拓?fù)湫D(zhuǎn)群上的同構(gòu)定理*

梁倩倩，張 靜

(閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000)

1 引言

旋轉(zhuǎn)群的概念最初由A.A.Ungar[1]在研究愛(ài)因斯坦相對(duì)可接受速度的c球時(shí)提出.值得注意的是旋轉(zhuǎn)群的結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在眾多領(lǐng)域中，如數(shù)學(xué)、物理、非歐幾里得幾何學(xué)、群論、loop理論、抽象代數(shù)及分析學(xué)等.2015年，T.Suksumran和K.Wiboonton[2]探究了旋轉(zhuǎn)群的一些基本性質(zhì)，引入了L-旋轉(zhuǎn)子群，并證明了旋轉(zhuǎn)群上的三個(gè)同構(gòu)定理.L-旋轉(zhuǎn)子群及正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群的提出為旋轉(zhuǎn)群陪集空間的研究奠定了基礎(chǔ).2017年，W.Atiponrat[3]賦予了旋轉(zhuǎn)群拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)使其二元運(yùn)算在此拓?fù)湎侣?lián)合連續(xù)以及逆運(yùn)算連續(xù)，從而給出了拓?fù)湫D(zhuǎn)群(topological gyrogroup)的概念，進(jìn)一步W.Atiponrat證明了盡管具有更弱的代數(shù)結(jié)構(gòu)，但拓?fù)湫D(zhuǎn)群仍具有一些與拓?fù)淙合嗤男再|(zhì).2019年，蔡長(zhǎng)勇、林壽、賀偉三位學(xué)者證明了每一個(gè)拓?fù)湫D(zhuǎn)群都是rectifiable空間，從而得出了拓?fù)湫D(zhuǎn)群的第一可數(shù)性與可度量性等價(jià)的結(jié)論[4].rectifiable空間作為拓?fù)淙旱耐茝V，近年來(lái)受到廣大國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.盡管rectifiable空間的研究已取得了一系列重要的成果，但美中不足的是只知道7維球面S7是rectifiable空間而不是拓?fù)淙篬5]，拓?fù)湫D(zhuǎn)群的出現(xiàn)為rectifiable空間的研究增添了實(shí)例.鮑猛和林福財(cái)[6]引入了強(qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群的概念，給出不是拓?fù)淙旱膹?qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群(見(jiàn)[6]，例3.1])的實(shí)例，并證明每一個(gè)feathered強(qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群是仿緊的.

拓?fù)淇臻g的商空間性質(zhì)一直是拓?fù)鋵W(xué)家們感興趣的問(wèn)題，如強(qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群的商空間性質(zhì)(見(jiàn)[7]).本文主要探討拓?fù)湫D(zhuǎn)群上的同構(gòu)定理.本文所討論空間滿足T2分離性，未定義的符號(hào)及術(shù)語(yǔ)見(jiàn)[1，2，3,6].

下面我們回顧若干本文需要用到的定義與結(jié)論.

定義1.1[3]設(shè)⊕:G×G→G是非空集合G上的二元運(yùn)算，則稱(G,⊕)為廣群.函數(shù)f:(G1,⊕1)→(G2,⊕2)稱為廣群同態(tài)，如果對(duì)任意a,b∈G1，有f(a⊕1b)=f(a)⊕2f(b).此外，從廣群(G,⊕)到自身的雙射廣群同態(tài)稱為廣群自同構(gòu).廣群(G,⊕)的所有自同構(gòu)組成的集合用Aut(G,⊕)表示.

定義1.2[1]設(shè)(G,⊕)是廣群.(G,⊕)稱為旋轉(zhuǎn)群，如果它的二元運(yùn)算滿足條件:

(G1)任取a∈G，存在唯一的單位元0∈G使得0⊕a=a=a⊕0.

(G2)任取a∈G，存在唯一的逆元?a∈G使得?a⊕a=0=a⊕(?a).

(G3)任取a,b∈G，存在gyr[a,b]∈Aut(G,⊕)使得對(duì)任意d∈G都有a⊕(b⊕d)=(a⊕b)⊕gyr[a,b](d).

(G4)任取a,b∈G，有g(shù)yr[a⊕b,b]=gyr[a,b].

定義1.3[2]設(shè)(G,⊕)是旋轉(zhuǎn)群，H是G的非空子集，則H是G的旋轉(zhuǎn)子群當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

(1)對(duì)任意a∈H，有?a∈H.

(2)對(duì)任意a,b∈H，有a⊕b∈H.

定義1.4[2]設(shè)(G,⊕)是旋轉(zhuǎn)群，G的旋轉(zhuǎn)子群H稱為L(zhǎng)-旋轉(zhuǎn)子群，記為H≤LG，如果對(duì)任意a∈G,h∈H，都有g(shù)yr[a,h](H)=H.

定義1.5[3](G,τ,⊕)稱為拓?fù)湫D(zhuǎn)群，如果下列條件成立：

(1)(G,τ)是拓?fù)淇臻g.

(2)(G,⊕)是旋轉(zhuǎn)群.

(3)二元運(yùn)算⊕:G×G→G聯(lián)合連續(xù)，其中G×G賦予乘積拓?fù)?

(4)逆運(yùn)算?(·):G→G,i.e.，a→?a，是連續(xù)的.

顯然若對(duì)任意a,b∈G，取的gyr[a,b]是拓?fù)淙篏上的恒等映射，則G是拓?fù)湫D(zhuǎn)群.

定義1.6[6]設(shè)(G,τ,⊕)是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，則我們稱(G,τ,⊕)是強(qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群，如果存在單位元0的一族鄰域基U使得對(duì)任意U∈U和任意的a,b∈G，都有g(shù)yr[a,b](U)=U.

引理1.7[3]每一個(gè)拓?fù)湫D(zhuǎn)群(G,τ,⊕)都是齊性空間.

引理1.8[2]設(shè)φ:G→H是旋轉(zhuǎn)群同態(tài)，則

(1)φ(0)=0;

(2)對(duì)任意a∈G，有φ(?a)=?φ(a);

(3)對(duì)任意a,b,c∈G，有φ(gyr[a,b]c)=gyr[φ(a),φ(b)]φ(c);

(4)對(duì)任意a,b∈G，有φ(a(?b))=φ(a)(?φ(b)).

2 主要結(jié)果

設(shè)G,H是旋轉(zhuǎn)群.若映射φ:G→H定義為對(duì)任意a,b∈G，φ(a⊕b)=φ(a)⊕φ(b)，則稱φ為旋轉(zhuǎn)群同態(tài).雙射群同態(tài)被稱為旋轉(zhuǎn)群同構(gòu).如果存在一個(gè)從G到H的旋轉(zhuǎn)群同構(gòu)映射，則稱G和H是同構(gòu)旋轉(zhuǎn)群，用G?H表示.

同態(tài)φ的核kerφ是H中的旋轉(zhuǎn)子群{0}在φ下的原象，因此kerφ也是旋轉(zhuǎn)子群.kerφ在G的旋轉(zhuǎn)自同構(gòu)下是不變的，即對(duì)任意a,b∈G，有g(shù)yr[a,b](kerφ)?kerφ[2].旋轉(zhuǎn)群G的旋轉(zhuǎn)子群H稱為正規(guī)的，如果它是G上某一旋轉(zhuǎn)群同態(tài)的核.

若拓?fù)湫D(zhuǎn)群(G,τ,⊕)和(H,τ,⊕)間存在既是旋轉(zhuǎn)群同構(gòu)又是拓?fù)渫叩挠成?，則稱(G,τ,⊕)與(H,τ,⊕)拓?fù)渫瑯?gòu).

命題2.1 設(shè)G,H和K是旋轉(zhuǎn)群.如果φ∶G→H,ψ∶G→K是使得ψ(G)=K且kerψ?kerφ的同態(tài)，則存在同態(tài)f:K→H使得φ=f°ψ.此外，假設(shè)G,H和K是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，映射φ和ψ連續(xù).如果對(duì)H中單位元0H的任意鄰域U，存在K中單位元0K的鄰域V使得ψ-1(V)?φ-1(U)，則f連續(xù).

證明對(duì)?x∈K，取a∈ψ-1(x)，令f(x)=φ(a)，下面先驗(yàn)證f是良好定義的.首先若a,b∈ψ-1(x)，則ψ(a)=ψ(b)=x，從而?ψ(a)⊕ψ(b)=0K.由ψ是同態(tài)映射知ψ(?a)=?ψ(a),所以?a⊕b∈kerψ.因?yàn)閗erψ?kerφ,所以φ(a)=φ(b).因此f是K到H上的映射且φ=f°ψ.

對(duì)?x1,x2∈K，取a1∈ψ-1(x1),a2∈ψ-1(x2)，則由φ是同態(tài)映射知a1⊕a2∈ψ-1(x1⊕x2)，因此f(x1⊕x2)=φ(a1⊕a2)=φ(a1)⊕φ(a2)=f(x1)⊕f(x2).即f是同態(tài).下證f的連續(xù)性.

設(shè)U是H中單位元0H的任意鄰域.由題設(shè)有，存在K中單位元0K的鄰域V，使得W=ψ-1(V)?φ-1(U).由于φ=f°ψ，故有f(V)=φ(W)?U，從而f在K中單位元0K處連續(xù).根據(jù)旋轉(zhuǎn)群是齊性空間知f連續(xù).

推論2.2 設(shè)G,H和K是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，φ∶G→H和ψ∶G→K是連續(xù)同態(tài)，使得ψ(G)=K且kerψ?kerφ.如果同態(tài)ψ是開(kāi)的，則存在連續(xù)同態(tài)f∶K→H使得φ=f°ψ.

證明由命題2.1，存在同態(tài)f∶K→H使得φ=f°ψ.往證f連續(xù).設(shè)V是H中的任意開(kāi)集，則f-1(V)=ψ(φ-1(V)).由于φ連續(xù)且ψ是開(kāi)映射，故f-1(V)是K中的開(kāi)集.因此f連續(xù).

引理2.3[2]如果H是旋轉(zhuǎn)群G的L-旋轉(zhuǎn)子群，則集合{a⊕H∶a∈G}是G中不相交的劃分.

根據(jù)[6，定理 3.7]，賦予G/H由映射π∶G→G/H誘導(dǎo)的商拓?fù)?，其中?a)=a⊕H,a∈G.顯然映射π是開(kāi)映射.

命題2.4 設(shè)(G,τ,⊕)是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，H是G的L-旋轉(zhuǎn)子群，則集族{π(a⊕U)∶0∈U∈τ}是商空間G/H在點(diǎn)a⊕H∈G/H處的鄰域基.

證明事實(shí)上，顯然π-1(π(a⊕U))=(a⊕U)⊕H.因?yàn)?a⊕U)⊕H是開(kāi)集且π是商映射，所以π(a⊕U)是G/H中的開(kāi)集.設(shè)W是G/H中a⊕H的任意開(kāi)鄰域，置O=π-1(W),則O是G中a的開(kāi)鄰域.從而存在G中單位元0的開(kāi)鄰域U使得a⊕U?O.因此，π(a⊕U)?W.

對(duì)于旋轉(zhuǎn)群同態(tài)φ∶G→H，T.Suksumran和K.Wiboonton[2]通過(guò)下面的方式定義了集合G/kerφ上的二元運(yùn)算：

(a⊕kerφ)⊕(b⊕kerφ)=(a⊕b)⊕kerφ，a,b∈G.

引理2.5[2]設(shè)φ∶G→H是旋轉(zhuǎn)群同態(tài)，則賦予上述二元運(yùn)算的G/kerφ是一個(gè)旋轉(zhuǎn)群.

引理2.6[8]設(shè)(G,τ,⊕)是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，H是G的正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群，則(G/H,τG/H,⊕)是拓?fù)湫D(zhuǎn)群.

引理2.7[2]若φ∶G→H是旋轉(zhuǎn)群同態(tài)，則旋轉(zhuǎn)群G/kerφ?φ(G).

定理2.8 設(shè)G,H是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，φ是從G到H的連續(xù)開(kāi)滿同態(tài).對(duì)任意a∈G，令Φ(a⊕kerφ)=φ(a),則映射Φ∶G/kerφ→H是拓?fù)渫瑯?gòu).

圖1 拓?fù)渫瑯?gòu)Φ

圖2 G/G0與H/H0拓?fù)渫瑯?gòu)

證明置N=kerφ.由于φ是從G到H的滿同態(tài)，所以φ(G)=H.從而根據(jù)引理2.7知Φ是同構(gòu).

設(shè)映射π∶G→G/N是商同態(tài)，則根據(jù)Φ的定義知，φ=Φ°π.因?yàn)棣?1(W)=π(φ-1(W))，映射φ連續(xù)且映射π是開(kāi)映射，所以對(duì)H中的開(kāi)集W，有Φ-1(W)是開(kāi)的.故Φ是連續(xù)的.設(shè)U是G/N中的開(kāi)集，則有Φ(U)=φ(π-1(U))是H中的開(kāi)集.從而同態(tài)Φ是開(kāi)映射.于是，Φ是開(kāi)連續(xù)同構(gòu)，因此是拓?fù)渫瑯?gòu).

引理2.9[2]設(shè)φ∶G→H是旋轉(zhuǎn)群同態(tài).如果K是G的旋轉(zhuǎn)子群，則φ(K)是H的旋轉(zhuǎn)子群.如果K是G的L-旋轉(zhuǎn)子群且φ是滿射，則φ(K)是H的L-旋轉(zhuǎn)子群.

命題2.10 設(shè)G,H是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，φ是從G到H的拓?fù)渫瑯?gòu).如果G0是G的閉正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群且H0=φ(G0)，則商旋轉(zhuǎn)群G/G0和H/H0是拓?fù)渫瑯?gòu).對(duì)應(yīng)的同構(gòu)Φ∶G/G0→H/H0定義為對(duì)任意a∈G,Φ(a⊕G0)=b⊕H0，其中b=φ(a).

證明設(shè)映射πG0∶G→G/G0是商同態(tài).由引理2.9知H0是G的L-旋轉(zhuǎn)子群，且H0是旋轉(zhuǎn)群同態(tài)πG0°φ-1的核，從而H0是H的正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群.顯然Φ是G/G0到H/H0的滿同態(tài).如果Φ(a⊕G0)=Φ(b⊕G0)，那么φ(a)⊕H0=φ(b)⊕H0.從而?φ(a)⊕φ(b)=φ(?a⊕b)∈H0.于是?a⊕b∈G0，即a⊕G0=b⊕G0.設(shè)πH0∶H→H/H0是商同態(tài).注意到πH0°φ=Φ°πG0，且映射φ,πG0和πH0是連續(xù)的開(kāi)同態(tài)，所以Φ也是連續(xù)的開(kāi)映射.因此，Φ是拓?fù)渫瑯?gòu).

引理2.11[2]設(shè)φ∶G→H是旋轉(zhuǎn)群同態(tài).如果K是H的旋轉(zhuǎn)子群，則φ-1(K)是G的旋轉(zhuǎn)子群.如果K是H的L-旋轉(zhuǎn)子群，則φ-1(K)是G的L-旋轉(zhuǎn)子群.

命題2.12[2]設(shè)φ∶G→H是旋轉(zhuǎn)群同態(tài)，則對(duì)任意a∈G，下列條件等價(jià)：

(1)a～kerφb.

(2)?a⊕b∈kerφ.

(3)φ(a)=φ(b).

(4)a⊕kerφ=b⊕kerφ.

定理2.13 設(shè)G,H是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，滿射φ∶G→H是連續(xù)的開(kāi)同態(tài).如果H0是H的閉正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群，G0=φ-1(H0)，則G0/kerφ是G/kerφ的正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群且拓?fù)湫D(zhuǎn)群G/G0,H/H0和(G/kerφ)/(G0/kerφ)是拓?fù)渫瑯?gòu).

圖3 G0/kerφ,G/kerφ間的關(guān)系和G/G0,H/H0,(G/kerφ)/(G0/kerφ)間的關(guān)系分析

證明由假設(shè)H0是H的閉正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群，可設(shè)πH0∶H→H/H0是商同態(tài).由于G0=φ-1(H0)，所以ker(πH0°φ)=(πH0°φ)-1(0H⊕H0)=

φ-1(πH0-1(0H⊕H0))=φ-1(H0)=G0，從而G0是G的正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群.所以存在商同態(tài)πG0∶G→G/G0.下證G0/kerφ是G/kerφ的旋轉(zhuǎn)子群.

顯然G0/kerφ?G/kerφ.從而顯然對(duì)任意a,b∈G0，有?(a⊕kerφ)=?a⊕kerφ∈G0/kerφ且(a⊕kerφ)⊕(b⊕kerφ)=(a⊕b)⊕kerφ∈G0⊕kerφ.故由定義1.3知G0/kerφ是G/kerφ的旋轉(zhuǎn)子群.

映射Φ∶G/kerφ→H/H0定義為Φ(a⊕kerφ)=φ(a)⊕H0，其中a∈G.由命題2.12知Φ存在且根據(jù)φ是同態(tài)及商旋轉(zhuǎn)群G/kerφ和H/H0中二元運(yùn)算的定義可得Φ是旋轉(zhuǎn)群同態(tài).從而由G0/kerφ=kerΦ知G0/kerφ是G/kerφ的正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群.

因?yàn)棣泻挺斩际沁B續(xù)的開(kāi)映射，所以πH0°φ是G到H/H0的連續(xù)開(kāi)同態(tài)且G0=ker(π°φ).因此，商旋轉(zhuǎn)群G/G0拓?fù)渫瑯?gòu)于H/H0.注意到對(duì)任意a∈G，ψ(a⊕kerφ)=φ(a)定義的映射ψ∶G/kerφ→H是一個(gè)拓?fù)渫瑯?gòu).所以顯然ψ(G0/kerφ)=H0.從而根據(jù)命題2.10有(G/kerφ)/(G0/kerφ)拓?fù)渫瑯?gòu)于H/H0.

定理2.14 設(shè)G是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，H是G的閉正規(guī)旋轉(zhuǎn)子群，M是G的任意旋轉(zhuǎn)子群，則商拓?fù)湫D(zhuǎn)群(M⊕H)/H拓?fù)渫瑯?gòu)于拓?fù)湫D(zhuǎn)群G/H的旋轉(zhuǎn)子群π(M)，其中映射π∶G→G/H是自然商同態(tài).

證明顯然，(M⊕H)=π-1(π(M)).因?yàn)镸是G的旋轉(zhuǎn)子群且π是G到G/H的滿同態(tài)，所以由引理2.9及引理2.11知π(M),M⊕H分別是旋轉(zhuǎn)群G/H,G的旋轉(zhuǎn)子群.設(shè)?是π在M⊕H上的限制映射，即?=π|M⊕H:M⊕H→π(M).由于?-1(?(0G))=π-1(π(0G))=H，故有ker?=H.從而根據(jù)定理 2.8知拓?fù)湫D(zhuǎn)群(M⊕H)/H和π(M)拓?fù)渫瑯?gòu).

引理2.15[9]設(shè)(G,⊕)是旋轉(zhuǎn)群且X是任意集合，f∶X→G是雙射,則對(duì)任意a,b∈X，賦予二元運(yùn)算a⊕Xb=f-1(f(a)⊕f(b))的X是旋轉(zhuǎn)群.

定理2.16 設(shè)(G,τ,⊕)是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，且設(shè)X是任意集合，f∶X→G是雙射，則對(duì)任意a,b∈X以及U∈τ，賦予二元運(yùn)算a⊕Xb=f-1(f(a)⊕f(b))以及誘導(dǎo)拓?fù)洇?={f-1(U)∶U∈τ}的X是拓?fù)湫D(zhuǎn)群.

證明根據(jù)引理2.15可得X是旋轉(zhuǎn)群.事實(shí)上，對(duì)任意a,b∈X以及a⊕Xb在空間X中的任意開(kāi)鄰域f-1(W)有f(a)⊕f(b)=f(a⊕Xb)∈W，其中W∈τ.因?yàn)?G,τ,⊕)是拓?fù)湫D(zhuǎn)群，所以存在U∈τ,V∈τ使得f(a)∈U,f(b)∈V且U⊕V?W.于是，a∈f-1(U),b∈f-1(V)且a⊕Xb=f-1(f(a)⊕f(b))∈f-1(U⊕V)?f-1(W).故⊕X∶(X,τ',⊕X)×(X,τ',⊕X)→(X,τ',⊕X)在點(diǎn)(a,b)∈X×X連續(xù).

引理2.17[2]設(shè)(G,⊕)是旋轉(zhuǎn)群，且X?G，則下列條件等價(jià)：

(1)對(duì)任意a,b∈G，gyr[a,b](X)?X.

(2)對(duì)任意a,b∈G，gyr[a,b](X)=X.

定理2.18 設(shè)(G,τ,⊕)是在單位元0G處具有對(duì)稱鄰域基U的強(qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群，且設(shè)f∶X→G是雙射，則對(duì)任意a,b∈X以及U∈τ，賦予二元運(yùn)算a⊕Xb=f-1(f(a)⊕f(b))以及誘導(dǎo)拓?fù)洇?={f-1(U):U∈τ}的X是強(qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群.

證明只需驗(yàn)證集族f-1(U)={f-1(U)∶U∈U}滿足對(duì)任意a,b∈X以及每個(gè)U∈U，有g(shù)yr[a,b](f-1(U))=f-1(U).由于a⊕Xb=f-1(f(a)⊕f(b))，所以f(a⊕Xb)=f(a)⊕f(b).從而由引理2.15知f是旋轉(zhuǎn)群同態(tài).由題設(shè)(G,τ,⊕)是在單位元0G處具有對(duì)稱鄰域基U的強(qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群知，對(duì)每個(gè)c∈f-1(U)，根據(jù)引理1.8有f(gyr[a,b](c))=gyr[f(a),f(b)](f(c))∈U.從而對(duì)每個(gè)c∈f-1(U)，gyr[a,b](c)∈f-1(U)，說(shuō)明gyr[a,b](f-1(U))?f-1(U).由引理2.17知(X,τ',⊕X)是強(qiáng)拓?fù)湫D(zhuǎn)群.