基于不定長氣隙的向心力磁力軸承精確建模

楊恒坤，倪 劍，夏偉東

（中國商飛公司民用飛機試飛中心，上海 200000）

混合磁軸承由于其結(jié)構(gòu)緊湊、功耗低、無摩擦等優(yōu)點，被廣泛用作高速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的理想支撐裝置[1]。在結(jié)構(gòu)設計方面，混合磁軸承的定子和轉(zhuǎn)子通常設計為圓柱形拓撲結(jié)構(gòu)[2]。在文獻[3]中，提出了一種新型的向心力型磁軸承（向心力磁軸承），其中定子和轉(zhuǎn)子為球形拓撲結(jié)構(gòu)，優(yōu)于圓柱形磁軸承，其獨特的球形結(jié)構(gòu)可以消除轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的平行于轉(zhuǎn)子軸線的干涉力，從而不易受到外部干擾。懸浮力模型是結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設計和控制策略等關鍵技術的基礎，是近幾十年來的重要研究課題[4]。

目前，懸浮力建模方法主要基于氣隙的固定長度，在此模型上還衍生了渦流和漏磁對主磁場的影響等進一步研究[5]。然而，轉(zhuǎn)子實際工況引起的氣隙變形對懸浮力的影響卻沒有引起足夠的重視。本文提出了一種基于氣隙不固定長度的向心力型磁軸承建模新方法，并討論了氣隙變形對力-電流剛度和力-位移剛度的影響。此外，本文還獲得了添加到實際轉(zhuǎn)子運行速度的新剛度表達式。有限元結(jié)果表明，新模型在轉(zhuǎn)子工況下具有更高的精度。

1 向心力磁軸承磁懸浮力模型

圖1a 為向心力型磁軸承三維結(jié)構(gòu)模型，從圖1a中可以看出，磁軸承定子內(nèi)壁處于同一個球面上，轉(zhuǎn)子亦為球面結(jié)構(gòu)，且定子與轉(zhuǎn)子同球心，這種球面結(jié)構(gòu)有助于在磁軸承高速運轉(zhuǎn)的情況下減少陀螺效應的發(fā)生。同時，永磁體安裝于兩片定子極之間，永磁體產(chǎn)生偏置磁通，可以使磁軸承實現(xiàn)被動懸浮。因此，向心力型磁軸承具有低功耗和高穩(wěn)定性的特征。

圖1 向心力型磁軸承的磁路和樣機

圖1a 還顯示了向心力磁軸承的總磁路。偏置通量和控制通量標記在圖1a 中?？刂拼磐ê推么磐ǒB加，其中控制磁通是由控制電流通過控制線圈產(chǎn)生的，偏置磁通是由兩片定子見的永磁體產(chǎn)生的?？刂拼磐ê推么磐ㄏ嗷プ饔?，在氣隙中產(chǎn)生相應的懸浮力，從而調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子始終懸浮在平衡位置。圖1b 顯示了向心力磁軸承實物樣機?？紤]到混合磁軸承是一種特殊的無軸承電機，只產(chǎn)生懸浮力，不產(chǎn)生扭矩，其工作原理可參考無軸承電機。關于向心力磁軸承的其余細節(jié)，例如配置，可以參考文獻[3]。向心力磁軸承的傳統(tǒng)懸浮力模型可以表示為

式中，kx和kix是磁軸承單元在x 軸上的力-電流剛度和力-位移剛度；Hpm是永磁體的矯頑力；hpm是永磁體的長度；μr是永磁體的相對磁導率；μ0為自由空間的磁導率；Apm是永磁體的面積；Sr是單個徑向磁極的面積；δr為徑向氣隙；α 為徑向部分定子上下極間夾角的一半；εrp為氣隙處偏磁通的漏磁系數(shù)；εrc是氣隙中控制磁通的漏磁系數(shù)。

為了驗證轉(zhuǎn)子在高速情況下的形變量，將向心力磁軸承模型加載進有限元仿真軟件中進行有限元分析。圖2 為20 萬轉(zhuǎn)/分帶軸轉(zhuǎn)子在有限元分析下的變形圖，從圖中可以看出，轉(zhuǎn)子變形隨運行速度實時變化，用限元法建立變形模型，加載轉(zhuǎn)速為n=20，0000rpm 的慣性負載（臨界轉(zhuǎn)速81264rpm）。圖2a 為有限元分析下的20 萬轉(zhuǎn)/分帶軸轉(zhuǎn)子形變云圖。圖2a 顯示了轉(zhuǎn)子在慣性載荷下的變形，最大變形為0.11713mm，而氣隙長度為0.25mm,這就意味著最大形變量相當于接近轉(zhuǎn)子偏移距離的一半。因此，轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的氣隙變形是不可忽略的，特別是當轉(zhuǎn)子運行超過臨界速度時。在氣隙變形較大的情況下，若將氣隙長度認為是固定的，則麥克斯韋力的作用區(qū)域就會被簡化為磁極區(qū)域，這將極大地影響懸浮力的準確性。

圖2 20 萬轉(zhuǎn)/分帶軸轉(zhuǎn)子變形圖

可以從仿真軟件中導出圖2b 所示轉(zhuǎn)子的軸向圓弧圖，對變形進行定量分析。最大變形發(fā)生在軸向中間位置，并向兩極逐漸減小，因此形變是與維度角相關的，可以推斷氣隙形變長度是關于緯度角（0～26.18°）的表達式。參考薄壁球形轉(zhuǎn)子的變形規(guī)律，加入修正系數(shù)得到轉(zhuǎn)子的變形規(guī)律。徑向變形規(guī)律表示為

式中θ 是緯度角；μ 是泊松比；r0是轉(zhuǎn)子半徑；ρ 是轉(zhuǎn)子密度；E 是彈性模量；ω 是轉(zhuǎn)速；修正系數(shù)β=4.5。

由于轉(zhuǎn)子由球體變?yōu)闄E球體，氣隙長度也隨轉(zhuǎn)速變化，其表達式可寫成：

其中，r0表示球形轉(zhuǎn)子的半徑。

類似地，麥克斯韋力的作用區(qū)域被積分在橢球體的表面上。其表達式可以定義為

將式（3）和式（4）代入式（1），新公式是基于氣隙長度不固定的向心力型磁軸承的精確模型。

2 仿真分析

通過對轉(zhuǎn)子在高速情況下的形變量分析，將其氣隙形變引入電磁力的仿真中，應用有限元的方法對變化氣隙長度進行仿真分析電磁結(jié)構(gòu)耦合場，從而分析氣隙變形對懸浮力的影響。圖3 顯示了懸浮力隨位移/電流和速度的變化。從圖3a 和3b 可以看出，在恒定轉(zhuǎn)子運行速度下，懸浮力Fx 與電流或位移近似成正比，這與現(xiàn)有研究結(jié)果一致，而動態(tài)懸浮力對變化速度很敏感。這意味著力和位移/電流之間的系數(shù)會因轉(zhuǎn)子速度的差異而變化。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，在一定位移或電流下的懸浮力呈現(xiàn)上升趨勢，是非線性增長而不是線性增長。此外，離心變形對力-電流剛度和力-位移剛度的影響不相等，前者產(chǎn)生的誤差略大于后者（35.006N＞23.506N），如圖3a 和3b 所示。因此，即使在兩個剛度都上升的情況下，由于增加的幅度不同，兩個剛度的誤差也不能相互抵消。

圖3 懸浮力隨位移/電流和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化

經(jīng)過計算、仿真對比，以200000rpm 的運行速度為例，比較向心力磁軸承懸浮力新模型分別與傳統(tǒng)模型和有限元仿真模型的誤差。從圖4a 和4b 可以看出，有限元結(jié)果與傳統(tǒng)的力模型不一致。向心力磁軸承懸浮力-位移剛度和力-電流剛度的最大誤差分別為13.3%和19.8%。而所提模型與有限元結(jié)果吻合較好，力-流剛度和力-位移剛度的相對誤差分別為4.14%和5.3%。因此，證明了所提出模型的正確性和準確性。

圖4 提出模型與傳統(tǒng)模型和有限元仿真模型比較圖

3 結(jié)束語

由于所提出的模型中考慮了高轉(zhuǎn)速下的磁軸承氣隙變形，因此新模型中的力-電流剛度和力-位移剛度與傳統(tǒng)模型中的固定值不同（定長氣隙模型為零轉(zhuǎn)速），但隨著轉(zhuǎn)子運行速度動態(tài)變化。本研究有效地探索了兩種剛度的變化規(guī)律。結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的提高，氣隙變形引起的兩種剛度誤差有增大的趨勢，但氣隙變形對力-電流剛度精度的影響明顯大于力-位移剛度。結(jié)果表明，兩個剛度的誤差不能相互抵消，說明在表達式中加入轉(zhuǎn)子運行速度的必要性。計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合較好。所提出模型的結(jié)果與有限元分析結(jié)果非常吻合。因此，在懸浮力建模過程中不能簡單地認為氣隙長度是固定的。提出的基于氣隙長度不固定的精度模型為磁軸承的實時精度控制奠定了基礎。