基于低維流形模型的圖拉普拉斯正則化的點(diǎn)云去噪算法

梁 宏

(江西理工大學(xué) 土木與測繪工程學(xué)院, 江西 贛州 341000)

三維激光掃描技術(shù)是獲取物體空間點(diǎn)云數(shù)據(jù)信息的重要手段之一,并在多個領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[1-3]。但是受儀器測量誤差、物體反射、遮擋、光照以及環(huán)境變化等因素的影響,掃描獲取的初始點(diǎn)云數(shù)據(jù)模型中往往含有大量的噪聲點(diǎn)，這些噪聲點(diǎn)的數(shù)量越多，密度越大，對點(diǎn)云的影響也越大，因此需要采取合適的去噪算法將其去除。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對點(diǎn)云去噪算法進(jìn)行了較為深入的研究。Rosman等提出了一種通過斑塊協(xié)同頻譜分析對點(diǎn)云去噪的新方法[4]，該方法可以處理高水平的噪聲，同時保留清晰的表面特征；Mattei等提出了移動魯棒主成分分析算法[5]，該方法通過加權(quán)最小化保留銳利特征；Sun等提出了L0范數(shù)最小化的各向異性化點(diǎn)云去噪方法[6]，該方法可以在大量噪聲時恢復(fù)清晰的特征；Polat等提出一種LiDAR數(shù)據(jù)去噪算法[7]，該算法性能可以根據(jù)地區(qū)地形特征的變化而變化,可以有效濾除非地面點(diǎn),是一種有效的點(diǎn)云去噪算法。Ma提出一種基于曲面擬合的去噪算法[8]，具有較好的去噪效果和較低的時間復(fù)雜度；Wang 等提出一種基于 Laplace 分布的去噪算法[9]，可以有效保留原始數(shù)據(jù)中有用細(xì)節(jié)信息；Cruz 等提出一種基于非局域增強(qiáng)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的去噪算法[10]，通過結(jié)合卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非局部濾波器實(shí)現(xiàn)了圖像的有效去噪；Centin 等提出一種幾何保真的 Signoroni 網(wǎng)格去噪算法[11]，對目標(biāo)應(yīng)用領(lǐng)域具有挑戰(zhàn)性的情況去噪效果良好；Zheng 等提出一種基于銳利特征骨架的點(diǎn)云去噪算法[12]，可以有效保持尖銳區(qū)域內(nèi)的幾何特征；郭進(jìn)等[13]提出了一種基于噪聲分類算法，可以去除小片噪聲；戴士杰等[14]提出了一種各向異性去噪算法，解決了去噪時模型失真問題；蘇本躍等[15]基于K-means聚類對點(diǎn)云進(jìn)行去噪；馮東恒等[16]提出用共面法向量特征去除離群面的RANSAC 算法；許龍等[17]提出了基于模糊C均值和均值濾波的點(diǎn)云去噪算法；林洪彬等[18]提出基于參數(shù)自適應(yīng)各向異性高斯核的散亂點(diǎn)云保特征去噪算法。

為了有效保留點(diǎn)云顯著的特征結(jié)構(gòu)信息，進(jìn)一步提高點(diǎn)云去噪的精度，本文提出了一種基于低維流形模型的圖拉普拉斯正則化的點(diǎn)云去噪算法， 通過采用低維流形模型，利用表面斑塊的自相似特性，同時對相似的斑塊進(jìn)行去噪，以便更好地保留清晰特征；對流形的大小的計(jì)算是通過離散圖拉普拉斯正則化器來進(jìn)行近似的，這大大降低了計(jì)算復(fù)雜度；針對離散的斑塊，設(shè)計(jì)了一種有效的相似性度量，用于噪聲的圖形構(gòu)造。另外本文的圖拉普拉斯正則化器具有較好的穩(wěn)定性。

1 基于低維流形的圖拉普拉斯正則化去噪算法

P=U+E

(1)

式中：U,E∈RN×3；U為點(diǎn)云的真實(shí)位置；E為噪聲(在本文實(shí)驗(yàn)中假設(shè)為高斯噪聲)。為了消除噪聲，構(gòu)建圖拉普拉斯低維流形來表示物體在空間域上的幾何結(jié)構(gòu)，并提出基于流形的圖拉普拉斯正則化下的點(diǎn)云去噪模型。

1.1 低維流形表示

wmn=(ρmρn)-1/γφ(dmn)

(2)

式中，φ(dmn)為高斯核函數(shù)，即

(3)

式中，dmn為斑塊pm和pn之間的歐氏距離，即

(4)

1.2 圖拉普拉斯正則化

αi(p)=pi, ?p=[p1,…,p3k]T∈M

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，流形λ在p點(diǎn)維度計(jì)算公式為

(6)

式中,?αi(p)表示函數(shù)αi在流行M上p點(diǎn)的梯度，所以得出

(7)

(8)

(9)

(10)

這樣得到了一個逐點(diǎn)收斂的正則化函數(shù)，相比較于對整個流形收斂來說，這樣更容易收斂。

(11)

(12)

從式(12)可以看出拉普拉斯正則化可以不需要αi函數(shù)，因此繞過了對斑塊進(jìn)行排序的問題。根據(jù)式(2)可知wmn也是距離dmn的函數(shù)，所以最后問題簡化成了求解斑塊之間的距離。

1.3 計(jì)算距離

為了計(jì)算第m和第n個斑塊的距離，在理想情況下可以把兩個斑塊內(nèi)差到兩個連續(xù)的曲面上，那么斑塊的距離就是曲面函數(shù)局部區(qū)域上的積分。為了方便計(jì)算，定義一個參考平面，該平面與斑塊的中心相切并且與該點(diǎn)法線垂直。由于不同斑塊的法線方向不一樣，為了精確計(jì)算，在兩個斑塊上各自計(jì)算一次距離，它們的平均值即為所求。

圖1 連續(xù)表面距離的測量

(13)

(14)

得到距離為

(15)

(16)

圖2 離散斑塊的距離測量

(17)

(18)

但有時，在該點(diǎn)附近找不到最近鄰點(diǎn)，這時為了找到與投影點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)，采用平面插值方法。對于點(diǎn)v，在另一個斑塊上找其對應(yīng)的插值，找到3個投影距離最近的點(diǎn)形成一個平面，并找出點(diǎn)v沿法線方向在平面上的投影v′，此時計(jì)算距離就變得比較容易了。使用投影來找對應(yīng)關(guān)系而不是通過點(diǎn)位置，是因?yàn)橥队皩υ肼暰哂辛己玫聂敯粜浴＠缭趫D3中，兩個斑塊的表面都是平面，通過投影計(jì)算的是垂直的直線距離，如果直接根據(jù)點(diǎn)位置計(jì)算距離就是水平的連線距離，這樣計(jì)算會導(dǎo)致去燥效果不佳。

圖3 平面插值法

基于上面的斑塊測量方法，在不涉及插值時，第m和第n個斑塊連接取決于它們在參考平面上的投影，通過求出最小距離的方式找出了兩個斑塊的最近鄰點(diǎn)，但在邊上是加權(quán)無向的。

涉及插值后，v和a的權(quán)重wva定義為

(19)

式中：v為斑塊m上的點(diǎn)；點(diǎn)a、b、c為斑塊n上的點(diǎn)；dva為點(diǎn)v到a的距離；同理dvb、dvc也是v到點(diǎn)b、c的距離。

為了簡化實(shí)現(xiàn)過程，設(shè)置一個以k為最近鄰的窗口，計(jì)算出k最近鄰斑塊之間的距離，而不是直接計(jì)算點(diǎn)云中所有斑塊的距離。計(jì)算完成之后，構(gòu)造出了一個點(diǎn)域圖，給出了圖拉普拉斯算子Lp∈RkM×kM，kM為所有斑塊的總點(diǎn)數(shù)。因此優(yōu)化可以寫為

(20)

(21)

由于拉普拉斯算子依賴于斑塊坐標(biāo)，采用交替優(yōu)化的方法，在每次迭代中，修復(fù)Lp并求解U，然后在給定U的情況下更新Lp，然后重復(fù)進(jìn)行直到收斂。在每一次迭代中，都可以根據(jù)之前的方法更新Lp，為了固定Lp優(yōu)化U，每個點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z)由下式給出：

(STLpS+μIq)Uq=μVq+STLpCq

(22)

式中：q∈{x,y,z}為坐標(biāo)索引；Iq為與Lp大小相同的單位矩陣。迭代化求解，直到結(jié)果收斂。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文點(diǎn)云去噪算法的有效性，對Anchor、Gargoyle、Lordquas、Dc、Daratech等模型進(jìn)行測試。采用MATLAB程序編寫算法，在meshlab程序上的poisson重建算法對模型進(jìn)行三維重建，驗(yàn)證了本文算法有助于對邊緣特征的保留，不會導(dǎo)致過度平滑。為了加快實(shí)現(xiàn)速度，將50%的點(diǎn)當(dāng)作斑塊中心，并使用最遠(yuǎn)的點(diǎn)采樣來確保空間中的均勻采樣。將搜索窗口設(shè)置為16，將斑塊大小設(shè)置為30。在圖4中使用Anchor模型顯示迭代結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.01的高斯噪聲被添加到點(diǎn)云中。前3次迭代中的結(jié)果的表面重建如圖4(c)和(d)所示。迭代3次之后的結(jié)果收斂，因此只顯示前面3次迭代。參數(shù)μ=25exp(iteration)-1隨迭代增加。與其他方法的比較在圖5和圖6中，圖5中APSS的結(jié)果和RIMLS的結(jié)果在折疊區(qū)域和拐角處過度平滑。另外為了保證本文方法的準(zhǔn)確性，對更多的模型進(jìn)行了測試，將標(biāo)準(zhǔn)差為0.02、0.03、0.04的高斯噪聲添加到測試點(diǎn)云中，數(shù)值結(jié)果顯示在表1～表3中，其中本文算法具有最低的MSE。這些模型的參數(shù)μ=25exp(iteration/r)-1，其中對于σ=0.02、0.03、0.04的高斯噪聲，r=4、7、12。

圖4 Anchor模型在σ=0.01的去噪后表面重建結(jié)果

圖5 Anchor模型在σ=0.02的去噪后表面重建結(jié)果

圖6 Gargoyle模型在σ=0.03的去噪后表面重建結(jié)果

表1 具有高斯噪聲不同模型下的MSE(σ=0.02)

表2 具有高斯噪聲不同模型下的MSE(σ=0.03)

3 結(jié)論

提出了一種基于圖拉普拉斯正則化的3D點(diǎn)云去噪算法。得出以下結(jié)論：

1)提出的算法能普遍適用于有顯著幾何特征的噪聲點(diǎn)云，因?yàn)樵摲椒ㄡ槍Φ牟皇蔷唧w的形狀的點(diǎn)云，而是具有這個空間結(jié)構(gòu)的所有的點(diǎn)云。

2)本文算法對比其他算法，在確保去噪精度的同時，能夠把物體的邊緣特征和顯著特征清晰地保留下來，同時不會在表面產(chǎn)生過度平滑。