2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(甲卷)理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.設(shè)集合，，則M∩N=（??? ）.

A.??? B.

C.??? D.

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（??? ）.

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

3.已知（1-i）2z=3+2i，則z=（??? ）.

A.??? B.??? C.??? D.

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，貝其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（??? ）（??? ）.

A.1.5??? B.1.2??? C.0.8??? D.0.6

5.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，，則C的離心率為（??? ）.

A.??? B.??? C.??? D.

6.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖1所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（??? ）

7.等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則（??? ）.

A.甲是乙的充分條件，但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件，但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖2是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB′與CC′的差為100;由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′-CC′約為（??? ）（??? ）.

A.346??? B.373??? C.446??? D.473

9.若，，則tanα=（??? ）.

A.??? B.??? C.??? D.

10.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（??? ）.

A.??? B.??? C.??? D.

11.已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為（??? ）.

A.??? B.??? C.??? D.

12.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=a2+b.若f（0）+f（3）=6，則??? （??? ）.

A.??? B.??? C.??? D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線在點(diǎn)（-1，-3）處的切線方程為________.

14.已知向量，，??? .若，則k=________.

15.已知F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形PF1QF2的面積為________.

16.已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）的部分圖象如圖3所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出交字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

附：

18.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列;③a2=3a1.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.如圖4，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn).BF⊥A1B1.

（1）證明：BF⊥DE;

（2）當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？

20.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M（2，0），且⊙M與l相切.

（1）求C，⊙M的方程;

（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

21.已知a>0且a≠1，函數(shù)??? .

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為??? .

（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（1，0），M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，寫出P的軌跡C1的參數(shù)方程，并判斷C與C1是否有公共點(diǎn).

[選修4-5：不等式選講]（10分）

23.已知函數(shù)，??? .

（1）畫出y=f（x）和y=g（x）的圖象;

（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范圍.

參考答案與解析

一、選擇題

1-12??? BCBCA??? DBBAC??? AD

二、填空題

13.5x-y+2=0;14.??? ;15.8;16.2.

三、解答題

（一）必考題

17.解：（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為，

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為??? .

（2）??? ，

故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

18.解：選①②作條件證明③：

設(shè)，則Sn=（an+b）2

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=（a+b）2;

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（an+b）2-（an-a+b）2=a，（2an-a+2b）;

因?yàn)閧an}也是等差數(shù)列，所以（a+b）2=a（2a-a+2b），解得b=0;

所以an=a2（2n-1），所以a2=3a1，

選①③作條件證明②：

因?yàn)閍2=3a1，{an}是等差數(shù)列，

所以公差d=a2-a1=2a1，

所以，即，

因?yàn)椋?/p>

所以是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

設(shè)，則Sn=（an+b）2，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=（a+b）2;

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（an+b）2-（an-a+b）2=a（2an-a+2b）;

因?yàn)閍2=3a1，所以a（3a+2b）=3（a+b）2，

解得b=0或;

當(dāng)b=0時(shí)，a1=a2，an=a2（2n-1），當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=2a2滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí){an}為等差數(shù)列;

當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.

綜上可知{an}為等差數(shù)列.

19.解：因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB

因?yàn)锳1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，

又BB1∩BF=B，

所以AB⊥平面BCC1B1.

所以BA，BC，BB1兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5.

所以B（0，0，0），4（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，2），A1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），F(xiàn)（0，2，1）

由題設(shè)D（a，0，2）（0≤a≤2）.

（1）因?yàn)?，?/p>

所以，

所以BF⊥DE.

（2）設(shè)平面DFE的法向量為，

因?yàn)?，?/p>

所以即

令z=2-a，則，

因?yàn)槠矫鍮CC1B1的法向量為，

設(shè)平面BCC1B1與平面DEF的二面角的平面角為θ，

則??? .

當(dāng)時(shí)，2a2-2a+4取最小值為，

此時(shí)cosθ取最大值為??? .

所以，此時(shí)??? .

20.解：（1）依題意設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0），P（1，yn），Q（1，-y0）

因?yàn)镺P⊥OQ，所以，

所以2p=1，

所以拋物線C的方程為y2=x，

因?yàn)镸（0，2），⊙M與x=1相切，所以半徑為1，

所以⊙M的方程為（x-2）2+y2=1;

（2）設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）

若A1A2斜率不存在，則A1A2方程為x=1或x=3，

若A1A2方程為x=1，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)A1（1，1），

則過(guò)A1與圓M相切的另一條直線方程為y=1，

此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在A3，不合題意;

若A1A2方程為x=3，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，，

則過(guò)A1與圓M相切的直線A1A3為，

又，則y3=0，

x3=0，A3（0，0），此時(shí)直線A1A3，A2A3關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以直線A2A3與圓M相切;

若直線A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在，

則，，，

所以直線A1A2方程為，

整理得x-（y1+y2）y+y1y2=0，

同理直線A1A3的方程為x-（y1+y3）y+y1y3=0，

直線A2A3的方程為x-（y2+y3）y+y2y3=0，

因?yàn)锳1A2與圓M相切，所以，

整理得，

則A1A3與圓M相切，同理，

所以y2，y3為方程的兩根，

則，，

M到直線A2A3的距離為：，

所以直線A2A3與圓M相切;

綜上若直線A1A2，A1A3與圓M相切，則直線A2A3與圓M相切.

21.解：⑴當(dāng)a=2時(shí)，，

，

令f（x）=0得，當(dāng)時(shí)，f（x）>0，當(dāng)時(shí)，f（x）<0，

則函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;

（2）由可得ax=xa兩邊取對(duì)數(shù)可得，

設(shè)函數(shù)，

則，令g（x）=0，得x=e，

在（0，e）內(nèi)g（x）>0，g（x）單調(diào)遞增;

在（e，+∞）上g（x）<0，g（x）單調(diào)遞減;

∴，

又g（1）=0，當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，g（x）趨近于0，

所以曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線y=g（x）與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是，這即是0<g（a）<g（e），

所以a的取值范圍是（1，e）∪（e，+∞）.

（二）選考題

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22.解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程可得，

將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得，即，

即曲線C的直角坐標(biāo)方程為;

（2）設(shè)P（x，y），，

∵，

∴

，

∴

即

∴P的軌跡C1的參數(shù)方程為??? （θ為參數(shù)）

∵曲線C的圓心為，半徑為，曲線C1的圓心為，半徑為2，

∴圓心距為，

而，∴兩圓內(nèi)含，

∴曲線C與C1沒(méi)有公共點(diǎn).

[選修4-5：不等式選講]

23.解：（1）可得畫出圖象如圖6所示，

，畫出函數(shù)圖象如圖7所示，

（2）??? ，

在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫出f（x），g（x）圖象，如圖8，

y=f（x+a）是由y=f（x）平移了個(gè)單位得到，

則要使f（x+a）≥g（x），需將y=f（x）向左平移，即a>0，

當(dāng)y=f（x+a）過(guò)時(shí)，，

解得或??? （舍去），

則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y=f（x）向左平移個(gè)單位，所以??? .