一類脈沖非線性分數(shù)階微分耦合系統(tǒng)Cauchy問題的Ulam-Hyers穩(wěn)定性

王 悅，趙凱宏

(昆明理工大學 理學院，云南 昆明 650500)

0 引 言

Ulam-Hyers穩(wěn)定性問題可以追溯到文獻[1]作者在1940年對擾動系統(tǒng)和原系統(tǒng)的逼近問題所作的重要研究.Ulam-Hyers穩(wěn)定性的嚴格數(shù)學定義可參閱相關專著[2-3].Ulam-Hyers穩(wěn)定性理論是完全不同于Lyapunov-type、Lagrange-type、Poisson-type、Popov-type等的穩(wěn)定性.Ulam-Hyers穩(wěn)定性問題已經吸引了許多學者的關注和研究.1993年，Obloza首先研究微分方程的Ulam穩(wěn)定性問題[4].此后，許多學者也開始研究微分方程的Ulam-Hyers穩(wěn)定性問題，并取得了大量豐碩的成果[5-12].

作為整數(shù)階微分系統(tǒng)的拓展和延伸，特別在描述具有記憶和遺傳特性的現(xiàn)象和過程方面，分數(shù)階微分系統(tǒng)有著整數(shù)階微分系統(tǒng)不可替代的優(yōu)勢.因此，分數(shù)階微分系統(tǒng)的動力學行為吸引了許多學者的廣泛關注和深入研究.特別是關于分數(shù)階微分系統(tǒng)的Ulam-Hyers穩(wěn)定性和廣義Ulam-Hyers穩(wěn)定性研究已經獲得許多成果[13-16].文獻[17]研究了如下的關于線性分數(shù)階微分方程：

(1)

1 預備工作

首先給出分數(shù)階積分的定義和相關性質，同時也對Mittag-Leffler 函數(shù)和拉普拉斯變換的定義和性質予以介紹.

定義1[28]連續(xù)函數(shù)f：[0，∞)→R的α>0階Liouville-Caputo分數(shù)階積分定義為：

定義2[28]如果f∈Cn([0，∞),R)且α>0，α階Liouville-Caputo分數(shù)階微分定義為:

實變量t∈(0,∞)的函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換定義為:

(2)

引理1[28]對于任意的T>0，n-1<γ≤n，u(t)∈ACm[0，T] ，如果存在M>0，v>0，使得:

|u(t)|≤Mevt,t>T

成立，那么有:

(3)

定義3[28]經典的單參數(shù)Mittag-Leffler 函數(shù)Eα(z)和雙參數(shù)Mittag-Leffler 函數(shù)Eα,β(z)定義如下：

Mittag-Leffler函數(shù)的拉普拉斯變換為：

(4)

(5)

如果t∈0},α,β，λ∈，(α)>0，那么Eα(λtα)和tβ-1Eα,β(λtα)的整數(shù)階導數(shù)為:

(6)

則線性分數(shù)階微分耦合系統(tǒng)(6)的解為:

(7)

證明在系統(tǒng)(6)的兩邊運用拉普拉斯變換，并結合(3)可得:

整理上式可得

(8)

在公式(8)兩邊使用拉普拉斯逆變換，結合式(2)、式(4)及式(5)，可得:

和

這樣就得到式(7).

(9)

其中：i=1,2,…，m,j=0,1,2,…，m.

(10)

(11)

=bEβ(λ2tβ)+aμH(t0,t)+μH1xy(t0,t)+G2xy(t0,t)

根據(jù)式(10)、式(11)和系統(tǒng)(1)的脈沖條件，可得

(12)

(13)

(14)

當t∈(t1，t2] ，由引理2, 系統(tǒng)(1), 式(12)～式(14)可得：

(15)

(16)

根據(jù)系統(tǒng)(1)的脈沖條件、式(15)和式(16)，有：

(17)

(18)

(19)

重復上面的過程，當t∈(ti,ti+1]，i=2,3,…,m,有：

(20)

(21)

2 主要結果

首先介紹Ulam-Hyers 穩(wěn)定性的概念和一些基本引理.然后再證明本文的主要結果.

引理4[26]對于任意的λ≤0,α>0和t∈J，則有：

由于Beta函數(shù)B(·，·)在后面的推導中被多次用到，現(xiàn)介紹如下：

(22)

(23)

其中：λ1<0,λ2<0,i=0,1,…,m.

其中：λ1<0,λ2<0,i=0,1,…,m.

(24)

其中：i=1,2,…，m,j=0,1,2,…，m

(25)

(26)

由式(22)和引理4，可得:

(27)

(28)

(29)

由式(26)～式(29)和引理4得:

(30)

(31)

(32)

(33)

接下來研究系統(tǒng)(1)解的存在唯一性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性.為此先介紹如下一些假設條件：

(C1)0<α,β<1,λ1<0,λ2<0,μ,a和b都是實數(shù)；

定理1假設條件(C1)～(C4)滿足，那么有以下結論成立：

(T(x,y))(t)=((T1(x,y))(t),(T2(x,y))(t))

(34)

(35)

(36)

首先，應用Banach壓縮映射原理去證明定理1的結論(i)成立，可分兩步進行.

這表明(T1(x,y))(t),(T2(x,y))(t)∈AC1[J].根據(jù)條件(C1)～(C3)，對于i=1,2,…,m，j=0,1,2,…,m，有：

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

由式(37)～式(45)，可得：

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

由式(50)～式(53)可得:

(54)

(55)

3 舉 例

考慮下面的脈沖非線性分數(shù)階微分耦合系統(tǒng)的Cauchy問題：

(56)

于是定理1中的(C1)～(C3)條件滿足.現(xiàn)在需要驗證條件(C4)成立.事實上，由于ρ0<ρ1<ρ2<ρ3<ρ4,σ0<σ1<σ2<σ3<σ4,?0

4 結 論

脈沖分數(shù)階微分方程在刻畫瞬時變化的現(xiàn)象和過程方面具有很大的優(yōu)勢.據(jù)我們所知，脈沖非線性分數(shù)階微分耦合系統(tǒng)Ulam-Hyers穩(wěn)定性的研究結果是比較少見的.因此，對系統(tǒng)(1)的研究既新穎又富有挑戰(zhàn)性.在研究過程中主要運用拉普拉斯變換，Mittag-Leffler 函數(shù)，不動點定理，不等式技巧等數(shù)學方法.這些技巧和方法對于研究類似的數(shù)學問題也是行之有效的.從ρ和?的表達式可見耦合系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量對系統(tǒng)解的存在性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性是相互影響的.