優(yōu)化課堂生成 落實(shí)核心素養(yǎng)
——《函數(shù)圖象的應(yīng)用》公開(kāi)課的實(shí)踐與反思

江蘇省蘇州第一中學(xué) (215000) 夏 婷

數(shù)學(xué)學(xué)科能力是數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng)的核心，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要途徑，也是培養(yǎng)落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)．本節(jié)課通過(guò)將教材例題、習(xí)題等資源進(jìn)行有效的整合，以熱身訓(xùn)練的三道小題為切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)例題，讓學(xué)生從基本的圖象入手，進(jìn)一步鞏固圖象的變換以及絕對(duì)值函數(shù)處理方法、引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題．師生合作探究，共同體會(huì)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法．

現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄及思考整理如下，供讀者朋友品評(píng)：

1 學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是四星級(jí)高中的高一重點(diǎn)班學(xué)生，基礎(chǔ)良好，有較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

2 知識(shí)點(diǎn)解讀

函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，高考對(duì)這一內(nèi)容的考查主要涉及作圖、識(shí)圖和用圖三個(gè)方面，其中函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題和最值問(wèn)題是直觀想象在函數(shù)中的重要應(yīng)用，即能夠用圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題；能夠用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題、啟迪解決這些問(wèn)題的思路，體會(huì)數(shù)形結(jié)合；能夠用圖形探索解決問(wèn)題的思路，形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會(huì)幾何直觀的作用和意義．

這類(lèi)試題的解法常以“定性分析”和“定量計(jì)算”相結(jié)合，難度雖然不大，但要求學(xué)生具有一定的運(yùn)算能力和問(wèn)題解決的能力．

教學(xué)目標(biāo)：

(1)鞏固函數(shù)圖象的作法：直接法、轉(zhuǎn)化法、變換法；

(2)利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù)，感悟函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用；

(3)通過(guò)函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)間的聯(lián)系體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．

教學(xué)重點(diǎn)：能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決與函數(shù)圖象相關(guān)的問(wèn)題．

教學(xué)難點(diǎn)：能在分析問(wèn)題的過(guò)程中合理選擇解題方法，優(yōu)化求解過(guò)程．

3 過(guò)程實(shí)錄

3.1 學(xué)生自測(cè)反饋

用導(dǎo)學(xué)案輔助教學(xué)，課前以填空題的形式引導(dǎo)學(xué)生自主完成.

熱身訓(xùn)練

1.函數(shù)y=|x|(x+2)-m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的值為．

3.函數(shù)f(x)=x|x-4|在[0，3]上的最大值為．

圖1

圖2

圖3

設(shè)計(jì)意圖：課前給出3道基礎(chǔ)題熱身，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)圖象的幾種常見(jiàn)變換，運(yùn)用變換能作一些基本的函數(shù)圖象，為例題中數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索打好基礎(chǔ)，樹(shù)立學(xué)生解決問(wèn)題的信心和耐心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．同時(shí)導(dǎo)學(xué)案準(zhǔn)備好坐標(biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范作圖，有助于培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

3.2 典型例題講析

圖4

圖5

圖6

師：剛才幾位同學(xué)總結(jié)的非常到位，通過(guò)不同轉(zhuǎn)化，大家都能從中體會(huì)到函數(shù)內(nèi)容的豐富，處理方式多樣．當(dāng)然轉(zhuǎn)化方式不同，處理繁簡(jiǎn)程度也不一樣，需要同學(xué)們合理選擇最優(yōu)方法．下面我們思考一道變式題：

圖7

生5：作出直線(xiàn)y=m與y=f(x)圖象(如圖7)，設(shè)三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)從小到大分別為為x1,x2,x3，則m∈(2,3)．

由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性知x1+x2=-2，2<3-log2(1+x3)<3，得x3∈(0,1)，所以x1+x2+x3∈(-2,-1)．

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)與形的結(jié)合開(kāi)拓了數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．某些特殊問(wèn)題，若用常規(guī)方法來(lái)解，推理運(yùn)算的過(guò)程可能會(huì)較復(fù)雜；若能將代數(shù)問(wèn)題幾何化，即利用數(shù)形結(jié)合的方法解決，以形助數(shù)，往往會(huì)使運(yùn)算或推理論述的過(guò)程簡(jiǎn)化，直觀形象，從而更能展示問(wèn)題的本質(zhì)．

例3 函數(shù)f(x)=x|x-m|(x∈R)．

(1)若f(4)=0，求實(shí)數(shù)m的值并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值的表達(dá)式g(m)．

師：第一問(wèn)中給出的特殊情況m=4，而第(2)題中m是動(dòng)態(tài)變化的參數(shù)，我們?cè)撊绾畏治瞿?？?qǐng)生8給我們提供他的想法.

下面對(duì)實(shí)數(shù)m分類(lèi)討論，并利用函數(shù)圖象以及單調(diào)性去分析(學(xué)生作圖、思考)．

師：對(duì)于本題中的含參分段函數(shù)問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)這兩段圖象的每一段都是二次函數(shù)圖象上的一部分，所以按照生8的想法，解決這題肯定是充滿(mǎn)希望的．首先，我們發(fā)現(xiàn)m=0和m<0時(shí)，函數(shù)在[0,2]上是單調(diào)遞增的，即：

①當(dāng)m=0時(shí)，f(x)在[0,2]上遞增(如圖8)，所以[f(x)]max=f(2)=4；

②當(dāng)m<0時(shí)，f(x)在[0,2]上遞增(如圖9)，所以[f(x)]max=f(2)=2(2-m)；

那么當(dāng)m>0時(shí)，最大值還是在x=2時(shí)取到嗎？通過(guò)觀察，還有可能在頂點(diǎn)處取到最大值．

③當(dāng)m>0時(shí)，f(x)的圖象(如圖10)，對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸分類(lèi)討論：

圖8

圖9

圖10

師：大家群策群力，順利解決問(wèn)題．對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題，我們首選的處理方法或者說(shuō)通用的方法是去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后進(jìn)行分類(lèi)討論，那么本例題中，請(qǐng)大家結(jié)合函數(shù)圖象變換的方法再思考一下，能不能用別的方法作函數(shù)圖象呢？(學(xué)生交流、討論)

生：對(duì)于x∈[0,2]時(shí)，函數(shù)f(x)=x|x-m|=|x(x-m)|，可以利用函數(shù)圖象的翻折變換，只要將x軸下方的部分沿著x軸翻折到上方，然后所對(duì)應(yīng)的圖象上取x∈[0,2]時(shí)就是需要的部分．

師：很好！既然作圖的方法可以直接法和變換法都行，作好圖是前提工作．那么，在情形③中，當(dāng)m>0時(shí)，我們能不能用好圖象，宏觀上找到最大值的表示方法？在習(xí)題中，我們是否還記得有一類(lèi)函數(shù)叫作最大(小)值函數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究需要先前經(jīng)驗(yàn)．因此教師要善于引導(dǎo)學(xué)生回顧先前經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)先前經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行組織，歸納和深化，實(shí)現(xiàn)良好的學(xué)習(xí)效果．本題就是將m=4特殊情形引申到m∈R的一般情況．引導(dǎo)學(xué)生探究更一般的結(jié)論，揭示其內(nèi)在的依據(jù)，并作出推廣．此外，特殊化思想也可用于解決一些抽象、概括度較高的問(wèn)題，比如本題中m∈R圖象的探究中，可以引導(dǎo)學(xué)生m=0，m>0，m<0三種情況逐個(gè)探究，找到解題的突破口，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并順利解題．

3.3 課堂小結(jié)(略)

4 回顧與反思

(1)問(wèn)題引領(lǐng) 優(yōu)化結(jié)構(gòu)

例1運(yùn)用邏輯推理構(gòu)建數(shù)學(xué)體系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合將代數(shù)問(wèn)題幾何化，從而將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．學(xué)生根據(jù)結(jié)構(gòu)可以多個(gè)角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)加以分析，學(xué)生傾向于選擇自己熟悉的或者易求的函數(shù)來(lái)解決．教學(xué)實(shí)踐中，注重一題多解一題多變，多層次分析問(wèn)題，不斷概括學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)．由此可見(jiàn)，教學(xué)過(guò)程中要立足“四基”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，抓住本質(zhì)，通過(guò)不斷嘗試、討論交流、總結(jié)歸納等活動(dòng)，分析問(wèn)題，完善解題過(guò)程，并在教學(xué)中不斷滲透轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法．逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．

(2)重視探究 提升思維

進(jìn)入高一，學(xué)生普遍感覺(jué)課堂上講解的知識(shí)和例題基本能聽(tīng)懂，但是課后鞏固練習(xí)中，有些結(jié)構(gòu)新穎、靈活度高的習(xí)題給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)障礙，有些學(xué)生甚至?xí)a(chǎn)生畏懼感．其實(shí)這些問(wèn)題看似不同，考查的知識(shí)和解決的基本方法是不變的，若能看清問(wèn)題的本質(zhì)，學(xué)生方能應(yīng)用自如．例題分析時(shí)，從不同的視角加以分析、引申和拓展，考查了思維的過(guò)程與方法，凸顯思維的靈活性和深刻性．此外，還要探究和反思解題思路中多種方法之間的聯(lián)系，篩選題中信息，提取條件進(jìn)行整合．因此，教師需要培養(yǎng)學(xué)生找準(zhǔn)分析問(wèn)題的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生選取合適的解題視角，將“未知”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“已知”的結(jié)構(gòu)，才能逐步體會(huì)成功解決問(wèn)題的喜悅，從而實(shí)現(xiàn)不同層次的學(xué)生學(xué)有所得．

總之，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是每一位數(shù)學(xué)教師的教學(xué)追求．教師唯有多學(xué)習(xí)、多思考，認(rèn)真挖掘教材，深化基礎(chǔ)知識(shí)聯(lián)系，精心設(shè)計(jì)教學(xué)，才能讓學(xué)生在課堂上提升自己的思維能力，得到學(xué)生更好的發(fā)展．