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    用MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)牛頓環(huán)的動(dòng)畫演示*

    2021-11-06 04:00:14周群益
    物理通報(bào) 2021年11期
    關(guān)鍵詞:反射光光波凸透鏡

    周群益

    (廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

    莫云飛

    (長(zhǎng)沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410022)

    周麗麗

    (贛南醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

    侯兆陽

    (長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系 陜西 西安 710064)

    1 引言

    文獻(xiàn)[1]在大學(xué)物理的“課程思政”與仿真實(shí)驗(yàn)中做了有益的探索,以牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)為例,通過MATLAB的用戶交互系統(tǒng)(GUI)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.不過,文獻(xiàn)[1]中并沒有說明牛頓環(huán)的數(shù)學(xué)模型,且文中的模擬結(jié)果也出現(xiàn)明顯差錯(cuò),所謂光強(qiáng)分布曲線應(yīng)該是光波振幅的分布曲線;當(dāng)中心光強(qiáng)為零時(shí),干涉條紋中心應(yīng)該是暗斑而不是亮斑.我們多年前就出版了MATLAB與大學(xué)物理相結(jié)合的教材,執(zhí)行程序顯示牛頓環(huán)變化的規(guī)律[2].本文重新建立了牛頓環(huán)的數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用MATLAB特有的指令,用動(dòng)畫演示牛頓環(huán)的變化過程,以便讀者掌握牛頓環(huán)動(dòng)畫的設(shè)計(jì)方法,解決更多的光學(xué)問題.

    2 牛頓環(huán)的數(shù)學(xué)模型

    如圖1所示,半徑很大且為R的平凸透鏡與平板玻璃的距離為d,空氣間隙厚度為e,e?R,d?R.當(dāng)波長(zhǎng)為λ的單色光a垂直入射時(shí),在凸透鏡下表面與空氣的交界面同時(shí)發(fā)生反射和透射,反射光為b,透射光a′在平板玻璃的上表面再發(fā)生反射,反射光為b′.b和b′是同一束光a的兩部分,因而是相干光,相遇時(shí)就發(fā)生干涉.

    圖1 牛頓環(huán)的光路圖

    由于玻璃的折射率大于空氣的折射率,所以b光反射時(shí)沒有半波損失,因而不會(huì)產(chǎn)生附加光程差;b′光反射時(shí)有半波損失,因而會(huì)產(chǎn)生附加光程差.空氣的折射率n=1,兩列光的光程差為

    (1)

    (2)

    暗環(huán)形成的條件為

    (3)

    (4)

    可知,相鄰明環(huán)或暗環(huán)的厚度差相同.

    設(shè)光環(huán)的半徑為r,可得方程

    r2=R2-(R-e)2

    由于R?e,所以

    r2≈2Re

    (5)

    第k級(jí)明環(huán)的半徑為

    (6)

    第K級(jí)暗環(huán)的半徑為

    (7)

    當(dāng)d= 0時(shí),平凸透鏡接觸平板玻璃,可得

    (8)

    (9)

    其中K=0時(shí)的暗環(huán)半徑為零,表示反射光的中央是暗斑(對(duì)應(yīng)的透射光是明斑).干涉級(jí)次k或K越大,對(duì)應(yīng)的厚度e也越大,明環(huán)和暗環(huán)距離中心越遠(yuǎn).當(dāng)平凸透鏡向上移動(dòng)時(shí),d將增加,由于同一級(jí)干涉條紋對(duì)應(yīng)同一厚度,所以條紋向中心移動(dòng),k和K較小級(jí)次條紋將逐漸消失.

    當(dāng)平行光垂直照射時(shí),設(shè)入射光和反射光的振幅都為A0(A0代表光波中電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量之和的振幅),當(dāng)兩束光相干疊加時(shí),合振幅為

    將式(1)代入上式得

    將式(5)代入上式得

    (10)

    光強(qiáng)與光波振幅的平方成正比I=kA2,其中k是比例系數(shù).因此光強(qiáng)為

    (11)

    (12)

    光強(qiáng)分布規(guī)律為

    (13)

    3 可視化

    (14)

    (15)

    當(dāng)d= 0時(shí),相對(duì)振幅為

    (16)

    相對(duì)光強(qiáng)為

    (17)

    利用MATLAB的繪圖指令plot可以畫出光波和光強(qiáng)曲線,利用圖像指令image可畫出干涉圖樣,利用色圖指令colormap可設(shè)定干涉條紋的顏色.結(jié)合MATLAB的程序設(shè)計(jì)方法和輔助指令,可以演示牛頓環(huán)的動(dòng)畫(見附錄).

    圖2 牛頓環(huán)在初始時(shí)的光波振幅和光強(qiáng)(d=0)

    如圖3所示,當(dāng)d=0時(shí),牛頓環(huán)中央是暗斑,隨著半徑的增加,條紋間距越來越小,分布越來越密.這是因?yàn)橄噜徝鳝h(huán)或暗環(huán)的厚度差相同,從里到外空氣厚度逐漸增加的緣故.注意:圖3顯示反射光的牛頓環(huán),對(duì)于透射光,牛頓環(huán)的明暗分布的規(guī)律正好相反.

    圖4 平凸鏡上移時(shí)的牛頓環(huán)

    4 結(jié)束語

    我們認(rèn)為,傳統(tǒng)學(xué)科都要與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合起來,光學(xué)與MATLAB結(jié)合,能夠幫助學(xué)生更好地理解光學(xué)知識(shí).我們10年前就花費(fèi)了多年時(shí)間,撰寫了MATLAB與大學(xué)物理學(xué)相結(jié)合的教材,共有300多個(gè)各類程序,其中有10多個(gè)光學(xué)程序,相信對(duì)于讀者具有重要的參考價(jià)值.

    附 錄

    NewtonRing.m

    %反射光的牛頓環(huán)的動(dòng)畫

    clear,rm=4;r=-rm:0.005:rm;%清除變量,最大半徑(相對(duì)坐標(biāo)),坐標(biāo)向量

    A=2*cos(pi*(r.^2+1/2));%反射光的相對(duì)振幅

    figure,subplot(2,1,1),plot(r,A,'LineWidth',2);%建立圖形窗口,選子圖,畫曲線

    grid on,fs=16;%加網(wǎng)格,字體大小

    xlabel('itr/r m_0','FontSize',fs)%加橫標(biāo)簽

    ylabel('itA/A m_0','FontSize',fs)%加縱標(biāo)簽

    title('反射光的牛頓環(huán)的初始光波振幅','FontSize',fs)%加標(biāo)題

    subplot(2,1,2),plot(r,A.^2/4,'LineWidth',2),grid on%選子圖,畫曲線,加網(wǎng)格

    xlabel('itr/r m_0','FontSize',fs)%加橫標(biāo)簽

    ylabel('itl/I m_0','FontSize',fs)%加縱標(biāo)簽

    title('反射光的牛頓環(huán)的初始光強(qiáng)','FontSize',fs)%加標(biāo)題

    [X,Y]=meshgrid(r);R=sqrt(X.^2+Y.^2);%坐標(biāo)矩陣,各點(diǎn)到圓心的相對(duì)距離

    I=cos(pi*(R.^2+1/2)).^2;c=linspace(0,1,64)';%反射光的相對(duì)光強(qiáng),顏色范圍

    figure,h=image(I*64);colormap([c,c*0,c*0])%建立圖形窗口,畫圖像,形成紅色色圖

    title('反射光的初始牛頓環(huán)','FontSize',16),axis off equal,pause%標(biāo)題,隱軸,暫停

    title('平凸鏡上移時(shí)反射光的牛頓環(huán)','FontSize',16),d=0;%修改標(biāo)題,初始距離

    while 1%無限循環(huán)

    d=d+0.02;I=cos(pi*(R.^2+2*d+1/2)).^2;%增加距離,反射光的相對(duì)光強(qiáng)

    set(h,'CData',64*I),drawnow%設(shè)置光強(qiáng),更新屏幕

    if get(gcf,'CurrentCharacter')==char(27),break,end%按ESC鍵退出

    end%結(jié)束循環(huán)

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