數理邏輯的創(chuàng)始人——弗雷格

杜瑞芝

L.G.弗雷格（L.G.Frege）是德國數學家、邏輯學家和哲學家.早年他在耶拿大學、弗雷格哥丁根大學學習數學、物理、化學和哲學，1873年獲博士學位后在母校耶拿大學任教，直至退休.他是數理邏輯和分析哲學的奠基人，主要著作有《算術基礎》《涵義與指稱》《概念語言》《算術的基本規(guī)律》1～2卷（以下簡稱《基本規(guī)律》）等.

弗雷格首先是作為一位數學家和邏輯學家而聞名于世的.他在數學上的主要成就是使自C.F.高斯（C.F.Gauss）以來所建立的數學體系更加精確和完善，確立了算術演算的基本規(guī)則.他第一個建立了初步自足的命詞演算系統(tǒng)和量詞理論，并且首次提供了現代意義下的數理邏輯的一個體系，因而成為數理邏輯的奠基人.他還提出數學可以化歸為邏輯的思想，成為邏輯主義的創(chuàng)始人.弗雷格還是一位杰出的哲學家.他的絕大部分著作都具有明顯的哲學特征.弗雷格對哲學的重新規(guī)定，標志著當代西方分析哲學的開端.

一、建立了邏輯演算體系

弗雷格主要從事純邏輯的研究.他用數學方法研究邏輯問題，其研究成果總結在1879年出版的《概念語言》中.18世紀德國哲學家A.特倫德倫堡（A.Trendelenburg）的著作對弗雷格有較大的影響.通過研究特倫德倫堡的工作，弗雷格了解到G.W.萊布尼茨（G.W.Leibniz）關于邏輯語言的觀點，并追隨特倫德倫堡，把他的邏輯符號系統(tǒng)稱作“概念語言”.經過5年的精心研究，弗雷格完成了一部劃時代的著作——《概念語言》.在這本書里，弗雷格把從R.H.洛采（R.H.Lotze）和特倫德倫堡，以及從萊布尼茨和I.康德（l.Kant）那里得到的觀點，變成了一種全新的邏輯.這本不足80頁的書是弗雷格的不朽之作.弗雷格在此建立的邏輯有效地終結了亞里士多德邏輯兩千多年來一直占據的統(tǒng)治地位，完成了始于幾百年前G.伽利略（G.Galilei）破除亞里士多德物理學的進程.在《概念語言》中，弗雷格創(chuàng)造了一種表意的語言，即“純粹思想的語言”.正如他在這本書的副標題中所說——它可以使我們完全精確地表達判斷的概念內涵.他覺得日常語言是表達嚴密思想的障礙.當所表達的關系越復雜時，日常語言就越不能滿足要求.因此他創(chuàng)造了這種概念語言.利用這種語言，弗雷格成功地構造了一個嚴格的邏輯演算體系.

下面簡要介紹一下弗雷格邏輯演算的內容.

1.弗雷格嚴格區(qū)別了命題的表達和斷定.他引進斷定符號“”.用“”表示“是被斷定的”，將垂直短線“”稱為判斷短線、水平短線“”稱為內容短線.“”是一個整體，它只表達可斷定的內容，即命題的表達.而“”才表示命題的斷定.如“”表示“不同的磁極相互吸引”這一斷言，而“”只是表達了不同磁極相互吸引這一思想.

2.弗雷格明確提出真值蘊涵的思想，并指出它與日常語言的區(qū)別.他采用否定和蘊涵作為基本的邏輯聯(lián)結詞，用“”表示“非”.符號“△”表示“△蘊含”.他列舉了和△的四種可能的真值組合：（1）??? 肯定，△肯定;（2）??? 肯定，△否定;（3）??? 否定，△肯定;（4）??? 否定，△否定.弗雷格說，當為真時，△蘊含常可被斷定，在此情形下，△可以是任一命題，其具體內容完全無所謂.??? 和△不必有因果關系，與日常語言中的“如果……則”……不同.

3.弗雷格引進了一個內容同一的符號.設和△為任意名稱，即不一定是命題記號，他規(guī)定，“”的意思是“名稱和名稱△有相同的概念內容，使得總是能由△替換，反之亦然”.他還指出，由他的新符號所聯(lián)結的名稱不僅代表它們的內容而且代表名稱自身.后來，他改用符號“=”，“=”不被看成兩個名字之間的關系，而是看成名字的指稱之間的關系.“=”用于專門的指稱，相當于等詞;用于命題的指稱（真值），則相當于現在的等值符號.

4.弗雷格把數學中的函數概念引入邏輯演算，從而建立了量詞的理論.他采用變目和函項兩個術語，表示變目，記號表達變目的一個不確定的函項.記號表達按順序所取的兩個變目和△的一個函項.假定如下一種函項：當它由變目填滿時，它表達可能的判斷內容.于是，“”讀作“有性質Φ”，“”讀作“與△有關系Ψ”.弗雷格使用這種符號的主要優(yōu)點是，它比普通語言所表達的更令人滿意.在此基礎上，弗雷格引進了全稱量詞和存在量詞.

5.弗雷格建立了8條公理，用現代的符號表示為：

（1）??? ;

（2）??? ;

（3）??? ;

（4）??? ;

（5）??? ;

（6）??? ;

（7）??? ;

（8）??? .

弗雷格在上述公理的基礎上，進行了大量的推演，成功地構造了一種基本自足的邏輯演算，從而給出了歷史上第一個嚴格的關于邏輯規(guī)律的公理系統(tǒng)——現代的邏輯系統(tǒng).它實質上包含了作為現代數理邏輯基礎的兩個演算系統(tǒng)——命題演算系統(tǒng)和一階謂詞演算系統(tǒng).

不幸的是，弗雷格這本劃時代的小冊子被數學家和哲學家們忽視了.他在《概念語言》中建立的新邏輯沒有馬上被人理解.其中使用復雜而陌生的符號來表達新奇的概念，確使讀者望而生畏.德國數學家E.施羅德（E.Schrder）發(fā)表了長篇文章，對該書進行全面批評.事實上，直到B.A.W.羅素（Russell）1901年開始發(fā)現弗雷格著作的價值之前，《概念語言》幾乎沒有讀者.

《概念語言》出版之后，弗雷格開始形成邏輯主義的觀點.在最初幾年，他由于自己的著作沒有受到重視而大受挫折，沒有發(fā)表任何作品.但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲學和數學觀點，并逐漸形成了他的數學哲學的三個主要原則：

第一，他反對在數學基礎問題上的經驗主義，否認數學來源的經驗基礎，強調數學真理的先天性;

第二，他認為數學真理是客觀的，這種客觀性基于數學的非經驗的基礎.在他看來，客觀性是思想的必要條件;

第三，他主張一切數學最終都可化歸為邏輯，數學概念可以定義為邏輯普遍要求的概念，數學公理可以從邏輯原則中得到證明.

這第三條原則后來被羅素作為邏輯主義的基本主張而廣為傳播，弗雷格因此成為邏輯主義的創(chuàng)始人之一.

二、將自然數的理論“邏輯化”

弗雷格發(fā)展了《概念語言》中關于數學序列的理論.在那里他用“遺傳性”定義了“y屬于從x開始的f-序列”和“y是x的f-后裔”，為自然數的定義和說明數學歸納法作了理論和技術上的準備.弗雷格給出的自然數定義的核心在于使用了，一一對應”的概念：屬于兩個概念F和G的對象借助于關系Φ一一對應，如果：（1）每一個屬于概念F的對象對于屬于概念G的一個對象，有關系Φ;（2）對于屬于概念G的每一個對象，存在一個屬于概念F并與前者有關系中的對象;（3）對所有x，y和z而言，如果x對y和z有關系中，那么y和z就是同樣的;（4）對所有x，y和z而言，如果x和y對z有關系Φ，那么x和7就是同樣的.

弗雷格在此基礎上構造了以下三個定義：

（1）“概念F與概念G是等數的”與“存在一個關系Φ，使得屬于概念F的對象與屬于概念G的對象一一對應”其意義是相同的.

（2）屬于概念F的數是“與概念F等數”這一概念的外延.

（3）“n是一個數”與“存在一個概念使得n是屬于它的數”其意義是相同的.

接著他又定義了“n在自然數序列中是m的直接后繼”：“存在一個概念F和一個歸于它的對象x，使得屬于概念F的數是n，屬于概念‘歸于F但不同于x’的數是m”.這實質上是后繼函數的定義.

在這些工作的基礎上，弗雷格取0作為數列的起點，提出了如下定義：

0是屬于概念“不同于自身”的數;

1是屬于概念“同于0”的數;

2是屬于概念“同于0或同于1”的數;

3是屬于概念“同于0或同于1或同于2”的數;

……

可見，1在自然數序列中是0的直接后繼，2在自然數序列中是1的直接后繼，等等.

事實上，弗雷格所用到的“一一對應”概念與康托爾所謂的集合的“等價”意義是一樣的，弗雷格指出，他的數與康托爾理論中集合的“勢”或“基數”是相同的.兩個概念同數，就是兩個集合等價.概念“與概念F等數”的外延，就是與集合F等價的一切集合構成的集合.所以弗雷格實際上是把數定義為集合的集合，或類的類.利用康托爾的語言概括弗雷格關于數的定義：

（1）一個集合的基數是所有等價于它的集合的集合.

（2）0=df·{^}（空集合的單元集）

1=df·{0}，

2=df·{0，1}，

3=df·{0，1，2}.

弗雷格的后續(xù)函數的定義實際上是說：后續(xù)函數把等價集合的集合m映射到一個新的集合的集合Φ（m）（即n），Φ（m）中的每一個集合是由在m中的某一個集合加上一個新分子而得到.

由此可見，自然序列中的每一個數，有一個直接后繼的數.這樣，自然數就由0和后繼函數而確定下來.

康托爾在1884年也給出數的定義，但弗雷格的定義比康托爾的更為精確.

弗雷格從邏輯角度出發(fā)定義了數和自然數，他對自然數的歸納定義也是對數學歸納法的最好說明.他認為，借助于上述定義，自然數的概念就被化歸成了邏輯的概念;自然數的理論則可以借助于上述定義和邏輯得到建立，這樣，算術理論就被“邏輯化”了.

三、進一步完善邏輯演算系統(tǒng)

《基本規(guī)律》是弗雷格的另一部著作.弗雷格認為，邏輯的原則是完全可靠的，一旦完成了上述工作，數學“就被固定在一個永恒的基礎上了.”

1893年，他出版了《基本規(guī)律》第一卷，它是《算術的基礎》的理論的嚴謹發(fā)展，書中改進了《概念語言》符號系統(tǒng)，提出了不同的公理，闡述了高階謂詞演算.從《概念語言》到《基本規(guī)律》，弗雷格的邏輯發(fā)生了三個主要變化：（1）他在自己的系統(tǒng)中加上了函項的值域這一概念;（2）區(qū)分了意義的兩個方面，即“所指”和“意義”;（3）更為嚴格地規(guī)定了與對象相對的函項的性質，明確提出了“第一層函項”和“第二層函項”的區(qū)別.第一層函項就是以前所定義的函項，其變目是對象，第二層函項就是函項的函項，其變目是函項，例如在Mβ（F（β））中，Mβ就是第二層函項，其變目是F.弗雷格還把概念分為第一層概念和第二層概念.這些邏輯上的變化在《基本規(guī)律》第一卷之前的5篇文章中就已經提出并作了解釋.

弗雷格在《基本規(guī)律》第一卷中建立了另一個邏輯系統(tǒng)——二階謂詞演算，并提出了新的公理.他用‘xF（x）代表F（x）的值域，例如，若F（x）表達“x是人”，則它的值域‘xF（x）就表達“人類”.他還引進代表定冠詞的函項符號＼x.如＼xF（x），讀為“那個具有性質F的x”.

在這個新系統(tǒng)中，除分離規(guī)則和代入規(guī)則之外，弗雷格還把原來系統(tǒng)的一些公理和定理作為新的推理規(guī)則.在這一系統(tǒng)中處理了命題演算、謂詞演算、類理論和關系理論，更重要的是進行了推導算術的工作.

《基本規(guī)律》第一卷出版后，再次受到冷遇.然而，弗雷格并沒有放棄自己的目標，他繼續(xù)撰寫《基本規(guī)律》第二卷，其中主要論述實數的理論，并用較多的篇幅批評當時流行的觀點.但是，弗雷格并沒有完成他的計劃.因為要理解數學科學的性質，除了算術以外，還必須考慮無窮集合的理論——集合論.弗雷格沒有深入研究集合論，沒有接觸到關于無窮集合的各種問題，特別是悖論問題.

弗雷格在極度消沉中度過了長達十幾年的時間.最初，他相信能有補救的辦法使他的系統(tǒng)避免矛盾.他首先提出一種設想：可能有一些概念沒有相應的類.然后他用修改第V公理的辦法來阻止羅素悖論的衍生.但是，后來邏輯學家的工作證明，他所做的努力并不足以使他的系統(tǒng)避免不一致.他還打算論述集合論的邏輯悖論（1906）.經過幾年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能夠找到解決矛盾的辦法.雖然他沒有公開放棄自己的主張，但也不再做進一步的努力.直到1918年，弗雷格才徹底放棄把算術化歸為邏輯的一切希望，放棄了《基本規(guī)律》第三卷的寫作計劃.

從此以后，他的研究興趣仍在數學基礎上，并很自然地轉向幾何學，提出了幾何學是整個數學的基礎的主張.弗雷格在1903年以后就很少再發(fā)表論著了.

雖然弗雷格的邏輯主義綱領沒有實現，但是他的獨創(chuàng)性工作對數學和哲學的發(fā)展都產生了重要影響.他的成就在有生之年沒有得到廣泛的承認，在通過少數幾位有洞察力的人的努力下，他的思想才逐漸得到理解，并最終得到了發(fā)展.