非飽和土半空間Lamb 問題及能量傳輸特性1)

周鳳璽 張雅森 曹小林 牟占霖

* (蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院,蘭州 730050)

? (西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心,蘭州 730050)

** (東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京 211189)

引言

彈性半空間的波動(dòng)響應(yīng)一直是彈性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn),其中Lamb 問題最具代表性.隨著研究的深入,不同集中荷載形式(點(diǎn)源和線源、表面和內(nèi)部等)作用下單相彈性介質(zhì)的Lamb 問題已經(jīng)取得了比較完備的體系.近年來,有關(guān)多相多孔介質(zhì)的Lamb 問題逐漸受到人們的重視.自Biot[1-2]建立了兩相介質(zhì)的波動(dòng)方程后,國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)飽和半空間Lamb 問題已經(jīng)取得了一系列研究成果,主要包括荷載作用于半空間表面[3-5]和半空間內(nèi)部[6-9]以及層狀地基[10-14]等不同方面的動(dòng)力響應(yīng)研究.相對(duì)于飽和土,在工程建設(shè)中大量涉及到的是處于地下水位以上的非飽和土體,而已有研究表明,介質(zhì)中孔隙氣體的存在對(duì)其動(dòng)力響應(yīng)行為、彈性波傳播特性以及能量傳輸產(chǎn)生巨大影響,因此研究非飽和半空間的動(dòng)力學(xué)行為在巖土工程、地震工程等領(lǐng)域有著重要的理論和應(yīng)用價(jià)值.

由于非飽和多孔介質(zhì)物理力學(xué)特性的復(fù)雜性,使得對(duì)非飽和半空間Lamb 問題及能量傳輸特性的研究成果較少.王春玲等[15-17]采用積分變換法和消元法求得了非飽和地基受豎向簡(jiǎn)諧荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)積分變換解,但其最終解的形式十分復(fù)雜,不便于應(yīng)用.徐明江等[18-20]以三相多孔介質(zhì)模型為基礎(chǔ),通過引入雙變量本構(gòu)關(guān)系,采用解析法研究了簡(jiǎn)諧荷載作用下非飽和土地基的動(dòng)力響應(yīng)問題,給出了積分形式的解答,但并未考慮顆粒間吸應(yīng)力對(duì)非飽和半空間動(dòng)力學(xué)特征的影響.Zhang 等[21]在假定土骨架為多孔彈性連續(xù)介質(zhì),且具有均勻性和各向同性的基礎(chǔ)上,通過應(yīng)用Fiourier 展開技術(shù)和Hankel 積分的方法得到了在內(nèi)部激勵(lì)作用下的非飽和土中動(dòng)態(tài)格林函數(shù)解,但上述研究成果均未討論不同邊界條件對(duì)非飽和半空間表面的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征及能量傳輸特性的影響規(guī)律.

本文在已有研究成果的基礎(chǔ)之上,考慮非飽和土中粒間吸應(yīng)力的作用,結(jié)合質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量平衡方程及有效應(yīng)力原理等基本方程,運(yùn)用Helmholtz 分解法,在柱坐標(biāo)系下建立了非飽和半空間的動(dòng)力學(xué)控制方程.分別考慮透水(氣)和不透水(氣)兩種邊界條件,對(duì)頻域內(nèi)的軸對(duì)稱問題進(jìn)行求解,得到了非飽和半空間表面受到豎向集中簡(jiǎn)諧荷載作用下的解析解答,并且通過參數(shù)分析討論了在不同飽和度、不同振動(dòng)頻率以及不同滲透系數(shù)下的動(dòng)力響應(yīng)特性和能量傳輸?shù)淖兓捌溆绊懸?guī)律,以期為不同邊界條件下非飽和半空間的表面振動(dòng)問題提供參考依據(jù).

1 基本方程

如圖1 所示的非飽和半空間表面受到頻率為ω,幅度為q0的垂直簡(jiǎn)諧荷載作用,考慮軸對(duì)稱性,問題的基本方程包括如下6 類.

圖1 半空間計(jì)算模型Fig.1 Half-space calculation mode

(1) 時(shí)域內(nèi)固體骨架動(dòng)量平衡方程

(2) 時(shí)域內(nèi)孔隙流體運(yùn)動(dòng)平衡方程

式(1)和式(2)中,σr,σθ,σz,τrz分別為代表單元體上的總應(yīng)力和剪應(yīng)力;ur,uθ,uz分別為徑向位移、環(huán)向位移和豎向位移;wr,wθ,wz分別為孔隙中液體的徑向位移、環(huán)向位移和豎向位移;vr,vθ,vz分別為孔隙中氣體的徑向位移、環(huán)向位移和豎向位移;pl和pa分別為孔隙水壓力和孔隙氣壓力;分別為固相、液相和氣相的表觀密度.

考慮孔隙中的流體滲透形式符合達(dá)西定律,用固有滲透系數(shù)K表征氣相和液相的滲透系數(shù)kl和ka分別為

則式(2a)～ 式(2d)中系數(shù)bl和ba可表示為如下形式

式中,n為孔隙率;Sr為飽和度;g為重力加速度;ηl和ηa分別為液相和氣相的動(dòng)力黏度系數(shù).

(3) 有效應(yīng)力原理

有效應(yīng)力原理是土力學(xué)的核心,目前關(guān)于非飽和土中有效應(yīng)力原理大致可分為單變量理論[22]、雙變量理論[23]和復(fù)合變量理論[24].其中,Lu 等[25]在考慮微觀顆粒間作用力和有效應(yīng)力的基礎(chǔ)上提出了吸應(yīng)力表示的有效應(yīng)力公式

式中,σs=?(pa?pl)Se表示粒間吸應(yīng)力,Se為有效飽和度,Se=(Sr?Sw0)/(1?Sw0),Sw0為殘余飽和度.吸應(yīng)力表示的有效應(yīng)力公式是非飽和介質(zhì)中兩相流體壓力的函數(shù),主要受飽和度變化的影響,消除了Bishop 有效應(yīng)力原理中對(duì)參數(shù)χ的依賴性.

(4) 質(zhì)量守衡方程

忽略各相之間的質(zhì)量交換,非飽和多孔介質(zhì)各相的質(zhì)量守衡方程可描述為[26-28]

(5) 本構(gòu)方程

考慮固相顆粒的可壓縮性,彈性各向同性非飽和介質(zhì)的本構(gòu)方程為

式中,α=1?Kb/Ks,Ks和Kb分別為固相顆粒以及骨架的體積壓縮模量; λ 和 μ為 Lame 常數(shù).

(6) 滲流連續(xù)方程

式中,系數(shù)aij的具體表達(dá)式詳見附錄A.本構(gòu)方程(7)和滲流連續(xù)方程(8) 的具體推導(dǎo)過程分別見附錄B 和附錄C.

2 問題的求解

2.1 控制方程

考慮簡(jiǎn)諧荷載作用下各位移分量的形式如下

將式(9)代入孔隙流體運(yùn)動(dòng)平衡方程(2)中,并結(jié)合式(1)、式(7)和式(8),整理后可得頻域內(nèi)非飽和半空間的動(dòng)力控制方程

根據(jù)Helmholtz 分解定理,引入柱坐標(biāo)系下的兩個(gè)勢(shì)函數(shù)Φ和Ψ表示ur和uz如下

將式(12a)分別代入式(10a)和式(11)中,可得

考慮到因變量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)同二階空間導(dǎo)數(shù)的乘積與其時(shí)間導(dǎo)數(shù)同一階空間導(dǎo)數(shù)的乘積相比,前者是高階小量[21].因此,利用式(8)可以得到

將式(16)代入式(13),可得

將式(17)代入式(15),整理后可得

式中

方程(14)和方程(18)即為以勢(shì)函數(shù)表示的頻域內(nèi)控制方程.在得到勢(shì)函數(shù)解答的基礎(chǔ)上,可通過基本方程得到各位移分量、應(yīng)力分量等物理量的解答.

2.2 解析解答

利用分離變量法求解微分方程(14)和(18),可得

式中,I0(ζ11r),K0(ζ11r),I0(ζ12r),K0(ζ12r),I0(ζ2r),K0(ζ2r)分別為第一類和第二類零階貝塞爾函數(shù);

待定系數(shù)A,B,C,D由具體的邊界條件確定.

考慮如下邊界條件

根據(jù)邊界條件(21)～ (23)可得

因此,對(duì)于勢(shì)函數(shù)可重寫成以下形式

將式(26)和式(27)代入式(12)和式(17)中,最終可獲得非飽和多孔介質(zhì)中孔隙壓力及位移分量的表達(dá)式為

將孔隙壓力和位移的結(jié)果代入本構(gòu)方程(7)中,可得各應(yīng)力分量的表達(dá)式為

對(duì)于本文所討論問題的描述,在非飽和半空間表面(z=0)分別考慮透水(氣)和不透水(氣)兩種邊界條件.

(1) 當(dāng)半空間表面排水(氣)時(shí),土體表面孔隙氣壓力和孔隙水壓力為0,即

此時(shí),式(28)～ 式(30)中各參數(shù)分別為

(2)當(dāng)半空間表面不排水(氣)時(shí),土體表面孔隙流體和土骨架之間的相對(duì)位移為0,即

此時(shí)孔隙中流體和土骨架間的位移關(guān)系由式(2)得

此時(shí),式(28)～ 式(30)中各參數(shù)可表示為

2.3 能量場(chǎng)特性

通常情況下,半空間表面單位面積的能量傳播情況可由其表面牽引力和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的積表示[29].因此,對(duì)于本文所考慮的非飽和多孔介質(zhì)材料,單位面積上的能量,可由式(34)表示,結(jié)合兩類邊界條件(1)和(2)可求得不同透水(氣)條件下,非飽和半空間表面受到簡(jiǎn)諧荷載作用時(shí)能量的傳輸性質(zhì).

3 解答的有效性驗(yàn)證

在經(jīng)典Lamb 問題的分析研究中,學(xué)者們往往采用位移解的形式進(jìn)行描述.為驗(yàn)證本文計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,利用式(29)得出的非飽和半空間表面的豎向位移uz和水平位移ur的解析解答,同文獻(xiàn)[29]在飽和半空間中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,其分析結(jié)果十分接近,說明本文所得結(jié)果可以和經(jīng)典飽和半空間理論很好地銜接,進(jìn)一步證明本文計(jì)算結(jié)果的有效性,如圖2 所示.

圖2 有效性驗(yàn)證Fig.2 Validity verification

4 數(shù)值分析與討論

為討論不同邊界條件下相關(guān)參數(shù)對(duì)非飽和半空間動(dòng)力響應(yīng)和能量傳輸特性的影響規(guī)律,本文將通過數(shù)值算例分析在不透水(氣)條件、透水(氣)條件下土體表面位移及能量變化受到飽和度、振動(dòng)頻率、滲透系數(shù)的影響情況.數(shù)值算例中所選取的計(jì)算參數(shù)如表1 所示.

表1 計(jì)算參數(shù)[17]Table 1 Calculation parameters[17]

在激振圓頻率ω=1 rad/s 時(shí),圖3 繪制了非飽和半空間表面處為不透水(氣)條件、透水(氣)條件時(shí),飽和度變化對(duì)其表面位移及能量傳輸特性的影響曲線.由圖3 可見,非飽和半空間表面位移幅值會(huì)隨著飽和度的增大而增大.這主要是由于隨著飽和度的升高,非飽和介質(zhì)中基質(zhì)吸力降低從而引起粒間吸應(yīng)力降低,使半空間抵抗外力變形的能力減弱,導(dǎo)致半空間表面位移幅值會(huì)呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢(shì).在不透水(氣)條件下,整體的位移幅值低于透水(氣)條件下的位移幅值,當(dāng)飽和度較低時(shí),孔隙內(nèi)部存在大量氣體,由于氣體本身有很強(qiáng)的可壓縮性,因此當(dāng)飽和度較低時(shí),兩種不同邊界條件下的位移幅值相差很小;當(dāng)飽和度較高時(shí),土中孔隙水的含量明顯升高,非飽和介質(zhì)抵抗變形的能力也會(huì)隨之提升,因此當(dāng)飽和度較高時(shí),不透水(氣)條件下的位移幅值會(huì)較為明顯的低于透水(氣)條件下的位移幅值.同位移幅值的變化情況類似,半空間中的能量同樣呈現(xiàn)出隨著距離振源位置的增大而振蕩下降的趨勢(shì),且當(dāng)表面不透水(氣)條件下,孔隙流體壓力占比相對(duì)更大,但由于總應(yīng)力沒有變化,導(dǎo)致有效應(yīng)力占比相對(duì)較小,因此在不透水(氣)條件下半空間表面受外荷載作用時(shí)的總能量值依然小于透水(氣)條件下的能量.

圖3 飽和度對(duì)位移和能量的影響曲線Fig.3 Influence curve of saturation on displacement and energy

為了分析荷載激振圓頻率對(duì)非飽和半空間表面位移及能量傳輸特性的影響,圖4 繪出了不同頻率下相關(guān)物理量的變化曲線.從圖4 可以看出,隨著激振頻率的逐漸增加,不論是徑向還是豎向位移的幅值均逐漸減小.因?yàn)樵诤奢d振動(dòng)頻率較小時(shí),透水(氣)條件下的地表孔隙水(氣)壓力更容易消散,所以在透水(氣)和不透水(氣)兩種不同邊界條件下的位移幅值顯現(xiàn)出一定的差異,荷載振動(dòng)頻率較大時(shí)的現(xiàn)象與之相反.且由于施加的外力水平不變,因此非飽和半空間中的能量變化會(huì)呈現(xiàn)出相似的變化趨勢(shì).

圖4 激振頻率對(duì)位移和能量的影響曲線Fig.4 Influence curve of excitation frequency on displacement and energy

在ω=1 rad/s,飽和度Sr=0.6 時(shí),圖5 給出了固有滲透系數(shù)的變化對(duì)半空間表面位移幅值和能量傳輸特性的影響曲線.由圖5 可見,隨著固有滲透系數(shù)的逐漸降低,骨架位移也隨之減小.隨著距離振源位置的逐漸增加,位移幅值呈現(xiàn)出振蕩下降的現(xiàn)象.當(dāng)滲透系數(shù)很低時(shí),兩種邊界條件的性質(zhì)趨于一致,因?yàn)樵跅l件(1)的情況下,表面雖透水(氣),但由于半空間內(nèi)部的孔隙水(氣)壓力難以快速消散,依然會(huì)對(duì)土骨架產(chǎn)生一定的支持作用,所以位移幅值會(huì)隨著滲透系數(shù)的降低而呈現(xiàn)出一定的下降趨勢(shì).在不透水(氣)條件下,孔隙流體會(huì)持續(xù)影響半空間的表面位移,且孔隙中流體和土骨架之間沒有相對(duì)位移,因此不透水(氣)邊界條件下非飽和半空間表面的位移幅值會(huì)略低于透水(氣)邊界條件下的位移幅值,且當(dāng)土骨架位移幅值減小時(shí),總能量也會(huì)呈現(xiàn)出減小的現(xiàn)象,當(dāng)滲透系數(shù)下降至K<1×10?13m/s 時(shí),地表位移幅值受滲透系數(shù)影響趨于一極限值,并且隨著滲透系數(shù)的逐漸降低,這兩種不同邊界條件所產(chǎn)生的宏觀現(xiàn)象會(huì)逐漸趨于一致,但其差異性將一直存在.

圖5 滲透系數(shù)對(duì)位移和能量的影響曲線Fig.5 Influence curve of permeability coefficient on displacement and energy

5 結(jié)論

采用Helmholtz 分解法,給出了垂直集中簡(jiǎn)諧荷載作用下的非飽和土的動(dòng)力響應(yīng)解答,并通過數(shù)值算例分析了荷載振動(dòng)頻率、飽和度、滲透系數(shù)以及孔隙率對(duì)非飽和半空間位移場(chǎng)和能量場(chǎng)的影響規(guī)律.所得結(jié)論如下:

(1)激振頻率對(duì)非飽和半空間表面的動(dòng)力響應(yīng)和能量傳輸特性有著顯著的影響,隨著激振頻率逐漸增大,表面位移幅值及總體能量水平均逐漸減小,且隨著距離振源位置的逐漸增加,位移幅值呈現(xiàn)出振蕩減小的現(xiàn)象,滲透系數(shù)越高,激振頻率越小,該現(xiàn)象越明顯.

(2) 表面位移幅值隨著飽和度的減小而降低,并且降低滲透系數(shù)也同樣會(huì)減小位移幅值,當(dāng)滲透系數(shù)的降低到一定程度時(shí),位移幅值下降速度放緩,并逐漸趨于一個(gè)極限值.

附錄A

附錄B

考慮土顆粒由于粒間吸應(yīng)力所引起的變形為

則結(jié)合有效應(yīng)力公式(5),彈性本構(gòu)關(guān)系可表示為

附錄C

根據(jù)平均化方法,總應(yīng)力又可表示為

由式(B2)和式(C1)聯(lián)立得

由粒間應(yīng)力所引起的土顆粒的密度變化為

由式(C2)和式(C3)得

同理,對(duì)于液相和氣相的變化也有類似的關(guān)系

將式(15)進(jìn)一步展開得到更詳細(xì)的表達(dá)形式

通常情況下因變量的空間導(dǎo)數(shù)與時(shí)間導(dǎo)數(shù)的積與時(shí)間導(dǎo)數(shù)相比,空間導(dǎo)數(shù)與時(shí)間導(dǎo)數(shù)的積是高階小量,因此式(C6a)～(C6c)可以簡(jiǎn)化寫成

將式(C4)代入式(C7a)得

根據(jù)van Genuchten 提出的水土特征曲線[31]飽和度Sr相對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可以寫成

式中,αvg,mvg,nvg分別為V-G 模型下表征水土特征的擬合參數(shù);Sr為土體飽和度.

將式(C5)、式(C8)、式(C9)代入式(C7b)和式(C7c),整理后可得到非飽和土中的滲流連續(xù)方程(8).