基于wNSA-Gauss-Seidel的Massive MIMO軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法研究

王濤

摘 要：基于高斯-賽德（Gauss-Seidel，GS）和加權(quán)Neumann序列展開式（weight Neumann Series Approximation，wNSA）相結(jié)合的方法，在大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系統(tǒng)中進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)研究。首先，將基于GS的軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法作為研究對(duì)象，證實(shí)相比于傳統(tǒng)的Neumann算法，GS迭代算法具有更優(yōu)的性能。其次，在傳統(tǒng)Neumann序列展開算法的基礎(chǔ)上研究加權(quán)Neumann序列展開算法，并將加權(quán)Neumann序列作為GS算法的迭代初值，設(shè)計(jì)得到wNSA-Gauss-Seidel算法，顯著提升收斂速率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于現(xiàn)有GS迭代算法和美國(guó)國(guó)家安全局（National Security Agency，NSA）的信號(hào)檢測(cè)算法，基于wNSA-Gauss-Seidel的信號(hào)檢測(cè)算法不僅在性能方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，而且在具有挑戰(zhàn)性的信道傳播環(huán)境中能夠以較低的復(fù)雜度獲得接近最小均方誤差（Minimum Mean Square Error，MMSE）信號(hào)檢測(cè)算法的性能。

關(guān)鍵詞：大規(guī)模多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng);高斯-賽德（GS）;Neumann序列;信號(hào)檢測(cè)

中圖分類號(hào)：TN929.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-5168（2021）17-0008-05

Research on Massive MIMO Soft Output Signal Detection

Algorithm Based on wNSA-Gauss-Seidel

WANG Tao

（Shenzhen Electrical Appliances Co.，Shenzhen Guangdong 518001）

Abstract： Based on the method of combining GS and wNSA， the signal detection research is carried out in the massive MIMO system. First of all， the soft output signal detection algorithm based on GS is taken as the research object， which proves that compared with the traditional Neumann algorithm， the GS iterative algorithm has better performance. Secondly， based on the traditional Neumann sequence expansion algorithm， the weighted Neumann sequence expansion algorithm is studied， and the weighted Neumann sequence is used as the initial value of the iteration of the GS algorithm， and the wNSA-Gauss-Seidel algorithm is designed to significantly improve the convergence rate. The experimental results show that， compared with the existing GS iterative algorithm and NSA signal detection algorithm， the signal detection algorithm based on wNSA-Gauss-Seidel not only has obvious advantages in performance， but also can obtain performance close to the MMSE signal detection algorithm with lower complexity in a challenging channel propagation environment.

Keywords： massive Multiple-Input Multiple-Output（MIMO） system;Gauss Seidel（GS）;Neumann sequence;signal detection

大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系統(tǒng)能夠提供更大的系統(tǒng)容量、更高的頻譜效率以及更加可靠的鏈路穩(wěn)定性，是5G/B5G無(wú)線通信系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。相比于傳統(tǒng)的MIMO技術(shù)在無(wú)線鏈路的發(fā)端和收端僅支持2～8根天線，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)基站配備了成百上千根天線，能夠同時(shí)同頻服務(wù)幾十個(gè)單天線用戶[2]。然而，隨著基站天線和用戶數(shù)量的急劇增加，大規(guī)模MIMO信號(hào)檢測(cè)在計(jì)算復(fù)雜度和硬件實(shí)現(xiàn)等方面面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。

在MIMO系統(tǒng)中，最優(yōu)的信號(hào)檢測(cè)問題實(shí)際上可以歸結(jié)為非確定性多項(xiàng)式（Nondeterministic Polynomially，NP）問題。因此，現(xiàn)有的信號(hào)檢測(cè)算法設(shè)計(jì)主要解決這一問題，如最大似然（Maximum Likelihood，ML）準(zhǔn)則、最大后驗(yàn)概率（Maximum A Posteriori，MAP）準(zhǔn)則等。然而，一方面，隨著天線數(shù)量的急劇增長(zhǎng)，執(zhí)行性能最優(yōu)的ML和MAP都需要極高的計(jì)算復(fù)雜度;另一方面，最優(yōu)信號(hào)檢測(cè)器在硬件實(shí)現(xiàn)方面也面臨著極大挑戰(zhàn)。同時(shí)，科技的發(fā)展催生了新興應(yīng)用場(chǎng)景，如大規(guī)模機(jī)器通信（massive Machine Type Communications，mMTC）、高可靠低時(shí)延通信（ultra Reliable Low Latency Communications，uRLLC）以及增強(qiáng)型移動(dòng)寬帶（enhance Mobile Broadband，eMBB），導(dǎo)致僅具有中等規(guī)模的信號(hào)檢測(cè)器在這些應(yīng)用中不再適用。因此，低復(fù)雜度且性能接近最優(yōu)的信號(hào)檢測(cè)算法受到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注。

相比之下，線性信號(hào)檢測(cè)算法如最小均方誤差（Minimum Mean Square Error，MMSE）算法、破零（Zero Forcing，ZF）算法等具有良好的性能，包括計(jì)算復(fù)雜度折中、便于實(shí)現(xiàn)等，使其在工程上獲得了應(yīng)用廣泛。然而，在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，線性信號(hào)檢測(cè)算法涉及高復(fù)雜度的大維度矩陣求逆操作，并不適用于時(shí)延要求較高的5G系統(tǒng)[3]。利用大規(guī)模MIMO信道硬化特性，Neumann序列展開（Neumann Series Approximation，NSA）算法可以有效減少矩陣求逆的復(fù)雜度[4]。然而，當(dāng)Neumann序列展開階數(shù)[K>2]時(shí)，該算法仍然存在計(jì)算復(fù)雜度較高的問題。為了減少計(jì)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)提出了高斯-賽德（Gauss-Seidel，GS）迭代算法[5]。相比于Jacobi算法，GS迭代算法明顯具有更快的收斂速率。為了提升信號(hào)檢測(cè)性能，文獻(xiàn)還提出了一種基于GS迭代算法的軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法[5]。然而，現(xiàn)有的基于GS迭代算法的檢測(cè)器依然面臨著收斂速率較慢和計(jì)算復(fù)雜度較高等問題。

針對(duì)上述問題，本文提出了一種基于wNSA-Gauss-Seidel的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法。它充分利用MMSE濾波器矩陣的對(duì)角占優(yōu)特性，將2階加權(quán)的Neumann序列展開（weight Neumann Series Approximation，wNSA）算法作為GS的軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法的迭代初值，從而能夠以較低的計(jì)算復(fù)雜度顯著提升收斂速率，且這種性能優(yōu)勢(shì)在具有挑戰(zhàn)性的信道傳播環(huán)境中更加明顯。

1 系統(tǒng)模型

在一個(gè)多用戶大規(guī)模MIMO上行系統(tǒng)中，基站配備了[B]根天線，在同一時(shí)頻資源內(nèi)服務(wù)[U]個(gè)單天線用戶，其中[B?U]。假設(shè)用戶端發(fā)送的數(shù)據(jù)向量[s=[s1，s2，…，sU]∈ΩU]，其中[Ω]對(duì)應(yīng)于[2m-QAM]調(diào)制星座圖，那么基站接收端的接收信號(hào)[y]可以寫成：

式中：[y=[y1，y2，…，yB]T∈?B×1];[H∈?B×U]表示信道矩陣;[n∈?B×1]表示接收端噪聲，其元素服從均值為0、方差為[σ2n]的復(fù)高斯分布。假設(shè)基站端能夠獲得完美信道狀態(tài)信息，且發(fā)送信號(hào)的歸一化方差為[Es=E[|si|2]=1]，那么每根接收天線的平均信噪比為[SNR=UEs/N0][4]。

2 軟輸出MMSE數(shù)據(jù)檢測(cè)

文獻(xiàn)指出，在大規(guī)模MIMO上行系統(tǒng)中，當(dāng)[B?U]時(shí)，低復(fù)雜度的MMSE算法被證實(shí)具有接近最優(yōu)的系統(tǒng)性能[6-7]。若接收端采用MMSE線性檢測(cè)器，則在基站處對(duì)發(fā)送信號(hào)進(jìn)行估計(jì)：

式中：[W=G+N0IU]為正規(guī)化Gram矩陣;[G=HHH]為Gram矩陣;[yMF=HHy]為匹配濾波器輸出。

為了便于求解對(duì)數(shù)似然比（Likelihood Rate，LLR），式（2）可以重寫為：

式中：[U=W-1G]為等效信道矩陣。

根據(jù)式（3），基站估計(jì)得到的第[i]個(gè)用戶發(fā)送的信息為[si=μisi+ti]，其中[μi=Uii]代表有效信道增益和，[ti]代表噪聲干擾值（Noise Plus Interference，NPI）。由于高階調(diào)制存在一定的性能損失，文獻(xiàn)提出一種基于格雷碼映射規(guī)則的近似LLR計(jì)算[5]。為此，第[i]個(gè)用戶發(fā)送的第[b]個(gè)比特?cái)?shù)的對(duì)數(shù)似然比可以通過式（4）計(jì)算得到：

式中：[zi=si/μi]和[ρi=μi/（1-μi）]代表信干噪比;[Ω0b]和[Ω1b]分別表示[Ω]中第[b]個(gè)比特?cái)?shù)為0和1;函數(shù)[λb（zi）]可以從格雷碼映射中計(jì)算得到。

3 wNSA-Gauss-Seidel信號(hào)檢測(cè)算法

3.1 Gauss-Seidel檢測(cè)算法

在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中直接計(jì)算[W-1]，需要的計(jì)算復(fù)雜度約為[O（U3）]，意味著系統(tǒng)擁有極大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。GS迭代算法能夠高效求解[U]維線性等式[Ax=b]，其中[A]為[U×U]維的矩陣，[x]為解向量，[b]為測(cè)量向量。由于[W=HHH+N0IU]為對(duì)稱正定矩陣，因此發(fā)送信號(hào)可以通過GS迭代算法估計(jì)得到：

式中：[K]表示最大的迭代次數(shù);[W=D+L+LH]，[D]、[L]以及[LH]分別表示矩陣[x]的對(duì)角矩陣、嚴(yán)格下三角矩陣和嚴(yán)格上三角矩陣;[s（0）]為迭代初值。

將式（5）進(jìn)行變換，可得GS迭代算法的迭代矩陣為：

GS迭代算法迭代矩陣的譜半徑明顯小于Neumann算法迭代矩陣譜半徑，故GS迭代算法相比于傳統(tǒng)的Neumann算法擁有更快的收斂性能[8]。然而，由于缺乏信道的先驗(yàn)信息，迭代初值[s（0）]難以確定[9]。

3.2 快速收斂的迭代初值設(shè)計(jì)

基于前文的分析，由于缺乏先驗(yàn)信息和在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中[W=G+N0IU]為一個(gè)對(duì)角占優(yōu)矩陣，目前大部分文獻(xiàn)采用[O]向量或者[D-1yMF]向量作為GS迭代算法的迭代初值[s（0）][10]。但是，采用上述迭代初值后，GS迭代算法收斂性能改善程度仍然有限。

本文提出將加權(quán)Neumann序列作為GS迭代算法的迭代初值，設(shè)計(jì)得到wNSA-Gauss-Seidel算法，進(jìn)一步提升收斂速率。

3.2.1 Neumann序列展開。根據(jù)相關(guān)定理[4]，[W-1]可以展開成Neumann序列，以減少計(jì)算復(fù)雜度。具體而言，當(dāng)[limn→∞（-D-1E）n=0]或者[ρ（-D-1E）<1]時(shí)，[W-1]可以近似成[W-1≈n=0L-1（-D-1E）nD-1]，其中[W=D+E]，[D]表示矩陣[W]的對(duì)角矩陣。雖然Neumann序列展開式有利于工程實(shí)現(xiàn)，但是對(duì)于一些系統(tǒng)配置，[{ξ：ξ=B/U<5.8}]存在[ρ（-D-1E）>1][11]，故Neumann序列展開式不滿足收斂條件而導(dǎo)致發(fā)散。同樣地，Jacobi和Richard迭代算法也面臨這一問題。為了解決此問題，本文將進(jìn)一步優(yōu)化序列拓展結(jié)構(gòu)。

3.2.2 最優(yōu)的wNSA展開算法。首先，矩陣[W]可以分解成[W=1γDIU-IU-γD-1W]，則逆矩陣[W-1]可以寫成：

式中：[MwNSA，L]表示wNSA矩陣;[γ]為可調(diào)因子。當(dāng)[L=2]時(shí)，[MwNSA，L=2γD-1-γ2D-1WD-1]。觀察式（7）可知，[γ]值的選取很大程度上決定了wNSA矩陣逼近[W-1]的精度。為了達(dá)到最快的收斂速率，要實(shí)現(xiàn)迭代矩陣譜半徑[ρ（IU-γD-1W）]的最小化。wNSA矩陣中，[γ]的最優(yōu)值可以通過下述優(yōu)化問題獲得：

4 計(jì)算復(fù)雜度分析

在大規(guī)模MIMO上行系統(tǒng)中，由于大多數(shù)逼近線性MMSE的信號(hào)檢測(cè)算法都需要預(yù)先計(jì)算正規(guī)化Gram矩陣[W]以及匹配濾波器[yMF]，因此本文主要聚焦于GS-wNSA檢測(cè)算法逼近部分的計(jì)算復(fù)雜度。

①計(jì)算[MwNSA，2]：一個(gè)[U×U]的對(duì)角矩陣乘以一個(gè)[U×U]的矩陣，需要[2U2+2U]次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算。由于[D-1WD-1]是Hermit矩陣，因此僅有下三角和上三角元素需要計(jì)算，則計(jì)算[MwNSA，2]所需的總復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算為[U2+2U]。

②計(jì)算[s（0）]：由于匹配濾波器[yMF]是一個(gè)[U×1]的向量，則需要[U2]次復(fù)數(shù)計(jì)算可以獲得迭代初值[s（0）]。

③計(jì)算Gauss-Seidel迭代：考慮到[D+L]是一個(gè)下三角矩陣，則求解式（5）需要[KU2]次復(fù)數(shù)運(yùn)算，其中[K]為迭代次數(shù)。由于本文所提到的迭代初值[s（0）]比較接近[W-1yMF]，因此所需的迭代次數(shù)[K]較小。

④計(jì)算LLR：用于計(jì)算LLR逼近的復(fù)雜度為[NLLR=U2+U]。

綜上，wNSA-Gauss-Seidel算法總的復(fù)雜度約為[O（3+K）U2+3U]。

5 仿真與數(shù)據(jù)分析

本文研究wNSA-Gauss-Seidel算法的誤比特率性能，并與精確的MMSE算法、GS迭代算法以及NSA算法進(jìn)行對(duì)比分析。假設(shè)在一個(gè)未編碼的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，基站端具有完美的信道狀態(tài)信息，信號(hào)采用64QAM調(diào)制方式。仿真中，本文主要考慮瑞利信道模型和空間相關(guān)信道模型[5]兩種信道模型。其中，[a]表示基站端的相關(guān)系數(shù)，能夠有效刻畫信道的相關(guān)性。

圖1給出了不同系統(tǒng)配置下wNSA-Gauss-Seidel算法的誤碼率性能。由圖1可知，當(dāng)[B=128、U=16]時(shí)，wNSA-Gauss-Seidel算法僅需要兩次迭代就能夠獲得和精確MMSE算法幾乎相同的性能。當(dāng)基站天線數(shù)量不變、用戶數(shù)量增加到32時(shí)，由于空間自由度減少，wNSA-Gauss-Seidel算法需要增加迭代次數(shù)（即[K=4]）才能收斂到精確MMSE性能，但是復(fù)雜度依然較低?？梢姡瑆NSA-Gauss-Seidel算法在不同的系統(tǒng)配置下均具有良好的收斂性能。

圖2對(duì)比了wNSA-Gauss-Seidel算法與GS迭代算法和NSA算法的誤碼率性能。仿真結(jié)果表明，當(dāng)[B=128、U=32]時(shí)，NSA算法由于不滿足收斂條件導(dǎo)致發(fā)散，而基于GS迭代的軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法具有明顯更優(yōu)的性能。同時(shí)，相比于GS迭代算法和NSA算法，wNSA-Gauss-Seidel算法通過計(jì)算最優(yōu)加權(quán)因子，能夠顯著提升系統(tǒng)收斂性能，從而達(dá)到精確MMSE算法的誤碼率性能。

圖3進(jìn)一步在空間相關(guān)信道下對(duì)比了wNSA-Gauss-Seidel算法與GS迭代和NSA算法的誤碼率性能。仿真結(jié)果表明，當(dāng)[B=128]、U=32、空間相關(guān)系數(shù)[a=0.4]時(shí)，所有算法的誤碼率性能均有所降低，但是wNSA-Gauss-Seidel算法依然能夠以較低的復(fù)雜度（5次迭代）獲得和精確MMSE算法幾乎相同的性能，且誤碼率性能明顯優(yōu)于GS迭代迭代算法。此外，NSA算法由于不滿足收斂條件導(dǎo)致無(wú)法收斂。可見，所提wNSA-Gauss-Seidel算法很好地在計(jì)算復(fù)雜度和誤碼率性能之間取得了平衡。

以及MMSE算法的誤碼率性能比較

6 結(jié)論

本文提出了一種基于wNSA-Gauss-Seidel的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法。在傳統(tǒng)Neumann序列展開算法的基礎(chǔ)上，筆者研究了加權(quán)Neumann序列展開算法，并將2階加權(quán)Neumann序列作為Gauss-Seidel算法的迭代初值，設(shè)計(jì)得到了wNSA-Gauss-Seidel算法，顯著提升了收斂速率。仿真結(jié)果表明，相比于現(xiàn)有的大規(guī)模MIMO線性迭代信號(hào)檢測(cè)算法，基于wNSA-Gauss-Seidel的信號(hào)檢測(cè)算法不僅在收斂性和誤碼率性能方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，而且在不同系統(tǒng)配置和具有挑戰(zhàn)性的信道傳播環(huán)境中均能夠以較低的復(fù)雜度獲得接近精確MMSE信號(hào)檢測(cè)算法的性能。

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