懸索面內(nèi)1/3次諧波共振瞬時相頻特性

陳 皓， 孫測世

(重慶交通大學土木工程學院， 重慶 400074)

懸垂纜索在高壓輸電及橋梁中具有廣泛的應用，但其作為高強度、低阻尼的柔性結(jié)構(gòu)，因初始垂度引起的非線性使其力學特性變得復雜[1]，易在風雪等外荷載作用下產(chǎn)生各種次諧波共振，常常引起結(jié)構(gòu)的破壞[2-3]，例如輸電線舞動嚴重時會導致相鄰輸電線碰撞而產(chǎn)生閃絡，甚至使輸電系統(tǒng)癱瘓[4-5]，引發(fā)廣泛關(guān)注。

相鄰懸索碰撞需要同時滿足大幅振動及振動反相，目前各國學者已對懸索的次諧波共振機理開展了大量的研究，但其主要針對不同參數(shù)及耦合機理下響應的幅值[6]或某一組參數(shù)下響應相位[7-8]，而針對不同參數(shù)下懸索響應相位的研究較少。已有研究結(jié)果表明，懸索響應與激勵相位差與激勵頻率密切相關(guān)[9]。與之類似，文獻[10]進行了斜拉橋全橋模型試驗，在主梁跨中施加豎向簡諧激勵，觀測到兩根相鄰斜拉索發(fā)生異步的大幅振動，通過掃頻試驗得到兩者穩(wěn)態(tài)振動的相位差隨激勵頻率的變化曲線。對于多模態(tài)而言，Hu等[11]的研究表明斜拉索不同模態(tài)間同樣存在相位差，且隨激勵頻率變化而改變。而結(jié)構(gòu)參數(shù)差異同樣會對其相頻特性產(chǎn)生較大影響，趙珧冰等[12]、黃超輝等[13]研究發(fā)現(xiàn)溫度變化會引起系統(tǒng)非線性共振響應特性發(fā)生定性和定量的變化，對共振響應區(qū)間及相位產(chǎn)生直接影響。此外，開展對懸索響應相位的研究是后續(xù)開展輔助索減振研究的基礎(chǔ)之一，研究表明，當相鄰索之間出現(xiàn)反相振動時，輔助索減振效果良好，而同相振動時其作用很小[14]。

綜上，激勵頻率及參數(shù)差異會對懸索響應相位產(chǎn)生較大影響，而垂跨比對于懸索而言為非常重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)。因此，現(xiàn)研究不同垂跨比下懸索發(fā)生面內(nèi)1/3次諧波共振的響應與激勵的瞬時相位差的隨垂跨比及激勵頻率的變化規(guī)律，并著重分析高階項及漂移項成分的影響。

1 力學模型

建立圖1所示懸索非線性動力學模型，為簡化計算，做出以下假設：①懸索的靜力平衡曲線為二次拋物線；②忽略懸索的抗彎、剪切及抗扭剛度；③懸索在振動過程中處于彈性變形范圍。懸索振動采用局部坐標O-xyz來描述：坐標原點O，x為懸索弦線方向，y為索面內(nèi)垂直弦線的方向，x、y方向?qū)灰品謩e用u、w表示，l為索長。

圖1 分布面內(nèi)激勵下懸索振動簡化模型Fig.1 Simplified model of suspension cable vibration under in-plane excitation

1.1 控制方程

考慮拉索初始垂度與幾何非線性，懸索兩端鉸接。通過利用Hamilton原理得到分布面內(nèi)激勵下懸索面內(nèi)非線性振動力學方程[15]為

(1)

y=4fx(1-x)

(2)

式(2)中：f為垂跨比。

設拉索以擬靜態(tài)方式進行軸向振動，略去高階無窮小量，拉索無量綱控制方程為

(3)

采用的無量綱變換有

為了方便書寫，省去“*”號。

1.2 離散化模型

在分布外激勵作用下，懸索振動位移被認為是由純振動產(chǎn)生，因此令

(4)

式(4)中：φn為模態(tài)函數(shù)；qn為廣義坐標函數(shù)。

正對稱模態(tài)函數(shù)為

(5)

式(5)中：ωn為懸索n階固有頻率。

(6)

反對稱模態(tài)函數(shù)為

(7)

利用Galerkin方法得到

(8)

1.3 攝動分析

qn(T0,T1,T2)=q0(T0,T1,T2)+εq1(T0,T1,T2)+ε2q2(T0,T1,T2)+…

(9)

式(9)中:Tn=εnt(n=0,1,2,…)，將式(9)代入式(8)，并按照ε的冪次進行整理，可以得到下列方程。

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

設γ=σT0-3β，令a′=γ′=0，此時幅頻響應方程的表達式為

(15)

面內(nèi)運動方程的二階近似解為

(16)

式(13)中：O(ε2)為高階無窮小量。

由式(16)可知，近似解由線性項、高階項和漂移項三部分組成，由于高階項及漂移項的影響，其瞬時相頻特性變得復雜，為便于后文分析，定義為

(17)

2 數(shù)值算例

利用MATLAB進行數(shù)值計算，得到不同垂跨比下懸索瞬時相頻特性的變化規(guī)律。算例分析中懸索各項物理參數(shù)如表1所示，另外無量綱化后的激勵幅值和阻尼系數(shù)分別為0.02和0.005。

結(jié)合懸索參數(shù)，根據(jù)式(12)得到了懸索垂跨比為0.006及0.01時的幅頻響應曲線，并將結(jié)果與文獻[16]進行了對比，結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯?，兩者結(jié)果大體吻合，但略微有一定差異，當垂跨比為0.006時，兩者的最大誤差為6.0%，而當垂跨比為0.010時，兩者的最大誤差為1.4%。

表1 懸索參數(shù)[16]Table 1 Suspended cable parameters[16]

圖2 幅頻響應曲線Fig.2 Amplitude-frequency response

2.1 不同垂跨比下響應與激勵的瞬時相位差

為研究垂跨比對懸索瞬時相頻特性的影響，首先研究不同垂跨比懸索在單個激勵頻率下的響應。文獻[18]表明垂跨比的大小在非線性動力學分析特性時非常重要，根據(jù)其選擇4種垂跨比分別為0.008 5、0.010、0.015、0.02，對應懸索固有頻率分別為1.155、1.242、1.669、2.211，為滿足1/3亞諧波共振，確定激勵頻率的方式采用固定的調(diào)諧參數(shù)-0.5。對于次諧波共振而言，每種垂跨比下的懸索均會對應兩個非平凡解，但重點不在于分岔問題，因此不區(qū)分解的穩(wěn)定，僅取其中一個解進行分析。

圖3為4種垂跨比下的響應時程曲線，因不同垂跨比的懸索對應的激勵頻率不同，導致不同懸索之間的響應幅值及周期相差較大，但很明顯可以看出，當f=0.008 5和f=0.01時，其響應的時程曲線呈現(xiàn)“上寬下窄”，且整個曲線向上漂移，而垂跨比為0.015和0.02時的響應時程曲線較為接近正弦波的形式。

對懸索響應及激勵的時程曲線分別進行Hilbert變換，得到響應與激勵的瞬時相位差時程曲線，如圖4所示。

圖3 響應時程曲線Fig.3 Response time history

圖4 響應與激勵的瞬時相位差時程曲線(σ=-0.5)Fig.4 Time history of transient phase difference between response and excitation (σ=-0.5)

各懸索響應與激勵瞬時相位差值呈周期性變化，該周期等于與激勵周期一致。因懸索與激勵滿足1/3亞諧波共振，兩者在同一個響應周期內(nèi)會出現(xiàn)兩次反相的狀態(tài)，即該差值在一個周期內(nèi)會出現(xiàn)2次接近-π的情況。對比各懸索發(fā)現(xiàn)，當f=0.008 5和f=0.01時，一個振動周期內(nèi)部明顯分為兩個時長不等的遞減區(qū)間，且當f=0.008 5時，瞬時相位差在周期內(nèi)的變化速率會由快變慢再變快，而其余3種垂跨比下瞬時相位差均迅速降低且變化速率無明顯變化，結(jié)合圖3和式(13)分析，應是響應中高階項和漂移項的影響。

2.2 高階項和漂移項對于響應瞬時相位的影響

為考慮高階項和漂移項對響應瞬時相位的響應，分別對q1和Q進行Hilbert變換，并定義無量綱參數(shù)如下。

(18)

式(18)中：ΔPh為q1和Q的瞬時相位之差，ΔPhmax為ΔPh幅值最大值，對兩者無量綱化得到Ph及Phmax。由于q1為系統(tǒng)的全部響應，而Q僅是響應的線性項，因此ΔPh實際上反映高階項及漂移項對瞬時相位的貢獻；ΔPhmax為ΔPh的幅值最大值。

考慮到不同垂跨比下懸索響應周期不一致，為更直觀比較f改變對Ph的影響，通過周期變換(縱坐標不變)，消除因懸索固有頻率差異而導致的瞬時相位差，將各懸索的Ph時程變化曲線都統(tǒng)一為f=0.008 5的周期，如圖5所示。

圖5 周期變換過后的瞬時相位差時程曲線(σ=-0.5)Fig.5 Time history of transient phase difference after periodic transformation (σ=-0.5)

對比各懸索，發(fā)現(xiàn)Phmax隨著f增大逐漸減小，但f從0.008 5變?yōu)?.01時，Phmax的變化值顯然比從0.015變至0.02大，說明高階項和漂移項對響應瞬時相位的影響大小與懸索參數(shù)取值范圍有關(guān)。同時兩者不僅對Phmax的數(shù)值大小有影響，當f為0.008 5和0.010的時候，它還使得Phmax出現(xiàn)的時機提前，對于同一個周期而言，從Phmax減少到-Phmax需要的時間長于從-Phmax增加到Phmax的時間，而當f為0.015和0.020時，該現(xiàn)象并不明顯，因此圖4中響應與激勵的瞬時相位差在同一個周期內(nèi)會出現(xiàn)兩個時長不等遞減區(qū)間的原因為高階項和漂移項的影響。

圖6 高階項和漂移項對響應瞬時相位的影響(σ=-0.5)Fig.6 Influence of higher-order term and drift term on transient phase of response (σ=-0.5)

整體而言，對比不同垂跨比懸索響應及線性項的復平面投影曲線發(fā)現(xiàn)，兩者有很大不同，因漂移項的影響，各響應投影曲線明顯整體往一二象限平移，且隨著f的減小平移的趨勢變得越大。具體而言，當f=0.008 5時，其響應投影曲線并非圓形，應是高階項對其的影響，但不明顯。在起點b與1/2周期處Ph為0，在c點時Ph有最大值Phmax，在d點Ph有最小值-Phmax，且c點與d點之間的時間間隔明顯長于d點與b點之間，與圖2中響應時程曲線“上寬下窄”特征相吻合，表明當垂跨比較小時，高階項會引起Phmax出現(xiàn)的時機提前，導致響應與激勵的瞬時相位差在同一個周期內(nèi)會出現(xiàn)兩個時長不等遞減區(qū)間。由此，表明漂移項對Phmax數(shù)值大小起主導作用，而高階項的影響則較小。

繪制漂移項隨f變化曲線，如圖6(b) 所示。由圖6(b)可知，當f為0.008時，漂移項有最大值0.046，f從0.008 5增長到0.010，漂移項迅速減小到0.004，而在0.010到0.02范圍內(nèi)，漂移項的數(shù)值緩慢減小。結(jié)合圖6(a)及圖6(b)分析，表明各懸索垂跨比的不同主要通過改變其漂移項的大小來影響其瞬時相位。

2.3 參數(shù)分析

為進一步研究Phmax、垂跨比及調(diào)諧參數(shù)三者之間的關(guān)系，f取值[0.008,0.024]，變化步長為0.001，調(diào)諧參數(shù)取值[-0.6,0]，變化步長為0.02，繪制f-σ-Phmax曲面圖在f-σ平面、f-Phmax平面及σ-Phmax平面的投影曲線如圖7所示。

圖7 f-σ-Phmax曲面Fig.7 f-σ-Phmax surface

圖7(a)為f-σ等高線圖。當垂跨比為[0.008,0.012]時等高線更密集，且等高線數(shù)值的變化更大，說明該范圍內(nèi)Phmax對垂跨比及激勵頻率變化更加敏感。

圖7(b)為σ=-0.5時f-Phmax平面投影曲線。表明懸索f變化對Phmax影響較大，Phmax在f=0.008時有最大值0.328，當0.008

圖7(c)為4種垂跨比下懸索的σ-Phmax曲線圖，可以發(fā)現(xiàn)調(diào)諧參數(shù)的改變同樣會對Phmax產(chǎn)生較大的影響。Phmax整體均隨著σ增大而減小，即響應中高階項和漂移項成分對響應瞬時相位的影響隨著調(diào)諧參數(shù)的增大而逐漸減小。對比各懸索發(fā)現(xiàn)，垂跨比越小，調(diào)諧參數(shù)對Phmax的影響越明顯，當f=0.008 5時，Phmax最大值能達到0.253，同時隨著σ的變化，Phmax減小的速率逐漸變快，而其余3個垂跨比下懸索的Phmax與σ基本呈負相關(guān)。因此，對于垂跨比較小的懸索而言，高階項和漂移項對響應相位的影響隨調(diào)諧參數(shù)的變化會變得復雜，其變化速率逐漸加快，而對于垂跨比較大的懸索，調(diào)諧參數(shù)與其基本呈負相關(guān)。

3 結(jié)論

(1)高階項及漂移項成分對其瞬時相位具有較大影響，若不計兩者的影響瞬時相位差的誤差，甚至能達到0.328π，其中，漂移項起主導作用。

(2)響應與線性項的最大相位差與垂跨比成反比，當垂跨比較小時，垂跨比的微小改變會引起該相位差最大值的巨大變化。

(3)響應與線性項的最大相位差整體隨調(diào)諧參數(shù)增大而逐漸減小，且對于垂跨比較小的懸索而言，調(diào)諧參數(shù)的變化使該相位差變化速率逐漸加快。