類比法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用體會(huì)

◎李子萍 費(fèi)秀海 (滇西科技師范學(xué)院，云南 臨滄 677000)

高等數(shù)學(xué)課程是高等學(xué)校理工科類和經(jīng)管類各專業(yè)學(xué)生必修的一門重要的基礎(chǔ)課和工具課.通過本課程的學(xué)習(xí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的專業(yè)課程、消化理解專業(yè)知識(shí)、解決實(shí)際問題、提高自學(xué)能力提供必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及常用的數(shù)學(xué)方法.因此，教師要重視各專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教學(xué).高等數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)是：內(nèi)容多，覆蓋面廣，教學(xué)時(shí)數(shù)少，難度大.所以，如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、如何提高教學(xué)質(zhì)量就是高等數(shù)學(xué)任課教師不斷要探索的問題.通過幾年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為在高等數(shù)學(xué)課程中恰當(dāng)運(yùn)用類比法實(shí)施教學(xué)有助于揭示高等數(shù)學(xué)新舊知識(shí)間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生正確理解高等數(shù)學(xué)基本概念、掌握計(jì)算方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效性.

所謂類比教學(xué)法就是利用類比方式進(jìn)行教學(xué)，即在教學(xué)過程中把新知識(shí)與記憶中結(jié)構(gòu)相類似的舊知識(shí)聯(lián)系起來，通過類比，從已知對(duì)象具有的某種性質(zhì)推出未知對(duì)象具有的相應(yīng)性質(zhì)，從而尋找解決問題的途徑.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比法，可以使學(xué)生通過新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，比較容易地掌握高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的內(nèi)容.同時(shí)，運(yùn)用類比法實(shí)施教學(xué)對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，幫助學(xué)生理解高等數(shù)學(xué)中的抽象概念，發(fā)展學(xué)生的求異性思維，形成良好的數(shù)學(xué)思維，以及培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性都具有重要意義.

以下結(jié)合筆者自身教學(xué)實(shí)踐，對(duì)類比法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行一些探討.

1 類比法應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是難點(diǎn).在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，教師可把相同或相似的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生確定新舊知識(shí)間的異同點(diǎn)及各自的本質(zhì)屬性.學(xué)生通過聯(lián)想，類比發(fā)現(xiàn)內(nèi)涵相同或相容概念間的相似處，從而進(jìn)行由此及彼地推理，會(huì)收到舉一反三的效果.在導(dǎo)數(shù)與微分、最值與極值、拉格朗日中值定理與羅爾中值定理以及柯西中值定理、不定積分與定積分等概念的教學(xué)中都可以運(yùn)用類比教學(xué)法.例如：在學(xué)習(xí)連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù)概念時(shí)就可以與極限、左極限及右極限概念進(jìn)行類比；學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、左導(dǎo)數(shù)以及右導(dǎo)數(shù)概念時(shí)又可以與連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù)概念進(jìn)行類比.通過類比法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析幾個(gè)概念的內(nèi)涵，使學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，把舊知識(shí)遷移到新知識(shí)上，從而準(zhǔn)確理解新概念.

采用類比法時(shí)既要闡明問題的共同點(diǎn)更要指出它們的不同點(diǎn).例如：對(duì)于三個(gè)微分中值定理，通過類比教學(xué)，得出拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一個(gè)特例，再進(jìn)一步得出羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例.再比如對(duì)于微分幾何意義的學(xué)習(xí)，教師可與導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行類比實(shí)施教學(xué)，先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系引出微分的幾何意義，聯(lián)系新舊知識(shí)，比較出兩者的區(qū)別與聯(lián)系，從而讓學(xué)生更好地理解微分幾何意義這一新知識(shí).又如，對(duì)于不定積分概念的學(xué)習(xí)，教師可類比導(dǎo)數(shù)概念進(jìn)行教學(xué)，通過聯(lián)系前后知識(shí)，得出不定積分與導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算，從而讓學(xué)生了解不定積分定義的來龍去脈，將概念理解化難為易.如此通過使用類比法實(shí)施教學(xué)，不僅能使學(xué)生更好地理解新概念，更重要的是在類比教學(xué)過程中提高了學(xué)生的知識(shí)遷移能力，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維.

2 類比法應(yīng)用于極限計(jì)算教學(xué)

3 類比法應(yīng)用于不定積分計(jì)算教學(xué)

積分運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要運(yùn)算之一.而積分運(yùn)算又比較靈活，學(xué)生難以把握解題的技巧.定積分的計(jì)算又是在不定積分計(jì)算基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以，教師要把不定積分的計(jì)算方法和技巧講透.在不定積分計(jì)算教學(xué)中，教師首先可針對(duì)不定積分教學(xué)內(nèi)容的課時(shí)進(jìn)行細(xì)致安排，確保學(xué)生能夠充分認(rèn)識(shí)到有關(guān)不定積分計(jì)算的基本內(nèi)容.在此基礎(chǔ)之上，從性質(zhì)、計(jì)算方法以及特征等多個(gè)方面入手，以類比法為主要手段，引導(dǎo)學(xué)生自主認(rèn)識(shí)到有關(guān)不定積分計(jì)算知識(shí)點(diǎn)的基本內(nèi)容.教師運(yùn)用類比法進(jìn)行不定積分的計(jì)算教學(xué)，可按照如下方法實(shí)施：

第一步：類比被積函數(shù)的類型：若被積函數(shù)為和差關(guān)系，則可用積分運(yùn)算法則和積分公式進(jìn)行計(jì)算；若被積函數(shù)為乘積或商的關(guān)系，則需通過對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行等量變換轉(zhuǎn)換為和差關(guān)系，再利用積分運(yùn)算法則和積分公式進(jìn)行計(jì)算.

第二步：用類比法對(duì)積分方法進(jìn)行選擇：若被積函數(shù)為乘積關(guān)系，且為兩個(gè)不同類型的函數(shù)之積，則可用分部積分法進(jìn)行積分計(jì)算；若被積函數(shù)含有根號(hào)，則可選用第二換元法進(jìn)行積分計(jì)算；其他情形則考慮用第一換元法或有理函數(shù)積分法進(jìn)行積分計(jì)算.

分析此題被積函數(shù)雖為兩個(gè)不同類型的函數(shù)之積，但經(jīng)觀察比較，被積函數(shù)中所含的冪函數(shù)次數(shù)相差一次，把x“壓”到dx中，次數(shù)剛好增加一次，能夠使“里外”達(dá)到統(tǒng)一，就可利用湊微分進(jìn)行積分計(jì)算.

通過對(duì)例3和例4的比較，對(duì)于學(xué)生掌握不定積分的計(jì)算方法，使各種不同題型的積分運(yùn)算在頭腦中清晰地聯(lián)系起來，能起到積極的作用.

4 結(jié) 語

總之，類比法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用很廣,教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要多運(yùn)用類比法實(shí)施教學(xué).在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比法，能把學(xué)生不容易理解的新知識(shí)通過與之有相似之處的舊知識(shí)相類比，使新知識(shí)變得容易理解.同時(shí)，通過類比法實(shí)施教學(xué)，還有助于學(xué)生類比思維能力的發(fā)展，在知識(shí)遷移中，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、處理問題和解決問題的能力，也提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，從而提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.