剪切和扭轉(zhuǎn)工況下微納米薄壁蜂窩的等效剪切模量計算

賀 丹， 劉海洋

(1.沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136；2.西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

1 引 言

微尺寸蜂窩[1]在微機電系統(tǒng)(MEMS)中具有顯著的應用優(yōu)勢，可用于制備微型電極[2]、微型能量存儲和轉(zhuǎn)換設備[3]、微傳感器[4]和超級電容[5]等。為保證構件滿足強度、剛度、耐久性和可靠性等指標，對蜂窩的力學性能進行預測十分必要。

Gibson等[6]基于梁理論，給出了一種蜂窩芯層面內(nèi)和面外等效模量簡便的計算方法，但在推導過程中并未考慮壁板伸縮變形對面內(nèi)剛度的影響，導致了蜂窩芯層材料彈性剛度矩陣奇異[7]。富明慧等[7,8]將此影響加以考慮，對Gibson的結論作出修正，克服了剛度矩陣奇異的缺陷。Becker[9,10]考慮了面板對芯層的約束效應，并將蜂窩胞壁等效為薄板，以各胞壁應變場為未知量，通過能量法求解了不同芯層高度蜂窩的等效模量，發(fā)現(xiàn)面板的存在會使得蜂窩芯層的等效模量隨芯層高度變化而改變，芯層等效模量與高度之間具有非線性函數(shù)關系，此現(xiàn)象稱為高度效應。Li等[11,12]則認為等效模量不僅和尺寸有關，還和受力狀態(tài)有關，采用三角級數(shù)來模擬蜂窩胞壁位移場，研究了蜂窩等效模量的計算方法，并討論了等效模量與芯層高度之間的關系。

當蜂窩的壁厚處于微納米量級時，材料的尺度效應[13-16]可能會對蜂窩的力學性能產(chǎn)生影響。尺度效應是指當材料的尺寸進入微納米尺度時，其強度和剛度隨材料尺寸變化而變化的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象難以通過經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學理論進行解釋，因此研究者提出了諸如應變梯度[13]和偶應力[16-20]等理論，在這些理論的本構方程中，存在若干個和材料尺寸相關的尺度參數(shù)，從而具備了描述尺度效應的能力。Yang等[21]提出了一種修正偶應力理論，其中僅包含一個材料尺寸參數(shù)，十分便于工程應用?；谶@種理論，已有大量關于微納米板和梁結構的研究工作見諸報道[22-25]。Zhu等[26-28]基于修正偶應力理論，研究了不考慮面板約束的微尺寸六邊形、三角形和正方形蜂窩芯層面內(nèi)外五個獨立彈性參數(shù)的計算方法。張春浩等[29]基于該理論建立了芯層Y模型，并給出了考慮尺度效應的蜂窩面內(nèi)等效模量計算方法，討論了蜂窩壁厚對其等效模量的影響，得出微尺寸蜂窩芯層等效模量將隨壁厚尺寸減小而增大的結論。

綜上所述，文獻[6，8]未考慮高度效應、受力形式和尺度效應；Becker[9,10]未考慮受力形式和尺度效應；Li等[11,12]未考慮尺度效應；而文獻[26-29]則僅考慮了尺度效應。因此，本文綜合考慮蜂窩受力形式、尺度效應以及面板約束引起的高度效應，分別給出了剪切和扭轉(zhuǎn)工況下的六邊形微尺寸蜂窩等效剪切模量的計算過程，并討論了蜂窩芯層高度和胞壁厚度對等效剪切模量的影響。

2 蜂窩胞壁的應變能

依據(jù)Yang等[21]提出的修正偶應力理論，三維彈性體的應變能定義為

(1)

(2)

位移矢量ui與轉(zhuǎn)角矢量θi之間的關系為

(3)

(4)

式中l(wèi)m為材料尺寸參數(shù)，λ和μ為Lame常數(shù)，其與彈性模量E，泊松比v之間的關系為

λ=Ev/[(1+v)(1-2v)] ，μ=E/[2(1+v)]

(5)

在推導微尺寸蜂窩等效模量的過程中，可將蜂窩各胞壁簡化為微尺寸薄板，其位移場可取為[30]

u1=us(x,y)-z[?w(x,y)/?x]

u2=vs(x,y)-z[?w(x,y)/?y]

u3=w(x,y)

(6)

設板厚為t，并將式(1)應變能U拆分為由應力和應變耦合得到的U1，以及偶應力和曲率耦合得到的U2，則U=U1+U2，綜合式(2～6)，得到U1和U2的表達式分別為

(7)

(8)

式中D為板的彎曲剛度，εs x和εs y為中性面的拉伸應變，即

εs x=us,x，εs y=vs,y

(9)

因此，當微尺寸板的位移場〈us,vs,w〉為已知時，板的應變能便可通過式(7，8)求得。

3 微納米薄壁蜂窩等效模型

考慮一個典型的六邊形蜂窩特征單元REV[11]，如圖1所示，其中斜胞壁長度為L，厚度為t；直胞壁長度為h，厚度為t′=2t，斜胞壁與水平線夾角為θ，各胞壁垂直紙面方向長度為b。考慮到結構對稱性，可只分析圖2所示1/8 REV以簡化問題。1/8 REV可視為由厚度均為t及z方向長度均為b/2的三塊薄板組成，其中板EFHG和ABDC的第三方向長度為h/2，板CDFE的第三方向長度為L。

圖1 蜂窩特征單元

圖2 1/8蜂窩特征單元

根據(jù)能量均勻化理論，圖1虛線所圍均勻體的總勢能應與蜂窩特征單元總勢能相等，即

(10)

(11)

(12)

4 不同工況下微納米薄壁蜂窩的等效剪切模量計算

4.1 剪切工況

假設在蜂窩面板施加面內(nèi)剪切初應變γX Y，如圖3所示，由于面板與蜂窩芯層為固接，且面板剛度遠大于芯層，因此芯層將隨面板發(fā)生剪切變形，斜胞壁將因端點水平位移不同而產(chǎn)生線應變εs,

圖3 蜂窩REV剪切變形

(13)

變形后的結構無法滿足平衡方程，因此應力將在芯層上重新分布，從而產(chǎn)生如圖4所示的附加位移場，直至達到平衡位置。應力的重分布將極大降低蜂窩剛度，使得等效剪切模量對高度敏感[11,12]。

圖4 剪切工況下1/8 REV各壁板附加位移

考慮到蜂窩芯層的邊界形式和變形特點，板EFGH的附加位移函數(shù)可取為[11]

(m=2i-1)(14)

式中a0，ai和bi為待定參數(shù)，N為三角級數(shù)展開項數(shù)，理論上N需取至無窮，但實際取前10項便可保證計算精度，故本文N取10。

對于板CDFE，附加位移函數(shù)可取為[11]

us=a0(2/b)x

(15)

除附加位移場產(chǎn)生的線應變以外，板CDFE沿局部坐標y2的線應變εy還應包括式(13)基礎應變εs,

εy=εs-?vs/?y

(16)

對于板ABDC，附加位移函數(shù)可選為[11]

(17)

(18)

(19)

由于應力重新分布過程中外力做功為0，故系統(tǒng)總勢能與總應變能相等，即

πint=U1+U2

(20)

根據(jù)最小勢能原理，真實位移使系統(tǒng)總勢能取極值，故系統(tǒng)總勢能對待定參數(shù)的偏導等于0，即

(21)

4.2 扭轉(zhuǎn)工況

假設在蜂窩面板施加矢量方向與面板平行的扭轉(zhuǎn)切應變βX，REV會產(chǎn)生切應變γX Y

(22)

式中βX ′ Y=βX/(h+lsin ?)。板CDFE因邊EF和邊CD水平位移不同而產(chǎn)生線應變，其中邊EC的線應變?yōu)?/p>

εs=(UE-UC)cosθ/L=-γX Ysinθcosθ

(23)

在局部坐標系x2-C-y2中，線應變沿x2方向線性分布[10]，且在邊EC取得最大值，因此有

εs(x)=-ακ(b/2-x)

(24)

式中κ=βX ′ Y為板的扭轉(zhuǎn)曲率，α=sinθcosθ。

圖5變形后的結構同樣無法滿足平衡方程，因此應力將重新分布，各胞壁將產(chǎn)生附加位移場，如圖6所示，對于板EFHG，根據(jù)邊界條件和位移形式選取的附加位移函數(shù)為[11]

圖5 1/8 REV扭轉(zhuǎn)變形

圖6 扭轉(zhuǎn)工況下1/8 REV各壁板附加位移

(25)

對于板CDFE，附加位移函數(shù)可取為[11]

(26)

考慮式(23)基礎應變εs(x)，板CDFE的y1方向應變應為基礎應變和附加位移產(chǎn)生的應變之和,

(27)

對于板ABDC，附加位移函數(shù)可取為[11]

(28)

將式(25～28)代入式(2)，并將得到的應變分量和曲率分量代入式(7，8)，得到每塊板的應變能，進而得到1/8 REV應力與應變耦合應變能U1以及偶應力與曲率耦合應變能U2，如式(29，30)所示。

(29)

(30)

5 算例分析

可以看出，剪切和扭轉(zhuǎn)工況的等效剪切模量具有相同的上界，隨著芯層高度b的增加，兩種工況下的蜂窩等效剪切模量均表現(xiàn)為逐漸減小后趨于不變，即體現(xiàn)出高度效應現(xiàn)象。這是由于面板與芯層存在較強的位移耦合[9]，當芯層高度較低時，耦合效應使芯層具有較大剛度，隨著芯層高度增大，耦合效應逐漸減弱，當芯層高度超出一定范圍時，面板對芯層的約束可以忽略不計，故等效剪切模量最終表現(xiàn)為不隨芯層高度變化的直線。而Zhu[26]在建立模型時未將這種位移耦合加以考慮，因此所得等效剪切模量結果是不隨芯層高度變化的直線，與Li經(jīng)典理論結果差異較大。t取值越小，等效剪切模量隨高度增加而衰減的速度越快，即蜂窩胞元尺寸較小時，其剛度對芯層高度的變化更為敏感。還可以看出，本文基于修正偶應力理論的計算結果總是大于Li基于經(jīng)典理論的結果，且隨著胞壁厚度的降低，二者間的差異愈發(fā)明顯，即捕捉到了所謂的尺度效應。觀察兩種工況下等效剪切模量隨芯層高度的衰減速度可發(fā)現(xiàn)，本文得到的等效剪切模量衰減速度小于Li的衰減速度。隨著蜂窩胞壁厚度增加，尺度效應逐漸不明顯，兩組解之間衰減速度的差異也逐漸消失。因此，對于宏觀尺度蜂窩而言，高度效應對等效模量的影響是非常顯著的；而當蜂窩壁厚進入微納米量級時，由于尺度效應的存在，芯層的剛度變強，從而降低了面板約束和高度效應對結構等效模量的影響。換言之，當尺度效應變得顯著時，等效模量對芯層高度的敏感性將有所下降。比較圖7和圖8的衰減趨勢，可以看出扭轉(zhuǎn)工況時的等效剪切模量衰減速度低于剪切工況時的衰減速度，這是由于兩種工況的不同應力分布方式導致的[11]。

圖7 剪切工況下蜂窩等效剪切模量

圖8 扭轉(zhuǎn)工況下蜂窩等效剪切模量

圖9 偶應力理論與經(jīng)典理論等效剪切模量比值(b =200 μm)

6 結 論

(1) 當芯層高度趨近于零時，剪切和扭轉(zhuǎn)工況的等效剪切模量具有相同的上界。隨著芯層高度b的增加，兩種工況下的蜂窩等效剪切模量均表現(xiàn)為逐漸減小后趨于不變，即體現(xiàn)出高度效應現(xiàn)象。在這個過程中，扭轉(zhuǎn)工況下的等效模量衰減速度低于剪切工況，最終兩種工況會收斂于-不同的下界。

(2) 當蜂窩胞壁的厚度進入微納米尺度時，本文給出的等效剪切模量總是大于經(jīng)典理論的解，即描述了尺度效應。胞壁厚度越小，尺度效應越明顯；而當厚度t遠大于尺度參數(shù)時，尺度效應消失，此時本方法預測的模量與經(jīng)典理論一致。

(3) 對于經(jīng)典理論而言，蜂窩胞元尺寸越小，等效剪切模量隨高度增加而衰減至最小值的速度越快。而基于修正偶應力理論所得等效剪切模量的衰減速度明顯低于經(jīng)典理論，即當尺度效應變得顯著時，等效模量對芯層高度的敏感性將有所下降，這種現(xiàn)象會隨胞壁厚度增大而逐漸消失。