一道三元分式函數(shù)值域問題的反思及推廣

廣州大學(xué)附屬中學(xué) (510006) 朱驚濤

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (510006) 蔡 飄

該問題相當于求函數(shù)f(x,y,z)的值域，其標準答案如下：

反思該答案，比較難以理解的是求極限過程中為何要令z=1，筆者經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，其實不一定要令z=1，令z等于任何一個常數(shù)都是可以的，其思想方法就是固定z，然后分別讓x、y趨向兩邊，從而得到f(x,y,z)取值的一種極限狀態(tài).考慮到用降元法解決多元問題的數(shù)學(xué)思想，筆者給出該問題的另一種解法：

結(jié)論1 令min{a,b,c}表示a,b,c中的最小值，max{a+b,a+c,b+c}表示a+b,a+c,b+c中的最大值，則函數(shù)f(x,y,z)的值域為(min{a,b,c},max{a+b,a+c,b+c}).

①當t1→0,t2→0時，g(t1,t2)→a+b；

②當t1→+∞,t2→+∞時，g(t1,t2)→c；

⑥當t1→+∞,t2→0時，可令t1t2→0，此時g(t1,t2)→b；

⑦當t1→+∞,t2→0時，可令t1t2→+∞，此時g(t1,t2)→b+c；

該結(jié)論還可以推廣到n元的情形，即：