一類生態(tài)系統(tǒng)模型食物鏈研究

夏 鵬，李 旭

1.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院無錫旅游商貿(mào)分院，江蘇無錫,214045;

2.浙江理工大學(xué)科技與藝術(shù)學(xué)院，浙江紹興,312369

通過數(shù)學(xué)模型研究生態(tài)系統(tǒng)各種復(fù)雜的現(xiàn)象一直是熱門的研究課題[1-2]。為了更好優(yōu)化整合生態(tài)資源，Liu[3]在2009年建立了如下的生態(tài)數(shù)學(xué)模型：

(1)

其中，模型(1)中(x,t)∈Ω×R+，對于(x,t)∈?Ω×R+邊界條件為：

(2)

初始條件為：

(3)

1 理論分析

本節(jié)主要討論擴(kuò)散速率、死亡率、轉(zhuǎn)化率和趨化系數(shù)對穩(wěn)態(tài)下微生物種群分布會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響。因?yàn)樘幚砗酶鲄?shù)與微生物種群之間的關(guān)系，可以更好地幫助我們從理論依據(jù)上去保護(hù)生態(tài)系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)上，我們建立當(dāng)k=2時(shí)，系統(tǒng)(1)—(3)定態(tài)解存在性和穩(wěn)定性條件。在一維條件下，即Ω=(0,l)，其中l(wèi)為正實(shí)數(shù)，那么系統(tǒng)重新寫作下列模型：

(4)

邊界條件和初始條件分別寫為：

(5)

且N0(x)>0,w10(x)>0,w20(x)>0。

(6)

在一維區(qū)間[0,l]上帶有諾依曼邊界條件的負(fù)拉普拉斯算子特征值問題[6]：

那么上述線性系統(tǒng)(6)中Λm等價(jià)寫成下列矩陣形式：

(7)

(8)

因此，由特征值穩(wěn)定性理論分析[7]，我們有下面結(jié)果：

命題1因?yàn)榫€性系統(tǒng)t=Λ0有主特征值λ0=1-d0μ0=1，那么定態(tài)解E0總是不穩(wěn)定的，即系統(tǒng)(4)至(5)是持久的。

命題2如果γ1

命題3如果γ1>b1，那么線性系統(tǒng)t=Λ1有一個(gè)特征值λ0=γ1-b1>0，因此，特征值E1是不穩(wěn)定的。那么系統(tǒng)(4)至(5)食物鏈長度大于1，即p≥2。

2 數(shù)值研究

本節(jié)我們將通過MATLAB中PDE工具包來數(shù)值仿真研究系統(tǒng)參數(shù)如何影響系統(tǒng)(4)至(5)種群存在性[8]，其中邊界條件為(5)式，初始條件取

w10(x)=w20(x)=5

(9)

事實(shí)上，只要初始條件滿足(5)式中條件，有相同的結(jié)果。故可以得到下列結(jié)論。

結(jié)論1當(dāng)死亡率bi和轉(zhuǎn)化率γi固定，即使改變擴(kuò)散系數(shù)和所有趨化參數(shù)值，具有邊界條件(5)和初始條件(9)的系統(tǒng)(4)也會(huì)進(jìn)入相同的定態(tài)，這表明擴(kuò)散和趨化性不會(huì)影響所考慮系統(tǒng)的定態(tài)，這與理論結(jié)果相符。因此令d0=d1=d2=1，且σ1=σ2=c1=c2=1。

結(jié)論2假設(shè)死亡率固定為b1=0.1,b2=0.2，將具有邊界條件(5)和初始條件(9)的系統(tǒng)(4)中轉(zhuǎn)化率γ1,γ2設(shè)為不同值。發(fā)現(xiàn):

(1)當(dāng)γ1>b1,γ2>b2時(shí)，這三個(gè)生物種群共存于這個(gè)封閉區(qū)域。即食物鏈長度p=3。而且令γ2≥γ1，那么當(dāng)γ1與γ2值差別越大時(shí)，這三個(gè)生物種群密度呈周期狀演化越明顯(圖1—圖3)。

(2)通過嘗試各種參數(shù)值，當(dāng)γ1≤b1，那么三個(gè)生物不可能共存。因?yàn)閺默F(xiàn)實(shí)生活中也容易知道當(dāng)初級消費(fèi)者營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率小于死亡率時(shí)，初級消費(fèi)者數(shù)量會(huì)銳減，營養(yǎng)不會(huì)向下一級傳遞，所以不可能共存。這個(gè)現(xiàn)象也可以觀察比較圖1和圖4。其中圖4食物鏈長度為2。這些數(shù)值結(jié)果與命題1—3極為一致。

結(jié)論3當(dāng)營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率保持固定，比較圖1和圖5，其中圖5食物鏈長度為1，如果我們改變死亡率b1，使得b1≥γ1，那么初次消費(fèi)者將要滅絕，則在封閉區(qū)域內(nèi)，二級消費(fèi)者無論營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率γ2取多大，由于缺乏食物，它們也不能存活。然而假設(shè)b1≤γ1，但是b2>γ2且足夠大，那么初級消費(fèi)者可以演變到正常數(shù)而二級消費(fèi)者往往會(huì)滅絕。這可以比較圖1和圖6，其中圖6食物鏈長度為2，這些仿真也證實(shí)了命題1—3。

圖1 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=0.2,γ1=0.25,γ2=6)

圖2 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=0.2,γ1=1,γ2=6)

圖3 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=0.2,γ1=0.5,γ2=0.6)

圖4 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=0.2,γ1=0.1,γ2=0.6)

圖5 生物種群密度變化圖(b1=0.25,b2=0.2,γ1=0.25,γ2=6)

圖6 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=1.5,γ1=0.5,γ2=0.6)

3 結(jié)束語

在這項(xiàng)工作中，我們給出了理論分析和數(shù)值計(jì)算，為了展示系統(tǒng)參數(shù)是如何影響具有自產(chǎn)營養(yǎng)的封閉生態(tài)系統(tǒng)的食物鏈。結(jié)果表明，在所考慮的模型中，擴(kuò)散和趨化對系統(tǒng)沒有產(chǎn)生影響。但是，食物從低層到高層的轉(zhuǎn)化率γi,(i=1,2,3…)即第i種微生物的消費(fèi)能力對生物體的共存及其生存方式起著至關(guān)重要的作用。因此，對自然界生態(tài)系統(tǒng)維持共存提供了一定的理論基礎(chǔ)。