齒輪傳動特性影響因素的全局靈敏度分析

李安民，于友明，李梁，張文盟

（東風(fēng)汽車股份 商品研發(fā)院，武漢 430100）

0 引言

齒輪是現(xiàn)代機(jī)械傳動系統(tǒng)中最為重要的零部件之一，由于其恒定的傳動比、大功率及高效率等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各類工程機(jī)械。高端裝備的迅速發(fā)展對齒輪副的傳動精度和穩(wěn)定性提出了更高的要求。齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且受內(nèi)外激勵的共同作用，分析各因素對其動態(tài)響應(yīng)的影響，對揭示齒輪動態(tài)傳遞誤差和動態(tài)嚙合力的形成機(jī)理具有重要意義。

齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，影響齒輪動力學(xué)特性的因素主要包括內(nèi)部激勵（如時變嚙合剛度）、外部激勵和系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)波動[1]。國內(nèi)外學(xué)者采用集中質(zhì)量法建立齒輪動力學(xué)模型，以動態(tài)傳遞誤差（Dynamic transmission error，DTE）和動態(tài)嚙合力（Dynamic meshing force，DMF）作為響應(yīng)指標(biāo)，對齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行了大量研究。在動態(tài)傳遞誤差方面，Kahraman等[2]以DTE 為指標(biāo)研究了嚙合剛度和側(cè)隙對直齒輪動力學(xué)特性的影響；曾作欽等[3]以DTE的振動加速度為指標(biāo)研究嚙合剛度和嚙合阻尼對齒輪傳動時所產(chǎn)生振動的影響；陳安華等[4]以DTE 為指標(biāo)研究了重合度、支承剛度、嚙合阻尼和支承阻尼對齒輪傳動系統(tǒng)動力穩(wěn)定性的影響；張義民等[5]建立了多級齒輪傳動系統(tǒng)模型，以DTE為指標(biāo)，研究嚙合剛度和轉(zhuǎn)速對齒輪系統(tǒng)的影響。在動態(tài)嚙合力方面，Chen等[6]以DMF的最大值為研究指標(biāo)，詳細(xì)分析了動態(tài)間隙對齒輪傳動系統(tǒng)非線性特性的影響；Xiang等[7]以DMF的均方根值和最小值為研究指標(biāo)，深入討論了齒輪偏心和轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)的影響。

當(dāng)前大多數(shù)文獻(xiàn)通常采用單一變量原則，分別研究各因素對傳動系統(tǒng)響應(yīng)的影響，容易忽略各因素間可能存在的相互耦合對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，無法客觀分析各因素對系統(tǒng)響應(yīng)影響的顯著程度。全局靈敏度分析[8]是研究因素在全局范圍內(nèi)變動對模型輸出的影響，能夠辨別影響系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)鍵因素和各因素間的耦合作用。目前，基于方差的Sobol’方法是全局靈敏度分析的主流算法之一[9]。

本文借助于三自由度齒輪非線性動力學(xué)模型，采用基于方差的全局靈敏度分析Sobol′方法，研究齒輪時變嚙合剛度、嚙合阻尼、支撐剛度和阻尼及齒側(cè)間隙等因素對齒輪動態(tài)傳遞誤差和動態(tài)嚙合力的影響，揭示影響齒輪系統(tǒng)傳動特性的關(guān)鍵因素，為高傳動精度、高可靠齒輪設(shè)計與制造提供理論指導(dǎo)。

1 齒輪動力學(xué)分析

1.1 動力學(xué)模型的建立

本文考慮時變嚙合剛度、嚙合阻尼及支撐體的剛度與阻尼等因素，基于集中質(zhì)量法建立了3自由度齒輪嚙合動力學(xué)模型，該模型具有一定工程實際的代表性[2,4]，如圖1所示。

圖1 齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)牛頓定律建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

1.2 模型求解

由于模型（1）的時變非線性，很難推導(dǎo)得到其解析解，通常采用Runge-kutta法或基于Simulink框圖的方式數(shù)值求解[1]。本文采用前一方法求解，選擇狀態(tài)變量Z：

利用變步長Runge-kutta法對系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行數(shù)值求解，獲得動態(tài)傳遞誤差q（t），并根據(jù)式（5）計算齒輪的動態(tài)嚙合力。

1.3 齒輪系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

本文以動態(tài)傳遞誤差（DTE）和動態(tài)嚙合力（DMF）作為響應(yīng)指標(biāo)分析齒輪的動態(tài)特性，這是因為動態(tài)傳遞誤差直接反映了齒輪的傳動精度，動態(tài)嚙合力能夠展現(xiàn)齒輪在作業(yè)過程中的受載狀況。典型的齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)傳遞誤差（DTE）和動態(tài)嚙合力（DMF）響應(yīng)分別如圖2和圖3所示。在輪齒嚙合過程中，動態(tài)傳遞誤差和動態(tài)嚙合力均產(chǎn)生周期性的振蕩，主要發(fā)生在由單齒嚙合向雙齒嚙合過渡的區(qū)域。

如圖2所示，本文采用動態(tài)傳遞誤差最小均值mDTE和單雙齒交替嚙合時的階躍值δDTE表征齒輪傳動精度，使用齒輪系統(tǒng)的振蕩幅值A(chǔ)DTE和振蕩衰減指數(shù)ηDTE描述齒輪傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖2 動態(tài)傳遞誤差響應(yīng)

如圖3所示，采用齒輪動態(tài)嚙合力均值mDMF表征齒輪作業(yè)過程中的受載情況，動態(tài)嚙合力的振蕩幅值A(chǔ)DMF反映齒輪嚙合過程中的振動沖擊。最后，以振蕩衰減指數(shù)ηDMF表示齒輪傳動的平穩(wěn)性，ηDMF越大傳動可快速趨于平穩(wěn)。另外，采用數(shù)學(xué)方程x=Ae-ηt來近似描述齒輪系統(tǒng)的傳動振蕩衰減，η可通過數(shù)據(jù)擬合得到。

圖3 動態(tài)嚙合力響應(yīng)

綜上，本文以動態(tài)傳遞誤差的最小均值mDTE、單雙齒交替嚙合時的階躍值δDTE、振蕩幅值A(chǔ)DTE和衰減指數(shù)ηDTE，以及動態(tài)嚙合力的均值mDMF、振蕩幅值δDMF和衰減指數(shù)ηDMF作為研究指標(biāo)，綜合表征齒輪傳動系統(tǒng)的響應(yīng)。

1.4 模型參數(shù)

在齒輪傳動系統(tǒng)中，齒輪靜態(tài)傳遞誤差（見式（2））、齒側(cè)間隙（見式（4））及由于單雙齒交替嚙合時剛度的時變性均會引起齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)烈的非線性。下面對時變嚙合剛度和嚙合阻尼的計算進(jìn)行簡要說明。

關(guān)于時變嚙合剛度km計算主要有勢能解析法和有限元法[11]。而嚙合阻尼的機(jī)理較為復(fù)雜，與齒輪的材料和結(jié)構(gòu)有關(guān)，其大小可依據(jù)嚙合剛度來測算[3]：

因此，齒輪的嚙合阻尼也具有一定的時變特性。由于嚙合阻尼產(chǎn)生機(jī)理的復(fù)雜性，本文將其作為一個獨(dú)立參數(shù)，分析其對齒輪系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響。

為便于研究嚙合剛度和嚙合阻尼的大小與其時變性對齒輪傳動系統(tǒng)響應(yīng)的影響，將它們視為由均值（mk，mc）和階躍值（δk，δc）兩部分組成：

從式（7）可以看出，影響齒輪動態(tài)特性響應(yīng)的因素除了上述參數(shù)外，齒輪的支撐剛度和阻尼對系統(tǒng)亦具有一定的影響。因此本文采用全局靈敏度分析方法，旨在辨別影響齒輪傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵因素，揭示齒輪動態(tài)傳遞誤差和動態(tài)嚙合力的形成機(jī)理。

2 動態(tài)特性影響因素分析

2.1 全局靈敏度分析基本原理

本文使用的全局靈敏度分析方法是基于方差的Sobol′法，它的基本思想是當(dāng)輸入?yún)?shù)間相互獨(dú)立時，響應(yīng)函數(shù)f（x）可唯一分解為2k個遞增項之和，通過對模型參數(shù)采樣，估算出模型輸出響應(yīng)的各項方差，最終計算各階靈敏度指數(shù)。響應(yīng)函數(shù)f（x）的具體分解形式為

式中：E(·)表示期望，x-i表示除了xi外所有變量組成的向量。

參數(shù)i的總靈敏度指數(shù)STi，包含該參數(shù)與其他參數(shù)相互耦合作用的影響。故當(dāng)Si和STi相差較大時，即可認(rèn)為參數(shù)i與其他參數(shù)之間存在明顯的耦合作用。

2.2 靈敏度指數(shù)的計算

3 算例分析

根據(jù)表1給出的齒輪副參數(shù)，運(yùn)用有限元方法計算齒輪的時變嚙合剛度（如 圖4），建立3自由度齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型，采用全局靈敏度分析方法，以動態(tài)傳遞誤差和動態(tài)嚙合力響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)，辨別影響齒輪傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵因素。表2給出齒輪動力學(xué)模型的參數(shù)及取值范圍，表中x1～x10分別為時變嚙合剛度均值、剛度階躍值、嚙合阻尼均值、阻尼階躍值、齒側(cè)間隙、主從動輪的支撐剛度和阻尼及靜態(tài)傳遞誤差，假定各個參數(shù)服從均勻分布。

表1 齒輪副基本參數(shù)

表2 齒輪動力學(xué)模型參數(shù)的概率分布

圖4 齒輪時變嚙合剛度

為保證計算的準(zhǔn)確性，設(shè)定所抽取參數(shù)樣本數(shù)N為5000，基于Sobol′法計算齒輪傳動系統(tǒng)響應(yīng)指標(biāo)的一階和總階靈敏度指數(shù)，分別如圖5和圖6所示。

3.1 動態(tài)傳遞誤差響應(yīng)

根據(jù)圖5可發(fā)現(xiàn)：

圖5 動態(tài)傳遞誤差響應(yīng)的靈敏度指數(shù)

1）對于動態(tài)傳遞誤差最小均值mDTE，齒側(cè)間隙的靈敏度指數(shù)遠(yuǎn)大于其他激勵因素，表明齒側(cè)間隙對mDTE的影響最 為 顯著。

2）對于動態(tài)傳遞誤差的振蕩衰減指數(shù)ηDTE，齒輪時變嚙 合 剛度、齒側(cè)間隙、主從動輪的支撐阻尼均 有 影響，其中嚙合剛度均值的影響最大。

3）對于動態(tài)傳遞 誤 差δDTE，嚙合剛度的影響較為顯著，且嚙合剛度均值的影響大于其階躍值。

4）影響動態(tài)傳遞誤差振蕩 幅 值A(chǔ)DTE的主要因素為嚙合剛度和主從動輪的支撐阻尼，其中嚙合剛度均值的靈敏度指數(shù)最大，表明其影響最為顯著，且ADTE隨嚙合剛度增大而增大。

5）對于δDTE、ADTE和ηDTE，嚙合剛度的階躍值對上述指標(biāo)的影響均較大，表明嚙合剛度的時變特性對動態(tài)傳動精度的穩(wěn)定性具有明顯影響。

6）最后，每一個模型參數(shù)的一階靈敏度指數(shù)和總階靈敏度指數(shù)基本相等，說明各模型參數(shù)對動態(tài)傳遞誤差的影響不存在明顯的相互耦合。

3.2 動態(tài)嚙合力響應(yīng)

根據(jù)圖6可發(fā)現(xiàn)：

圖6 動態(tài)嚙合力響應(yīng)的靈敏度指數(shù)

1）對于動態(tài)嚙合力均值mDMF，各因素的一階靈敏度指數(shù)均偏低，嚙合剛度、嚙合阻尼和支撐阻尼等參數(shù)的一階靈敏度指數(shù)和總階靈敏度指數(shù)差別較大，表明這些參數(shù)與其他參數(shù)間存在明顯的耦合作用。經(jīng)過進(jìn)一步對各參數(shù)的高階靈敏度計算發(fā)現(xiàn)，嚙合剛度、嚙合阻尼與支撐阻尼之間存在的相互耦合對mDMF的影響最為顯著。

2）對于動態(tài)嚙合力的振蕩衰減指數(shù) ηDMF，嚙合剛度和主從動輪的支撐阻尼都有影響，其中嚙合剛度的階躍值影響最大。3）對于動態(tài)嚙合力的振蕩幅度ADMF，嚙合剛度的影響最為顯著，尤其是嚙合剛度均值。

4 結(jié)論

1）對于動態(tài)傳遞誤差響應(yīng)，各因素之間沒有明顯的耦合作用，影響齒輪傳動精度的關(guān)鍵因素是齒側(cè)間隙和嚙合剛度。同時，嚙合剛度和支撐阻尼對齒輪傳動平穩(wěn)性具有明顯的影響，其中嚙合剛度均值的影響最大。

2）對于動態(tài)嚙合力的均值，發(fā)現(xiàn)各因素之間存在明顯的耦合作用，其中嚙合剛度、嚙合阻尼和支撐阻尼之間的相互耦合最為突出。嚙合剛度對動態(tài)嚙合力的振蕩衰減指數(shù)和振蕩幅值影響顯著，尤其是嚙合剛度的階躍值，表明嚙合剛度的時變特性嚴(yán)重影響齒輪傳動的振動沖擊和穩(wěn)定性。另外，支撐阻尼對齒輪的傳動穩(wěn)定性的影響亦不可忽略。