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    一類二次奇攝動問題的角層近似解的構造

    2021-11-13 08:10:38鐘家偉凌婷婷劉樹德
    合肥學院學報(綜合版) 2021年5期
    關鍵詞:展開式內層邊界層

    鐘家偉,凌婷婷,劉樹德

    (安徽信息工程學院,安徽 蕪湖 241000)

    1 引 言

    在工程技術和科學問題的應用領域中,會出現(xiàn)各種邊界層和內層現(xiàn)象。由于問題的非線性、非均勻性和邊界條件的一般性,人們通常只能求其近似解,而各種攝動方法則是求近似解的有力手段。通過對邊界層或內層的構造,有助于弄清解的解析結構,更重要的是能夠提供有效的近似解。

    有許多方法可用于處理出現(xiàn)邊界層和內層現(xiàn)象的奇攝動問題,其中角層問題通常運用微分不等式理論和方法。[1-3]通過構造適當?shù)牟坏仁?,對所論問題的解作出先驗估計。但該方法僅給出精確解與退化解之間的一個估計,未能構造出具有角層性質的校正項。

    為此,本文考慮改用匹配漸近展開法。[4-9]先確定角層的位置,求出兩個不同尺度的內、外展開式,其中每一個展開式在一部分區(qū)域上有效,并使相鄰展開式的有效區(qū)域相互重疊,然后按匹配原則進行匹配,形成在整個區(qū)間上一致有效的復合展開式,從而得到該問題具有角層性質的近似解。

    2 主要結果

    考慮如下形式的二次邊值問題

    εy″=f(x)(1-y′2),0

    (1)

    y(0)=A,y(1)=B

    (2)

    其中:ε>0為小參數(shù);f(x)為區(qū)間[0,1]上的光滑函數(shù)且f(x)>0;A,B為給定常數(shù)滿足|A-B|<1。

    先確定問題(1),(2)內層的位置。設外展開式為如下冪級數(shù)形式

    y(x)~y0(x)+εy1(x)+…

    (3)

    將(3)代入(1),由ε0系數(shù)相等得退化方程

    (4)

    的情形。容易求出

    分別是方程(4)滿足邊界條件y(0)=A和y(1)=B的解。外部解的零次近似可取為

    由于

    因此問題(1),(2)的解在x=x0處出現(xiàn)角層現(xiàn)象,即當ε→0時,在x=x0附近急劇的變化不是發(fā)生在解的本身,而是在它的導數(shù)上。具有這種性質的解也稱為角層解。

    ∞∞.

    (5)

    設角層解的內展開式為

    (6)

    將(6)代入(5),有

    ε1-2λ(Y0″+εγY1″+…)=[f(x0)+…][1-ε-2λ(Y0′+εγY1′+…)2]

    (7)

    從(7)式看出,若Y0′≠0,則不能確定特異極限λ。當即為常值函數(shù)時,按平衡條件得

    1+γ-2λ=2γ-2λ

    由此可確定γ=1,且特異極限對應于λ=1。

    根據(jù)匹配原則,若使一項外展開式與一項內展開式進行匹配,應有

    Y0(-∞)=Y0(+∞)=y0(x0)

    (8)

    ∞∞

    在(7)式中取γ=λ=1,則O(1)項所滿足的方程為

    ∞∞

    (9)

    記f(x0)=σ(σ>0),將(9)改寫為

    (10)

    再應用匹配原則,若使一項外展開式y(tǒng)0(x)與兩項內展開式進行匹配,應同時滿足(8)和

    Y1(-∞)=Y1(+∞)=0

    (11)

    于是

    類似討論得到

    現(xiàn)在將一項外展開式y(tǒng)0(x)與兩項內展開式相加并減去它們的公共部分y0(x0),形成復合展開式

    當0≤x≤x0時,

    當x0≤x≤1時,

    因此區(qū)間[0,1]上,復合展開式寫為

    即問題(1),(2)的解在x=x0處出現(xiàn)了角層。

    例考慮邊值問題[6]

    εy″=x2(1-y′2),0

    (12)

    y(0)=1,y(1)=1

    (13)

    這是問題(1)、(2)的類型,其中函數(shù)f(x)=x2,常數(shù)A=B=1滿足|A-B|<1。由此算出因此,問題(12),(13)在處出現(xiàn)了角層,且角層解可表示為

    這與文獻[6]通過直接構造所得的結果是一致的。

    3 結束語

    本文考慮的二次奇攝動問題常常出現(xiàn)在應用領域中,但有關它的研究論文卻相對較少。由于微分方程中含有y′的平方項,給構造邊界層或內層的校正項帶來一定的困難。例如,在一般情況下,按照匹配原則使一項外展開式與一項內展開式進行匹配,便可得到滿足邊界層或內層性質的校正項,但在本例中,需要用一項外展開式y(tǒng)0(x)與兩項內展開式進行匹配才滿足匹配條件的要求。

    另一方面,在匹配方法上,當外展開式與內展開式的項數(shù)不相同時,通常用Van Dyke匹配原則[5]或中間變量匹配原則[6],匹配過程比較復雜;而本文仍采用相對簡單的Prandtl匹配原則[7],這是匹配技術上的一點創(chuàng)新。

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