初中數(shù)學(xué)外旋法解題技巧

鐘劍華

圖形的變換是新課標(biāo)中“空間與圖形”領(lǐng)域的一個主要內(nèi)容，體現(xiàn)運(yùn)動變換的理念與思想，是教材中的一大亮點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，它是一種數(shù)學(xué)變換，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后的圖形與原圖形是全等的，因此可以借助旋轉(zhuǎn)變換的方法幫助學(xué)生識別復(fù)雜圖形中的全等圖形，同時還可以利用旋轉(zhuǎn)變換將分散的條件集中，培養(yǎng)學(xué)生的空間概念，提升他們的幾何直觀、推理能力，增強(qiáng)他們的創(chuàng)新意識。

圖形的變換中，外旋轉(zhuǎn)是常用變換，外旋轉(zhuǎn)具有以下性質(zhì)：一是對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即邊相等;二是應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即角相等;三是旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。以這三個性質(zhì)為突破口，巧用外旋法就能快速解決問題。

例1 如下圖，在正△ABC中，DC=3，DB=4，DA=5，求∠CDB。

分析：正三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60o，可以將三角形BDC旋轉(zhuǎn)60o，使BC旋轉(zhuǎn)到AB。

解：正三角形ABC中，AB=BC，可以將三角形BDC旋轉(zhuǎn)60o，得到三角形PBA。

連接PD，則PB=BD，∠PBD=60o，三角形PBD為正三角形，PD=BD=4，

∠BPD=60o，∵△PBA≌

△DBC，∠APB=∠BDC，

AP=CD=3，AD=5，滿足PD2+PA2=AD2，

∠APD=90o，∠APB=∠BPD+∠DPA=90o+60o=150o，

∠BDC=∠APB=150o.

例2? 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，DC=2，DB=3，DA=1.求∠CDA。

分析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可將三角形ADC旋轉(zhuǎn)90o，使AC到BC。

解：在Rt△ABC中，

∠ACB=90°，AC=BC，可將三角形ADC旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形BPC，∠DCP=90°，△DAC≌△PBC，

∴PC=DC=2，BP=AD=1，∠CDA=∠CPB.

∵△PCD是等腰直角三角形，

∵PD2=PC2+CD2=22+22=8，

∵BD=6，BD2=9，PD2=8，BP2=AD2=1，∴PD2+BP2=BD2，

∠DPB=90°，

∠CDA=∠CPB=∠CPD+∠DPB=90o+45o=135o.

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上一個動點(diǎn)，連接AB，以AB為一邊向下作等邊△ABC，連結(jié)OC，求OC的最小值。

解：如圖，以O(shè)A為對稱軸作等邊△ADE，連接EC并延長交x軸于點(diǎn)F.

AB=AC

在△AEC中，△ADB中，? ? ?∠BAD=∠CAE

AD=AE

∴△AEC≌△ADB（SAS）

∵∠AEC=∠ADB=120o，∵∠OEF=60o，∴OF=OA=4.

點(diǎn)C在直線EF上運(yùn)動，當(dāng)OC⊥EF時，OC最小，則OC最小值為2.

【點(diǎn)評：構(gòu)造三角形ABD旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后AB與AC重合，AD=AE且旋轉(zhuǎn)角為60o，從而得到三角形ADE為等邊三角形】

例4 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4? 2，若BD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，求對角線AC的長的最大值。

解：以BC為邊作等邊三角形BCE，過E點(diǎn)作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，∠ABD=∠CBE=60o，∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE.

AB=BD

在△ABC和△DBE，? ? ∠ABC=∠DBE，

BC=BE

∴△ABC≌△DBE.

DE=AC，在等邊三角形BEC中，BC=4 2，EF⊥BC

BF=? ? BC=2? 2，EF=? BE2-BF2=? BC2-BF2 （4? 2）

以BC為直徑坐圓F，D在圓F上，連接DF，

DF=? ? BC=2? 2，則DE≤DF+EF=2? 2+2? 6 .

則AC≤2? 2+2? 6，即AC最大值為2? 2+2? 6 .

【點(diǎn)評：將三角形ABC旋轉(zhuǎn)到DBE，E點(diǎn)位置使三角形BCE為等邊三角形】

在新課改環(huán)境下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用圖形旋轉(zhuǎn)可以改善傳統(tǒng)的教學(xué)模式，優(yōu)化解題過程，能進(jìn)一步提高學(xué)生解題能力。