鍵是正確地識(shí)別出受控輪廓集。仿真分析主要通過蒙特卡洛模擬來分析正確識(shí)別受控輪廓集的能力，并與已有方法進(jìn)行比較分析。

3.1 仿真設(shè)置

3.2 識(shí)別性能指標(biāo)確定

輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法正確識(shí)別受控輪廓集的能力，可以通過分類精度、敏感性和特異性等性能指標(biāo)來分析?；诒?的混淆矩陣可根據(jù)表2的公式來計(jì)算分類精度、敏感性和特異性等性能指標(biāo)[18]。其中，a為表示正確識(shí)別異常輪廓的數(shù)目；e為把異常輪廓識(shí)別為受控輪廓的數(shù)目；f為把受控輪廓識(shí)別為異常輪廓的數(shù)目；h為正確識(shí)別受控輪廓的數(shù)目。容易得知，分類精度、敏感性和特異性的取值范圍均為 [ 0, 1]。而且，當(dāng)這些指標(biāo)的值越大時(shí)，則表明所提方法正確識(shí)別受控輪廓集的能力越好。

表1 混淆矩陣Table 1 Confusion matrix

表2 性能指標(biāo)公式Table 2 Performance index formula

然而，特異性和敏感性呈現(xiàn)的負(fù)相關(guān)關(guān)系，即敏感性取值變大(小)時(shí)特異性取值則變小(大)，會(huì)為同時(shí)采用敏感性和特異性比較不同方法性能時(shí)帶來一定困難。因此，為方便比較，可綜合考慮敏感性和特異性指標(biāo)，采用約登指數(shù)(Youden index)[19-22]來分析受控輪廓集正確識(shí)別的能力，其定義為

同樣，約登指數(shù)取值范圍也為 [ 0, 1]，且取值越大時(shí)識(shí)別性能越好。本文將基于分類精度和約登指數(shù)2個(gè)指標(biāo)來分析參數(shù)取值和置信水平的影響。

3.3 參數(shù)P和Q的影響分析

在分析參數(shù)P和Q對(duì)識(shí)別性能的影響時(shí)，基于3.1節(jié)中輪廓模型，首先通過多次蒙特卡洛模擬仿真初步分析參數(shù)P和Q的取值及其對(duì)應(yīng)性能指標(biāo)取值。根據(jù)初步分析結(jié)果得知，當(dāng)P和Q的值介于區(qū)間[[m/3]+1, [m/2]+1]中時(shí)，性能指標(biāo)相對(duì)較好。因此，為進(jìn)一步分析所提方法的識(shí)別性能，將針對(duì)不同偏移量進(jìn)行以下4種組合試驗(yàn)，即

在蒙特卡洛仿真分析中，不同偏移量下各組合模擬仿真次數(shù)均為5 000次，其中，α設(shè)定為0.025。最終仿真結(jié)果如表3所示，其中加粗結(jié)果為特定偏移量下不同參數(shù)組合中分類精度和約登指數(shù)的最優(yōu)結(jié)果。

表3 不同參數(shù)組合下識(shí)別性能比較Table 3 Performance comparisons on different combinations of parameters P and Q

由表3可知，當(dāng)P一定時(shí)，對(duì)于任意偏移量，采用較小的Q值可獲得分類精度和約登指數(shù)的較優(yōu)結(jié)果。另外，當(dāng)Q一定時(shí)，對(duì)于小于等于0.25的偏移量，P較小時(shí)分類精度和約登指數(shù)結(jié)果較優(yōu)；而對(duì)于偏移量大于0.25的情況，P較大時(shí)可獲得較好的性能。此外，對(duì)于特定參數(shù)組合，隨著偏移量的不斷增加，分類精度和約登指數(shù)也在逐步變大；而且當(dāng)偏移量大于等于0.25時(shí)，分類精度和約登指數(shù)的取值大都超過0.95，并接近于1。

通過比較參數(shù)P和Q的不同組合下分類精度和約登指數(shù)的值，可以發(fā)現(xiàn)，無論P(yáng)取何值，當(dāng)Q=[m/3]+1時(shí)總能獲得最優(yōu)識(shí)別性能。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，可以設(shè)定參數(shù)Q為 [m/3]+1，然后再根據(jù)偏移量大小設(shè)定參數(shù)P的取值。具體而言，當(dāng)偏移量為中小偏移時(shí)，設(shè)定P=[m/3]+1且Q=[m/3]+1；當(dāng)偏移量為大偏移時(shí)，設(shè)定P=[m/3]+1且Q=[m/3]+1。

然而，上述參數(shù)P和Q的設(shè)定需要假設(shè)偏移量根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)預(yù)先已知。當(dāng)偏移量未知時(shí)，建議選取參數(shù)組合C4，即設(shè)定參數(shù)P和Q分別為 [m/3]+1和[m/3]+1。因?yàn)?，雖然對(duì)于大偏移的情況，組合C4下分類精度和約登指數(shù)的取值比組合C3下較低，但是也超過0.95，并逐漸接近于1。

3.4 置信水平α的影響分析

基于前述分析結(jié)果，本節(jié)將在參數(shù)P和Q分別取[m/3]+1和 [m/3]+1的情況下研究置信水平α對(duì)所提方法性能的影響。在不同α取值下，分類精度和約登指數(shù)隨偏移變化情況如圖2(a)和(b)所示。

由圖2可知，對(duì)于偏移量為中小偏移的情況，α= 0.05時(shí)，分類精度和約登指數(shù)均能最優(yōu)，除了分類精度在偏移量為0.05時(shí)取值最小之外。而當(dāng)偏移量較大時(shí)，α= 0.01時(shí)性能較優(yōu)。因此，若偏移量已知時(shí)，可以為中小偏移給定相對(duì)較大的α值，此時(shí)識(shí)別準(zhǔn)確性不高，較大的α值能夠有效控制第2類錯(cuò)誤的發(fā)生；而對(duì)于較大偏移，可以設(shè)定相對(duì)較小的α值，來降低識(shí)別準(zhǔn)確性很高時(shí)容易發(fā)生的第1類錯(cuò)誤概率。

圖2 偏移量對(duì)分類精度和約登指數(shù)的影Figure 2 The effect of offset on classification accuracy and Yoden index

然而，當(dāng)實(shí)際應(yīng)用中偏移量未知時(shí)，建議α設(shè)定為0.05。盡管較大的α值會(huì)削弱偏移量較大時(shí)所提方法的識(shí)別性能，但是偏移量較大時(shí)分類精度和約登指數(shù)都非常接近于1，也能得到良好的分類效果。

3.5 性能比較研究

本節(jié)將比較分析所提基于密度的分析方法(DB)與已有方法的識(shí)別性能。此處選取P=[m/3]+1，Q=[m/3]+1， α=0.05。已有方法將選取基于層次聚類的分析方法(CB)[13]、基于最小體積橢球的分析方法(MVE)[11-12]和基于連續(xù)差分的分析方法(SDE)[8]。性能比較分析采用用蒙特卡洛模擬仿真，各種方法的性能指標(biāo)結(jié)果均基于5 000次重復(fù)計(jì)算，并列于表4中，其中加粗結(jié)果為特定偏移量下不同方法中各性能指標(biāo)中的最優(yōu)結(jié)果。

表4 不同分析方法的性能比較Table 4 Performance of different methods

由表4易知，根據(jù)約登指數(shù)可以得出所提基于密度的方法要優(yōu)于所有已有方法，而且根據(jù)分類精度也可以看出所提方法在大多數(shù)情況下也表現(xiàn)出最優(yōu)的識(shí)別效果。當(dāng)偏移量為0.05或0.3時(shí)，根據(jù)分類精度的結(jié)果，雖然基于密度的方法表現(xiàn)較弱，但是，與最優(yōu)方法相比，在分類精度的結(jié)果上相差不大。綜合在分類精度與約登指數(shù)上的整體表現(xiàn)，所提基于密度的分析方法的綜合性能最好，表現(xiàn)出較優(yōu)的識(shí)別性能。

4 結(jié)論

目前已有的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法受異常輪廓的干擾較大。本文所提出的基于密度的受控輪廓識(shí)別方法，改進(jìn)了已有方法在初始受控輪廓確定時(shí)因異常輪廓存在造成敏感性降低的不足之處，進(jìn)而提高了估計(jì)輪廓參數(shù) βˉ的準(zhǔn)確性，獲得更為穩(wěn)健的T2統(tǒng)計(jì)量，從而可以提高識(shí)別性能。另外，本文建議使用約登指數(shù)作為性能指標(biāo)，可以綜合分析識(shí)別性能，從而在比較各種方法的性能時(shí)更加方便。此外，基于蒙特卡洛模擬，分析所提方法中初始受控輪廓數(shù)目Q、密度參數(shù)P和置信水平α對(duì)識(shí)別性能的影響，并給出當(dāng)偏移量未知時(shí)Q、P和α的設(shè)定建議。最后，比較分析所提方法與已有方法的識(shí)別性能。結(jié)果顯示，綜合分類精度和約登指數(shù)的結(jié)果，所提基于密度的輪廓參數(shù)控制方法的性能要優(yōu)于其他方法。因此，基于密度的輪廓控制參數(shù)識(shí)別方法在很大程度上削弱了異常輪廓對(duì)T2控制圖的干擾，對(duì)于識(shí)別產(chǎn)品或過程中的受控輪廓集非常有效。

由于所提基于密度的方法依賴于初始受控輪廓數(shù)目Q和密度參數(shù)P，從而影響初始受控輪廓集的確定。因此，未來研究中，可以綜合運(yùn)用其他方法，如K均值聚類等，與所提方法來改進(jìn)初始受控輪廓集的確定。如首先基于不同方法各自確定初始受控輪廓，然后通過比較分析，取不同方法中都包含的初始受控輪廓作為初始受控輪廓集，可以進(jìn)一步降低異常輪廓的干擾，從而提升參數(shù)估計(jì)精度，進(jìn)而提高識(shí)別性能和輪廓控制參數(shù)的合理性。