巧用導(dǎo)數(shù)法解答兩類函數(shù)問題

楊雯翠

導(dǎo)數(shù)法是指通過對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)以達(dá)到解題目的的方法.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法可快速判斷出函數(shù)的單調(diào)性、求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求得函數(shù)的最值.下面，我們結(jié)合實例來談一談如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答兩類函數(shù)問題.

一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

我們知道，函數(shù) f（x）在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù) f′（x）的關(guān)系為：若 f′（x）>0，則 f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù);若 f′（x）<0，則 f（x）在這個區(qū)間上是減函數(shù).而利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到 f′（x）;（2）在定義域內(nèi)解不等式 f′（x）>0或 f′（x）<0;（3）根據(jù)結(jié)果確定 f（x）的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.

例1.

解：

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵在于求得導(dǎo)函數(shù)的零點，再用零點將函數(shù)的定義域劃分為幾個區(qū)間，在每個區(qū)間段上討論函數(shù)的單調(diào)性.可通過因式分解或運(yùn)用求根公式來求零點.

二、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值

若函數(shù)的定義域為開區(qū)間，則函數(shù)的極值即為函數(shù)的最值;若函數(shù)的定義域為閉區(qū)間，則需將函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的端點值進(jìn)行比較，較大的為最大值，較小的為最小值.一般情況下，若導(dǎo)函數(shù)零點左邊的導(dǎo)函數(shù)值小于0、右邊的大于0，則函數(shù)在該零點處取得極小值;若導(dǎo)函數(shù)零點左邊的導(dǎo)函數(shù)值大于0、右邊的小于0，則函數(shù)在該零點處取得極大值.

例2.

解：

該函數(shù)的定義域為開區(qū)間，所以只需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值，便可確定函數(shù)的最值.

例3.

解：

綜上，函數(shù) f（x）有最小值，最小值的取值范圍是（-2e，-2）.

由此可見，當(dāng)遇到一些含有高次、對數(shù)式、指數(shù)式的函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題、最值問題時，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法可以使問題快速得解.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解題，不僅需要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算法則、求零點的方法、函數(shù)的零點與方程的根之間的關(guān)系、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解方程的方法等，還要學(xué)會靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想來輔助解題.

（作者單位：云南省臨滄市鳳慶縣第一中學(xué)）