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    基于Nitsche方法與擬牛頓求解的二維接觸問(wèn)題等幾何分析

    2021-11-02 12:12:42胡清元沈莞薔蔣芳芳
    關(guān)鍵詞:列式算例邊界條件

    胡清元, 沈莞薔, 蔣芳芳

    (江南大學(xué) 理學(xué)院,無(wú)錫 214122)

    1 引 言

    接觸問(wèn)題是工業(yè)工程中常見(jiàn)的一類(lèi)力學(xué)問(wèn)題[1]。在接觸問(wèn)題分析方法中,解析方法精度高但適用范圍受限。有限元方法適用范圍廣,但采用的近似網(wǎng)格為接觸邊界帶來(lái)嚴(yán)重離散誤差,迭代產(chǎn)生的單元畸變可能導(dǎo)致迭代難以收斂。等幾何分析[2]方法采用非均勻有理B樣條(NURBS)為基函數(shù)建模,可精確地描述結(jié)構(gòu)邊界,適合分析接觸問(wèn)題。

    然而,當(dāng)前等幾何接觸分析常見(jiàn)方法存在一定不足。等幾何罰函數(shù)法[3]采用類(lèi)似彈簧剛度的罰系數(shù)支撐接觸面,但問(wèn)題求解受系數(shù)取值影響很大。等幾何分析中廣泛采用的Mortar方法[4]通過(guò)增加虛擬公共邊界施加接觸條件,該方法將接觸面虛擬自由度增加到系統(tǒng)總自由度中,因此總自由度數(shù)隨著接觸面演化而不斷變化。此外,等幾何配點(diǎn)法[5]也用于接觸問(wèn)題分析。半解析方法[6]將基本解與快速數(shù)值求解相結(jié)合,具有速度快和計(jì)算精度高的特點(diǎn),在等幾何分析中的應(yīng)用有待進(jìn)一步發(fā)展。

    近年來(lái),基于Nitsche方法的等幾何分析受到持續(xù)關(guān)注。Nitsche方法最早用于有限元位移邊界條件的施加[7],之后應(yīng)用到域分解問(wèn)題[8]和接觸問(wèn)題[9],以及后續(xù)的摩擦大變形接觸問(wèn)題[10]。Apostolatos等[11]綜合對(duì)比了多種域分解方法的數(shù)值性能,結(jié)果表明Nitsche方法的綜合表現(xiàn)最為穩(wěn)定。Hu等[12]首次采用Nitsche方法還原接觸邊界條件,該列式的優(yōu)勢(shì)是不增加系統(tǒng)自由度,且有完備的數(shù)學(xué)理論支撐[9]。然而,標(biāo)準(zhǔn)的Nitsche列式需指定罰系數(shù),該系數(shù)通常通過(guò)求解界面上的廣義特征值問(wèn)題得到。但對(duì)于接觸問(wèn)題,接觸面隨著迭代不斷變化,若需在每個(gè)迭代步前都求解廣義特征值問(wèn)題,將大幅度增加計(jì)算量。

    在方程求解方面,由于接觸問(wèn)題的強(qiáng)非線(xiàn)性,一般采用的Newton-Raphson方法需要對(duì)列式進(jìn)行線(xiàn)性化處理,推導(dǎo)切線(xiàn)剛度陣,并在每一步迭代中對(duì)大規(guī)模矩陣求逆。這不僅需要繁雜的推導(dǎo),也加重了迭代計(jì)算量。實(shí)際上,擬牛頓方法也可用于非線(xiàn)性問(wèn)題的求解,其核心在于采用了近似的切線(xiàn)剛度陣,并可采取BFGS逆更新格式以避免矩陣求逆。Matthies等[13]結(jié)合擬牛頓格式與步長(zhǎng)搜索,計(jì)算了材料和幾何非線(xiàn)性問(wèn)題。Laursen等[14]進(jìn)一步采用擬牛頓方法求解接觸問(wèn)題,為了保證收斂,當(dāng)?shù)环€(wěn)定時(shí)需計(jì)算切線(xiàn)剛度陣。Gabriel等[15]將第一次迭代求得的解作為第二次迭代的初始近似解。然而,Nitsche方法直接將所有可能產(chǎn)生接觸的界面納入其接觸列式,接觸面的更新會(huì)直接反映在Nitsche接觸列式當(dāng)中。因此,如何在接觸面劇烈演化和擬牛頓迭代不穩(wěn)定時(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單有效地修正,是有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

    2 等幾何接觸問(wèn)題

    2.1 等幾何分析簡(jiǎn)述

    等幾何分析本質(zhì)上是采用NURBS為形函數(shù)的等參有限元方法,采用如下方式建模幾何場(chǎng),

    (1)

    (2)

    式中uA為控制點(diǎn)位移自由度。

    由虛位移原理,得有限元弱形式

    a(u,v)=l(v)

    (3)

    式中a(u,v)為雙線(xiàn)性項(xiàng),l(v)為線(xiàn)性項(xiàng)。為了便于推導(dǎo),式(3)忽略了位移邊界條件。

    2.2 接觸問(wèn)題與接觸條件

    不失一般性,考慮兩彈性體Ω1與Ω2發(fā)生接觸,定義接觸面分別為Γ1和Γ2。假定Γ1上點(diǎn)x1與Γ2上點(diǎn)x2發(fā)生接觸,定義接觸面外法向單位矢量為

    (4)

    定義接觸間隙函數(shù)

    g(u)=(x2-x1)·n1-[[u]]n

    (5)

    式中(x2-x1)·n1表示當(dāng)前接觸間隙,在小變形問(wèn)題中認(rèn)為其保持不變,[[u]]n=(u1-u2)·n1表示兩點(diǎn)間的相對(duì)位移。

    將接觸面記作Γ,接觸條件可寫(xiě)為

    (6)

    式中σn為其在n1方向上的分量。接觸條件1表示接觸面不能相互穿透,接觸條件2表示接觸力方向?yàn)閷⒔佑|面向外推,接觸條件3為互補(bǔ)條件。由于考慮的是無(wú)摩擦接觸,故令切向應(yīng)力σt=0。

    3 基于Nitsche方法的接觸列式

    3.1 Nitsche方法簡(jiǎn)述

    Nitsche方法的核心思想是將邊界條件以功的形式引入有限元弱形式,其列式為

    a(u,v)-Nitsche =l(v)

    (7)

    式中Nitsche部分通??杀硎緸檫吔绶e分的形式

    (8)

    式中f(σ)和f(v)分別為關(guān)于面力和位移的函數(shù),具體取法取決于施加的邊界條件類(lèi)型。

    3.2 Nitsche接觸列式

    從Nitsche統(tǒng)一列式[12]出發(fā),接觸列式可寫(xiě)為

    (9)

    式中Γ為所有可能產(chǎn)生接觸的界面,[b]R-為標(biāo)量b在R-上的投影

    (10)

    此外,γ為罰系數(shù),在文獻(xiàn)[16,17]的基礎(chǔ)上,本文采用經(jīng)驗(yàn)公式(11),

    (11)

    式中E為楊氏模量,p為形函數(shù)階次,d為問(wèn)題維度,h1和h2表示接觸面兩側(cè)的網(wǎng)格尺寸。

    在可能的接觸面Γ上,Nitsche列式通過(guò)投影算子判斷積分點(diǎn)上的函數(shù)值來(lái)還原接觸條件[9]。

    (1) 當(dāng)接觸未發(fā)生即g>0時(shí),接觸條件3要求σn=0,此時(shí)[σn+γg]R-=0。

    (2) 當(dāng)接觸發(fā)生即g=0時(shí),接觸條件2要求σn≤0,此時(shí)[σn+γg]R-=σn。

    (3) 當(dāng)g<0時(shí),違背接觸條件1,通過(guò)大數(shù)γ將接觸反力放大,從而將接觸面彈回。

    Nitsche接觸列式的物理意義是利用接觸力在虛位移v上做的虛功修正有限元弱形式。其中,接觸力主要為接觸面Γ上面力σn,以及當(dāng)接觸面發(fā)生穿透時(shí)接觸間隙g通過(guò)罰系數(shù)γ所得接觸反力。

    4 擬牛頓迭代求解格式

    4.1 擬牛頓方法與BFGS逆更新公式

    接觸問(wèn)題為強(qiáng)非線(xiàn)性問(wèn)題,接觸問(wèn)題非線(xiàn)性列式的Newton-Raphson迭代求解格式為

    KT(ui)·Δui + 1=R(ui)

    (12)

    式中KT為切線(xiàn)剛度陣,通常需要通過(guò)對(duì)列式進(jìn)行線(xiàn)性化處理得到;余量計(jì)算方式為

    R(ui)=l(v)-a(ui,v)+

    (13)

    Newton-Raphson迭代格式需要進(jìn)行線(xiàn)性化推導(dǎo),更重要的是,每次迭代都需要求解切線(xiàn)剛度陣的逆

    (14)

    這嚴(yán)重增加了計(jì)算量和分析時(shí)間。

    (15)

    并通過(guò)BFGS公式直接更新矩陣的逆,

    (16)

    4.2 迭代初始化與接觸修正

    (17)

    (18)

    其中

    (19)

    具體修正策略為,在一定迭代次數(shù)(本文設(shè)置為8次)后,當(dāng)本次余量范數(shù)大于前一次時(shí),認(rèn)為接觸面演化較為劇烈,BFGS的自修正特性不足以及時(shí)反映接觸面變化,此時(shí)需將BFGS的迭代內(nèi)核替換為式(18)所得割線(xiàn)剛度陣,從而保證加速收斂。

    5 算 例

    5.1 Taylor接觸

    Taylor接觸算例[18]是接觸問(wèn)題的分片實(shí)驗(yàn),該算例重點(diǎn)關(guān)注非協(xié)調(diào)網(wǎng)格能否均勻地傳遞接觸壓力,用于檢驗(yàn)接觸列式的正確性。如圖1所示,兩物體楊氏模量E=109Pa,泊松比υ=0.3,上方物體受均布?jí)毫=108N/m2,兩模型網(wǎng)格劃分不同。算例解析解為

    圖1 Taylor接觸算例

    ux=0.03xm,uy=-0.1ym

    σx x=0 Pa,σy y=-100 Pa,σx y=0 Pa

    接觸迭代記錄列入表1,經(jīng)過(guò)6次擬牛頓迭代后系統(tǒng)收斂。采用本文列式計(jì)算所得位移uy結(jié)果如圖2所示,結(jié)果表明,列式可以得到正確的位移響應(yīng)。應(yīng)力σy y的相對(duì)誤差如圖3所示,最大誤差為0.13%。需要說(shuō)明的是,Nitsche方法采用積分的形式將邊界條件弱施加在系統(tǒng)中,對(duì)接觸問(wèn)題,接觸力通過(guò)高斯積分點(diǎn)傳遞,因此無(wú)法嚴(yán)格地通過(guò)Taylor接觸實(shí)驗(yàn)。但隨著網(wǎng)格加密,誤差減小,本文列式可以弱通過(guò)Taylor接觸實(shí)驗(yàn)。

    圖2 位移云圖

    圖3 應(yīng)力相對(duì)誤差

    表1 Taylor接觸迭代記錄

    5.2 Hertz接觸

    Hertz接觸算例是接觸問(wèn)題中的經(jīng)典點(diǎn)接觸算例,原問(wèn)題要求兩個(gè)楊氏模量不同和半徑不同的三維圓柱體接觸。本算例將原問(wèn)題退化,考慮一個(gè)二維彈性圓面和剛性平臺(tái)(即彈性模量和半徑均為無(wú)窮大)的接觸問(wèn)題。如圖4所示,上方圓面彈性模量E=0.02×109Pa,泊松比ν=0.1,半徑r=0.2 m,承受體力gz=-1.3×106N/m3。本算例理論解為[19],接觸力壓力為2.2918×106Pa,半接觸面寬度為0.0454 m。

    圖4 Hertz接觸算例

    采用8×8網(wǎng)格計(jì)算該算例,接觸迭代記錄列入表2,其中在第13次迭代時(shí)采用了割線(xiàn)剛度陣修正,修正后的余量范數(shù)大幅度降低,加速了收斂過(guò)程。計(jì)算所得豎向位移uy云圖如圖5所示,結(jié)果表明下方剛體可以有效地支撐上方彈性體,二者之間產(chǎn)生一段平直的接觸面。在不同網(wǎng)格劃分下計(jì)算所得接觸面寬度與接觸應(yīng)力如圖6所示,其中黑色實(shí)線(xiàn)為理論解,結(jié)果表明隨著網(wǎng)格加密,本文列式可以得到較為精確的解答。

    圖5 位移云圖

    圖6 不同網(wǎng)格下接觸面寬度與接觸應(yīng)力

    表2 Hertz接觸迭代記錄

    仍采用8×8網(wǎng)格,使用單線(xiàn)程計(jì)算對(duì)比。等幾何方法計(jì)算總耗時(shí)323 s,接觸應(yīng)力最大誤差 9.91%;使用同樣的網(wǎng)格劃分,有限元計(jì)算總耗時(shí)213 s,接觸應(yīng)力最大誤差28.7%。傳統(tǒng)有限元基函數(shù)構(gòu)造簡(jiǎn)單,而等幾何分析中的基函數(shù)需遞推計(jì)算,因此等幾何分析耗時(shí)較長(zhǎng)。但值得指出的是,有限元前處理時(shí)劃分網(wǎng)格的時(shí)間并沒(méi)有統(tǒng)計(jì)在內(nèi),而等幾何分析直接采用幾何模型計(jì)算。并且,在本算例中等幾何方法僅用較為粗糙的網(wǎng)格即可精確描述接觸邊界,迭代過(guò)程穩(wěn)定,最終得到較精確的結(jié)果,而這在傳統(tǒng)有限元中是難以做到的。

    本算例的接觸表面是光滑的,對(duì)粗糙表面的接觸問(wèn)題,其接觸表面為折線(xiàn)狀。因?yàn)闊o(wú)法體現(xiàn)等幾何方法描述曲線(xiàn)邊界時(shí)的精度優(yōu)勢(shì),此時(shí)的等幾何方法作為一種高階有限元方法,其計(jì)算精度應(yīng)略?xún)?yōu)于傳統(tǒng)有限元。

    6 結(jié) 論

    本文在等幾何分析框架內(nèi),基于Nitsche方法推導(dǎo)了二維小變形無(wú)摩擦接觸問(wèn)題列式。非線(xiàn)性列式采用擬牛頓迭代格式求解,由BFGS公式直接更新近似切線(xiàn)剛度陣的逆。本文給出了一個(gè)Nitsche列式中罰系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式,提出了基于Nitsche界面耦合列式的擬牛頓迭代初始化方法,并采用割線(xiàn)剛度陣解決由接觸面變化導(dǎo)致的BFGS更新能力不足問(wèn)題。

    所提出的接觸分析方法具有較強(qiáng)的適用性,在粗糙網(wǎng)格下依然可以精確描述接觸邊界,列式推導(dǎo)簡(jiǎn)單,計(jì)算量小。算例表明,基于Nitsche方法的接觸列式以積分形式近似地施加接觸條件,基于擬牛頓方法和割線(xiàn)剛度陣修正的迭代過(guò)程能夠較好收斂,最終可以得到較精確的接觸面寬度和接觸面壓力解答。

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