Newell方程的行波解研究

劉紅霞,韓青秀,廖玲藍(lán)，伍 蕓

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 貴陽(yáng) 550025)

0 預(yù)備知識(shí)

考慮如下的Newell方程

(1)

在非線性數(shù)學(xué)物理中Newell方程應(yīng)用十分廣泛，Newell方程能夠更好的解決流體力學(xué)、電磁場(chǎng)中帶電粒子的非線性運(yùn)動(dòng)、一維非線性晶格的振動(dòng)等問題。由于實(shí)際問題的需求，目前求解非線性發(fā)展方程精確解的方法有齊次平衡法[1-3]、首次積分法[4-5]、各種函數(shù)展開法和試探函數(shù)法[6-7]，包永梅[8]利用函數(shù)變換法等等。而本文主要應(yīng)用微分方程定性理論與動(dòng)力系統(tǒng)分支方法[4-5]求解方程(1)的行波解的參數(shù)解。

為了研究方程(1)的行波解，設(shè)c>0是波速，令u(x,t)=φ(ξ)，ξ=x-ct，u=φ(ξ)代入方程可得

c2φ″-c02φ″-αφ′φ″-βφ?′=0

(2)

對(duì)(2)式關(guān)于ξ兩邊積分可得

(3)

其中，g是積分常數(shù)，且g≠0。

令φ′=v，得到下面的平面系統(tǒng)

(4)

由于(4)式中的第二個(gè)式子不含φ函數(shù)，則重新寫成等價(jià)的動(dòng)力系統(tǒng)

(5)

很明顯，系統(tǒng)(5)是一個(gè)有著Hamiltonian函數(shù)的Hamiltonian系統(tǒng)

(6)

則有下面的結(jié)果:

(Ⅰ)當(dāng)Δ>0時(shí)，f(v)有兩個(gè)零點(diǎn)v1和v2，它們的表達(dá)式為:

(7)

(Ⅱ)當(dāng)Δ=0時(shí)，f(v)有一個(gè)零點(diǎn)v0，它的表達(dá)式為:

(8)

(Ⅲ)當(dāng)Δ<0時(shí)，f(v)沒有零點(diǎn)。

利用微分方程動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論，有下面的結(jié)論:

通過前面的分析，當(dāng)k>0,α>0,β>0時(shí)，(ν1，0)為鞍點(diǎn)，(ν2,0)為中心，當(dāng)k>0,α>0,β<0時(shí)，(ν2,0)為鞍點(diǎn)，(ν1,0)為中心，當(dāng)k<0,α<0,β>0時(shí)，(ν1,0)為鞍點(diǎn)，(ν2,0)為中心，當(dāng)k<0,α<0,β<0時(shí)，(ν2,0)為鞍點(diǎn)，(ν1,0)為中心，得到系統(tǒng)(5)的相圖,如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(5)的相圖

1 Newell方程的行波解的參數(shù)表達(dá)式

接下來，根據(jù)軌道圖，利用橢圓積分公式，求解孤立波解和周期波解。

情形1當(dāng)k>0.α>0,β>0.方程(1)有兩個(gè)孤立波解和兩個(gè)周期波解

c1，c2是積分常數(shù)。

證明在(6)式中，令H(v1,0)=h1，則有

(9)

由(5)式得

(10)

由積分(10)式得

(11)

由(11)式得到

(12)

同理，在(6)式中，令H(v2,0)=h2，則有

(14)

由(5)式可得

(15)

由積分(15)式得

(16)

由(16)式得到

(17)

情形2當(dāng)k>0,α>0,β<0時(shí)，方程(1)有兩個(gè)孤立波解和兩個(gè)周期波解

c3、c4是積分常數(shù)。

證明在(6)式中，令H(v2,0)=h2，則有

(18)

由(5)式得

(19)

由積分(19)式得

(20)

由(20)式得到

(21)

同理,在(6)式中，令H(v1,0)=h1，則有

(22)

由(5)式可得

(23)

由積分(23)式得

(24)

由(24)式可得

(25)

情形3當(dāng)k<0,α<0,β>0.時(shí)方程(1)有兩個(gè)孤立波解(與有著相同形式)和兩個(gè)周期波解(與有著相同形式)。

證明在(6)式中，令H(v1,0)=h1，則有

(26)

由(5)式得

(27)

同理，在(6)式中，令H(v2,0)=h2，則有

(28)

由(5)式可得

(29)

情形4當(dāng)k<0,α<0,β<0.時(shí)，方程(1)有兩個(gè)孤立波解(與有著相同形式)和兩個(gè)周期波解(與有著相同形式)。

證明在(6)式中，令H(v2,0)=h2，則有

(30)

由(5)式得

(31)

同理，在(6)式中，令H(v1,0)=h1，則有

(32)

由(5)式可得

(33)