基本不等式中“定值”的配湊技巧

張光華

基本不等式是求解最值問題的重要T具.運(yùn)用基本不等式解題需要把握三個(gè)條件：①兩個(gè)數(shù)都為正數(shù)，②指兩數(shù)的和或積為定值，③相等是指取等號(hào)時(shí)兩數(shù)相等.而運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是配湊出和或積的“定值”.本文重點(diǎn)談一談基本不等式中“定值”的配湊技巧.

一、添項(xiàng)、減項(xiàng)

添項(xiàng)、減項(xiàng)是指根據(jù)題設(shè)合理添加或減少某些項(xiàng)，從而配湊出基本不等式中“定值”的技巧.在解題時(shí)，我們要先將已知條件和所求目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來，合理添加或減少某些項(xiàng)，使目標(biāo)式與已知關(guān)系式靠攏，從而配湊出兩式的和或積的定值.

在配湊基本不等式中的“定值”時(shí)，我們要注意觀察目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征以及分母、分子之間的關(guān)系，再結(jié)合已知關(guān)系式進(jìn)行添項(xiàng)、減項(xiàng)，構(gòu)造出基本不等式中的和或積的定值.對(duì)于本題，我們先根據(jù)目標(biāo)式中的分母添加一項(xiàng)

，然后將目標(biāo)式變形為

，便可使其積為定值.

解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)分母來添項(xiàng)、減項(xiàng)，從而配湊出滿足基本不等式應(yīng)用條件的兩式，并使其積為定佰.

二、換元

換元是指將代數(shù)式中的某一部分或整體用一個(gè)新元替換，從而求得問題答案的技巧.在運(yùn)用換元技巧解題時(shí)，我們要仔細(xì)觀察已知關(guān)系式和目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，明確換元的部分，以便配湊出兩式的和或積，從而化繁為簡(jiǎn).

我們通過換元，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題：已知a> l.b>l，a+2b =4，求

的最值.通過換元也使兩式的和為定值，這樣運(yùn)用基本不等式便可求得最值. 總之，在配湊基本不等式中的定值時(shí)，要學(xué)會(huì)通過觀察、聯(lián)想、分析、類比等方式，找準(zhǔn)添項(xiàng)、減項(xiàng)、換元的切人口，快速配湊出兩式的和或積的定值，再運(yùn)用基本不等式求得問題的答案.

（作者單位：無錫汽車工程高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校）