一道2021年廣東高三模考試題的探究

福建省莆田第一中學 (351100) 林 敏

1.試題再現(xiàn)

2.試題賞析

考題第(1)問考查了橢圓的定義和幾何性質，可以利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，第(2)問是橢圓的定值問題，涉及直線與橢圓的位置關系以及弦長公式，考查在解析問題中進行代數(shù)運算的能力和數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象數(shù)學學科核心素養(yǎng).該題不但著力考查了考生的綜合思維能力、創(chuàng)新意識和數(shù)學素養(yǎng)，還留下很大的拓展空間.

3.解法探究和拓展探究

以下對這道試題進行解法探究和拓展探究.

評注：將已知點的坐標代入橢圓的方程，根據(jù)橢圓離心率的公式以及c2=a2-b2，建立關于a2和b2的方程組，解出a2和b2的值，從而得出橢圓C的標準方程.

評注：先討論直線MN斜率不存在時的情況，當直線MN斜率存在時，將直線MN方程和橢圓方程聯(lián)立消元后，先求判別式，再由韋達定理表示兩根之和與兩根之積，再結合直線方程表示y1y2，由已知條件和直線斜率公式得出等式2t2=4k2+1，整體代換后得出△>0，由弦長公式和點到直線距離公式列式子，在運用整體代換法可得出△OMN的面積為定值1.

通過比較上面三種解法發(fā)現(xiàn)，解法1幾何直觀利用的較少而代數(shù)運算較多，體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化和設而不求的思想方法，但其中代數(shù)運算運用較繁瑣，解法2運用參數(shù)方程法，把解析幾何中的面積定值問題化歸為三角恒等變換問題，并且運算量減少，令人耳目一新，解法3運用了伸縮變化法，借助伸縮變換將橢圓中的問題化歸為圓中的問題，幾何直觀增多而代數(shù)運算減少，但這種解法對學生的思維能力要求較高，只有考生非常熟練伸縮變換的性質的前提下該解法才會運用自如，否則容易出錯.