基于GeoGebra平臺(tái)下對(duì)一道橢圓試題的探究與推廣*

廣東省中山市小欖中學(xué) (528415) 李 琨

廣東省中山市濠頭中學(xué) (528437) 閆 偉

圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在很多圓錐曲線(xiàn)題目中都是探求一些特殊結(jié)論，這些結(jié)論看似特殊，實(shí)則都具普遍性，而且往往具有豐富的命題背景和深厚的內(nèi)涵，研究此類(lèi)試題不僅能夠更好的把握解析幾何的本質(zhì)，還能透過(guò)試題挖掘隱含的命題規(guī)律，更能將其拓展到一般情況，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面筆者以復(fù)習(xí)備考中的一道橢圓試題的探究為例進(jìn)行說(shuō)明.

1試題呈現(xiàn)與分析

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理以及橢圓中的動(dòng)點(diǎn)軌跡和定值問(wèn)題等內(nèi)容，重點(diǎn)考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.試題結(jié)構(gòu)清晰，問(wèn)題設(shè)置層次分明，內(nèi)涵豐富；試題第(2)問(wèn)強(qiáng)化探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，彰顯數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)，較好地檢測(cè)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 解法探究

評(píng)注：設(shè)線(xiàn)法是比較自然的解法，設(shè)直線(xiàn)方程與橢圓聯(lián)立并借助韋達(dá)定理進(jìn)行參變量的代換，進(jìn)而表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后確定兩條直線(xiàn)方程利用交軌法定Q點(diǎn)軌跡為一個(gè)圓，進(jìn)而得到目標(biāo)點(diǎn)H即為該圓的圓心.

評(píng)注：解法2巧妙借助中點(diǎn)弦的斜率性質(zhì)，從直線(xiàn)斜率角度來(lái)確定直線(xiàn)OP與直線(xiàn)EQ的位置關(guān)系得到Q點(diǎn)軌跡進(jìn)而鎖定目標(biāo)點(diǎn)H，不僅體現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì)，同時(shí)極大簡(jiǎn)化了推理運(yùn)算過(guò)程，實(shí)現(xiàn)高效解題，要求學(xué)生對(duì)重要結(jié)論的積累和靈活運(yùn)用.

3 基于GeoGebra的探究及反思

通過(guò)以上的分析和解答，直線(xiàn)OP與直線(xiàn)EQ的交點(diǎn)Q在定圓上，從而所求點(diǎn)H即是定圓的圓心那么該結(jié)果是偶然還是必然呢？?jī)芍本€(xiàn)交點(diǎn)的軌跡和題目中橢圓的參數(shù)OP,EQ以及直線(xiàn)OP,EQ的位置有關(guān)系嗎？如果將參數(shù)OP,EQ以及直線(xiàn)OP,EQ一般化，又會(huì)得到什么結(jié)果呢？由于涉及到的運(yùn)算和直線(xiàn)OP,EQ的方程較為復(fù)雜，探究?jī)芍本€(xiàn)交點(diǎn)的軌跡有一定的難度，因此筆者借助于GeoGebra平臺(tái)進(jìn)行探究，通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示來(lái)找到與上述參數(shù)相關(guān)的定曲線(xiàn)方程，同時(shí)為后面的代數(shù)證明提供更加直觀的思路支持.

實(shí)驗(yàn)1 (1)在GeoGebra繪圖中先設(shè)置兩個(gè)“滑動(dòng)條”控制變量a,b，輸入x^2/a^2+y^2/b^2=1得到一個(gè)橢圓C；(2)輸入框中輸入焦點(diǎn)[C]，得到橢圓的右焦點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與y軸于點(diǎn)E；(3)利用中點(diǎn)工具作出A、B中點(diǎn)P并作直線(xiàn)OP；(4)利用工具欄作出過(guò)點(diǎn)E且垂直O(jiān)P的直線(xiàn)交OP于點(diǎn)Q，點(diǎn)擊跟蹤點(diǎn)Q軌跡；(5)拖動(dòng)直線(xiàn)AB觀察點(diǎn)Q的軌跡(如圖1).

實(shí)驗(yàn)2 (1)在GeoGebra繪圖中先設(shè)置兩個(gè)“滑動(dòng)條”控制變量a,b，輸入x^2/a^2+y^2/b^2=1得到一個(gè)橢圓C；(2)再通過(guò)“滑動(dòng)條”設(shè)置一個(gè)變量t，作出點(diǎn)F(t,0)并過(guò)點(diǎn)y作直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與y軸于點(diǎn)E；(3)利用中點(diǎn)工具作出A、B中點(diǎn)P并作直線(xiàn)OP；(4)利用工具欄作出過(guò)點(diǎn)E且垂直O(jiān)P的直線(xiàn)交OP于點(diǎn)Q，點(diǎn)擊跟蹤點(diǎn)Q軌跡；(5)拖動(dòng)直線(xiàn)AB觀察點(diǎn)Q的軌跡(如圖2).或者改變橢圓參數(shù)a,b及參數(shù)t繼續(xù)重復(fù)上述操作，點(diǎn)Q的軌跡仍然是一條定曲線(xiàn).

圖1

圖2

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)的探究結(jié)果，師生可以直觀認(rèn)識(shí)到直線(xiàn)OP,EQ的交點(diǎn)Q恒在與參數(shù)a,b，t有關(guān)的定曲線(xiàn)上，于是我們可以將試題結(jié)論推廣到一般情形：

4 推廣結(jié)論 揭示本質(zhì)

顯然當(dāng)t=c時(shí)，結(jié)論1是結(jié)論2的特例；若將橢圓換成雙曲線(xiàn)，利用GeoGebra軟件繼續(xù)探究，經(jīng)同樣的實(shí)驗(yàn)操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡仍在定曲線(xiàn)上(如圖3)，從而有如下結(jié)論：

圖3

圖4

由于橢圓和雙曲線(xiàn)都是有心二次曲線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)F是曲線(xiàn)內(nèi)異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)時(shí)，按照上述實(shí)驗(yàn)2的操作步驟，拖動(dòng)直線(xiàn)AB發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡仍是一個(gè)定圓(如圖4).從而進(jìn)一步可以將上述結(jié)論統(tǒng)一為：

結(jié)論4 過(guò)有心二次曲線(xiàn)C內(nèi)異于原點(diǎn)的一點(diǎn)F作一條斜率不為零的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，P為弦AB中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)OP的垂線(xiàn)交OP于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)定圓.

結(jié)論3和結(jié)論4的證明過(guò)程與結(jié)論2相仿，此處不再贅述，留給有興趣的讀者.

5 探后反思 引領(lǐng)教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》明確指出，“提升信息技術(shù)的使用能力，通過(guò)信息技術(shù)與課程的深度融合以及課程資源開(kāi)發(fā)的多樣化實(shí)現(xiàn)”.這就需要合理運(yùn)用信息技術(shù)，以此提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.在本文的探究中，運(yùn)用GeoGebra技術(shù)制作橢圓模型，再通過(guò)控制變量不斷改變動(dòng)直線(xiàn)和方程參數(shù)來(lái)演示圖形變化過(guò)程，讓學(xué)生觀察所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的運(yùn)動(dòng)情況，進(jìn)而將實(shí)驗(yàn)結(jié)果拓展到有心二次曲線(xiàn)的統(tǒng)一結(jié)論，不僅為學(xué)生理解試題本質(zhì)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，而且為學(xué)生探索試題規(guī)律啟發(fā)思維，為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供直觀的思路支撐，而且實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)象的多元表征(數(shù)字、表達(dá)式、圖形等)，使得抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象直觀，有助于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象等核心素養(yǎng)[1].